تبدیلات لاپلاس (2)

جال مشتق گیری را در نظر می گیریم. فرض کنیم  ،   بار در  مشتق پذیر باشد. اگر  ، آنگاه

        

این را میتوان به کمک انتگرال جزء به جزء آشکار ساخت:

               

                                 

                                 

                                

ادامه ی این روش به مشتقات مرتبه ی بالاتر نتیجه می دهد:

           

ار این خاصیت تبدیل لاپلاس می توان در تبدیل معادلات دیفرانسیل به معادلاتی جبری استفاده کرد که به حساب هوی ساید (Heaviside calculus) معروف است. آنگاه با انجام تبدیل وارون می توان به پاسخ دست یافت. به عنوان مثال، بکار بردن تبدیل لاپلاس برای معادله ی دیفرانسیلی

           

خواهیم داشت:

       

       

که آخری را می توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

       

اگر تبدیل وارون لاپلاس را بتوان بر این معادله اعمال کرد، آن گاه معادله ی دیفرانسیل اصلی حل می شود.

تبدیل لاپلاس در چند خاصیت مهم صدق می کند. نمایی کردن (exponentiation) را در نظر بگیرید. اگر برای  (یعنی  تبدیل لاپلاس  باشد)، آن گاه برای  صحیح است. زیرا

                     

                                  

                                 

همچنین تبدیل لاپلاس خواص زیبایی را برای انتگرال های توابع دارد. اگر   تکه ای پیوسته (piecewise continuous) بوده و ، در آن صورت

      

مطالب مرتبط: تبدیلات لاپلاس (۱)

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Laplace Transforms." Ch. 29 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 1019-1030, 1972.

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 824-863, 1985.

Churchill, R. V. Operational Mathematics. New York: McGraw-Hill, 1958.

Doetsch, G. Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation. Berlin: Springer-Verlag, 1974.

Franklin, P. An Introduction to Fourier Methods and the Laplace Transformation. New York: Dover, 1958.

Graf, U. Applied Laplace Transforms and z-Transforms for Scientists and Engineers: A Computational Approach using a Mathematica Package. Basel, Switzerland: Birkhäuser, 2004.

Jaeger, J. C. and Newstead, G. H. An Introduction to the Laplace Transformation with Engineering Applications. London: Methuen, 1949.

Henrici, P. Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 2: Special Functions, Integral Transforms, Asymptotics, Continued Fractions. New York: Wiley, pp. 322-350, 1991.

Krantz, S. G. "The Laplace Transform." §15.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 212-214, 1999.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 467-469, 1953.

Oberhettinger, F. Tables of Laplace Transforms. New York: Springer-Verlag, 1973.

Oppenheim, A. V.; Willsky, A. S.; and Nawab, S. H. Signals and Systems, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1997.

Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 4: Direct Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.

Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 5: Inverse Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.

Spiegel, M. R. Theory and Problems of Laplace Transforms. New York: McGraw-Hill, 1965.

Weisstein, E. W. "Books about Laplace Transforms." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/LaplaceTransforms.html.

Widder, D. V. The Laplace Transform. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1941.

Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 231 and 543, 1995.

Dated 04/04/2009 

تبدیلات لاپلاس (1)

تبدیل لاپلاس (Laplace transform) یک تبدیل انتگرالی (integral transform) است که شاید نسبت به کارکرد تبدیل فوریه (Fourier transform) در حل مسائل فیزیکی در رتبه ی دوم قرار دارد. تبدیل لاپلاس به ویژه در حل معادلات دیفرانسیل معمولی (ordinary differential equations) که در تجزیه و تحلیل مدارهای الکترونیکی مطرح می شوند، دارای کاربرد فراوان است.

تبدیل لاپلاس (یک طرفه)  ، که نبایستی آن را با مشتق لی (Lie derivative) که آن را هم معمولاْ با  نشان می دهند اشتباه گرفته شود، به صورت زیر تعریف می شود:

             

که   برای  تعریف می شود (Abramowitz and Stegun 1972). این تبدیل عموماً آن چیزی است که با عنوان تبدیل لاپلاس شناخته می شود، اگر چه یک تبدیل لاپلاس دوطرفه (bilateral Laplace transform) هم داریم که معمولاً به صورت زیر تعریف می شود:

           

(Oppenheim et al. 1997).

تبدیل لاپلاس معکوس به انتگرال برومویچ (Bromwich integral) معروف است و گاهاً با عنوان انتگرال ملین-فوریه (Fourier-Mellin) نیز شناخته می شود.

جدول زیر، تعدادی از تبدیلات مهم لاپلاس یک طرفه را نشان می دهد:

		شرایط
1

 در جدول بالا،   تابع بسل نوع اول (Bessel function of the first kind) مرتبه ی صفرام،  تابع دلتا (delta function) و تابع پله ی هوی ساید (Heaviside step function) هستند.

تبدیل لاپلاس خواص بسیار مهمی دارد. قضیه ی وجود تبدیل لاپلاس بیان می کند که اگر  روی هر بازه ی متناهی در  تکه ای پیوسته * باشد و برای همه ی  در

                

صدق کند، آن گاه   برای همه ی  موجود است. تبدیل لاپلاس یکتا (unique) است، به این معنی که با داشتن دو تابع  و   با تبدیل یکسان، داریم:

       

آن گاه قضیه ی لرچ (Lerch's theorem) تایید می کند که انتگرال

          

برای همه ی  برای یک تابع صفر (پوچ - null function) با معادله ی

                   

صفر می شود. تبدیل لاپلاس خطی است، زیرا

               

                                          

                                           

تبدیل لاپلاس کانولوشن (convolution) به صورت زیر تعریف می شود:

                 

مطالب مرتبط: تبدیلات لاپلاس (۲)

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Laplace Transforms." Ch. 29 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 1019-1030, 1972.

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 824-863, 1985.

Churchill, R. V. Operational Mathematics. New York: McGraw-Hill, 1958.

Doetsch, G. Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation. Berlin: Springer-Verlag, 1974.

Franklin, P. An Introduction to Fourier Methods and the Laplace Transformation. New York: Dover, 1958.

Graf, U. Applied Laplace Transforms and z-Transforms for Scientists and Engineers: A Computational Approach using a Mathematica Package. Basel, Switzerland: Birkhäuser, 2004.

Jaeger, J. C. and Newstead, G. H. An Introduction to the Laplace Transformation with Engineering Applications. London: Methuen, 1949.

Henrici, P. Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 2: Special Functions, Integral Transforms, Asymptotics, Continued Fractions. New York: Wiley, pp. 322-350, 1991.

Krantz, S. G. "The Laplace Transform." §15.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 212-214, 1999.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 467-469, 1953.

Oberhettinger, F. Tables of Laplace Transforms. New York: Springer-Verlag, 1973.

Oppenheim, A. V.; Willsky, A. S.; and Nawab, S. H. Signals and Systems, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1997.

Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 4: Direct Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.

Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 5: Inverse Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.

Spiegel, M. R. Theory and Problems of Laplace Transforms. New York: McGraw-Hill, 1965.

Weisstein, E. W. "Books about Laplace Transforms." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/LaplaceTransforms.html.

Widder, D. V. The Laplace Transform. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1941.

Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 231 and 543, 1995

---

* به تابع یا خمی تکه ای پیوسته می گویند که روی همه ولی تعداد متناهی از نقاط پیوسته است، به طوری که در آن ها گاهاً شرایط تنظیم کننده مورد نیاز است.

تابع گاما (1) - Gamma Function

 

مسئله یافتن تابعی که مقادیرش به ازای آرگومان های صحیح و مثبت فاکتوریل های ۱=!۱و ۲=!۲ و ۶=!۳ و ... و 1.2.3...n!= n باشند توسط اویلر (Euler) به کمک انتگرال ناسره حل شد.

تابع گاما (کامل)  به صورت بسط فاکتوریل (factorial) به آرگومان های عددی مختلط و حقیقی است. این تابع با معادله ی زیر به فاکتوریل مرتبط می شود:

                

که این نماد مرسوم با توجه به گفته ی لژاندر به طور مختصری مشکل تر از نماد ساده تر معرفی شده توسط گائوس  است (Gauss 1812; Edwards 2001, p. 8).

این تابع در همه جا به جز در ..., ,  تحلیلی (analytic) است، و باقیمانده ی آن در  عبارت است از

               

هیچ نقطه ی  ای را نمی توان یافت که در آن .

در استفاده ی مرسوم برای نمایش سری توانی از یک تابع گاما، یک قرارداد نمادگذ‌اری وجود دارد. در حالیکه مولفانی همچون (Watson (1939 بر استفاده از  (یعنی بکارگیری از یک قرارداد تابع مثلثاتی-گون) تاکید دارند، طبق سنت نمادگذاری  استفاده می شود.

تابع گاما را می توان به صورت یک انتگرال معین (definite integral) برای  تعریف کرد (شکل تعریف شده توسط اویلر)

                (*)                                     

                               

یا

                     

تابع گامای کامل را می توان همچنین به تابع گامای ناتمام (incomplete gamma function) بالایی و تابع گامای ناتمام پایینی  بسط داد.

نمودار قسمت های حقیقی و موهومی   در صفحه ی مختلط در شکل بالا نشان داده شده است.

با انتگرال گیری جز به جز از معادله (*) برای یک آرگومان حقیقی، مشاهده می شود که

                             

                                   

                                  

                                  

چنانچه یک عدد صحیح باشد، آنگاه

                             

                                  

                                  

                                  

بنابراین تابع گاما به ازای آرگومان های صحیح مثبت (positive integer) به فاکتوریل تقلیل می یابد.

یک رابطه ی زیبا مابین  و تابع زتای ریمان (Riemann zeta function)  به صورت زیر است

                

برای  (Havil 2003, p. 60).

تابع گاما همچنین می تواند به صورت یک حاصلضرب نامتناهی (infinite product) یعنی صورت ویراشتراوس (Weierstrass form) تعریف شود:

                      

که  ثابت اویلر ـ ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) است (Krantz 1999, p. 157; Havil 2003, p. 57). با لگاریتم گرفتن از طرفین معادله ی اخیر داریم:

            

با مشتق گیری از این رابطه بدست می آوریم:

                      

                                 

                    

                          

                          

                    

                           

                           

                   

                          

که   تابع دی گاما (digamma function) و   تابع چند گامایی (polygamma function) هستند.  امین مشتق ها برحسب توابع چند گامایی (polygamma functions) , , ...,  داده می شوند.

ادامه دارد...

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Gamma (Factorial) Function" and "Incomplete Gamma Function." §6.1 and 6.5 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 255-258 and 260-263, 1972.

Arfken, G. "The Gamma Function (Factorial Function)." Ch. 10 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 339-341 and 539-572, 1985.

Artin, E. The Gamma Function. New York: Holt, Rinehart, and Winston, 1964.

Bailey, W. N. Generalised Hypergeometric Series. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1935.

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 334-342, 1994.

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 218, 1987.

Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.

Borwein, J. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, p. 6, 1987.

Borwein, J. M. and Zucker, I. J. "Fast Evaluation of the Gamma Function for Small Rational Fractions Using Complete Elliptic Integrals of the First Kind." IMA J. Numerical Analysis 12, 519-526, 1992.

Bourguet, L. "Sur les intégrales Eulériennes et quelques autres fonctions uniformes." Acta Math. 2, 261-295, 1883.

Campbell, R. Les intégrales eulériennes et leurs applications. Paris: Dunod, 1966.

Davis, H. T. Tables of the Higher Mathematical Functions. Bloomington, IN: Principia Press, 1933.

Davis, P. J. "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function." Amer. Math. Monthly 66, 849-869, 1959.

Edwards, H. M. Riemann's Zeta Function. New York: Dover, 2001.

Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "The Gamma Function." Ch. 1 in Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 1-55, 1981.

Finch, S. R. "Euler-Mascheroni Constant." §1.5 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 28-40, 2003.

Gauss, C. F. "Disquisitiones Generales Circa Seriem Infinitam etc. Pars Prior." Commentationes Societiones Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores, Vol. II. 1812. Reprinted in Gesammelte Werke, Bd. 3, pp. 123-163 and 207-229, 1866.

Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Answer to Problem 9.60 in Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

Hardy, G. H. "A Chapter from Ramanujan's Note-Book." Proc. Cambridge Philos. Soc. 21, 492-503, 1923.

Hardy, G. H. "Some Formulae of Ramanujan." Proc. London Math. Soc. (Records of Proceedings at Meetings) 22, xii-xiii, 1924.

Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.

Havil, J. "The Gamma Function." Ch. 6 in Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 53-60, 2003.

Isaacson, E. and Salzer, H. E. "Mathematical Tables--Errata: 19. J. P. L. Bourget, 'Sur les intégrales Eulériennes et quelques autres fonctions uniformes,' Acta Mathematica, v. 2, 1883, pp. 261-295.' " Math. Tab. Aids Comput. 1, 124, 1943.

Koepf, W. "The Gamma Function." Ch. 1 in Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 4-10, 1998.

Krantz, S. G. "The Gamma and Beta Functions." §13.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 155-158, 1999.

Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 46, 1983.

Magnus, W. and Oberhettinger, F. Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics. New York: Chelsea, 1949.

Nielsen, N. "Handbuch der Theorie der Gammafunktion." Part I in Die Gammafunktion. New York: Chelsea, 1965.

Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Gamma Function, Beta Function, Factorials, Binomial Coefficients" and "Incomplete Gamma Function, Error Function, Chi-Square Probability Function, Cumulative Poisson Function." §6.1 and 6.2 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 206-209 and 209-214, 1992.

Sloane, N. J. A. Sequences A000079/M1129, A000142/M1675, A001147/M3002, A030169, A030170, A030171, A030172, A061549, A068466, and A143503 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Gamma Function " and "The Incomplete Gamma and Related Functions." Chs. 43 and 45 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 411-421 and 435-443, 1987.

Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (XI)." J. London Math. Soc. 6, 59-65, 1931.

Watson, G. N. "Three Triple Integrals." Quart. J. Math., Oxford Ser. 2 10, 266-276, 1939.

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, p. 40, 1986.

Whipple, F. J. W. "A Fundamental Relation between Generalised Hypergeometric Series." J. London Math. Soc. 1, 138-145, 1926.

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

Wrench, J. W. Jr. "Concerning Two Series for the Gamma Function." Math. Comput. 22, 617-626, 1968. 

دیورژانس (2)

برای مثال، معادله ی پیوستگی مکانیک سیالات بیان می کند که نرخی که بر اساس آن چگالی در هر عنصر حجمی بینهایت کوچک سیال کاهش می یابد، متناسب با شار جرم (تغییرات پی در پی جرم) بخش های متفاوت سیال که در حال دور شدن از عنصر هستند می باشد و با قاعده ی زیر نشان داده می شود:

                 

که   میدان برداری سرعت سیال است. در موردی معمول که درآن چگالی سیال ثابت است، این رابطه به یک معادله زیبا و موجز تقلیل می یابد

                

که به آسانی می گوید برای اینکه چگالی در سرتاسر سیال ثابت بماند، نبایستی بخش های حاوی ماده سیال در هیچ نقطه ای تشکیل یک گره یا انباشتگی دهند و لذا میدان برداری سرعت های بخش های بوجود آورنده ی سیال برای هر سیستم مادی لازم است که میدانی فاقد دیورژانس (divergenceless field) یا به اصطلاح میدانی بدون واگرایی باشد. 

دیورژانس در نظریه ی الکترومغناطیس نیز در دو معادله از چهار معادله ماکسول حضور دارد

                  

                  

که از واحدهای MKS در اینجا استفاده کرده ایم:  میدان الکتریکی،  اکنون نماینگر چگالی بار الکتریکی،  ثابت تناسب که موسوم به ثابت گذردهی الکترون از خلا و در نهایت  معرف میدان مغناطیسی است.

بعلاوه ی ۲ معادله ی دیگر از مجموعه معادلات ماکسول، اینها قوانینی هستند که به طور بالقوه ویژگی های نسبیتی و کلاسیکی الکترومغناطیس را توصیف می کنند.

فرمولی که برای پیدا کردن دیورژانس یک میدان برداری کاربرد دارد، را می توان سریعاً با ایجاد کردن یک شش ضلعی بینهایت کوچک فرضی که در امتداد محور مختصات حول یک ناحیه ی بینهایت کوچک از فضا جهت گیری شده است، بدست آورد. بنابراین "حجم" خالص این شش ضلعی را می توان به راحتی با جمع زدن تفاضل های مقادیر میدان برداری در امتداد ۳ مجموعه ی اضلاع موازی با هم (اضلاع متقابل) محاسبه کرد. با نوشتن   بلافاصله بدست می آید:

             

این فرمول را می توان دلیلی برای توجیه انگیزه ی انتخاب نماد  برای دیورژانس دانست. تعبیر کردن از   به عنوان عملگر گرادیان (gradient) ، "حاصلضرب نقطه ای" (dot product) این عملگر با میدان برداری اصلی دقیقا معادل رابطه ی اخیر است.

درحالیکه این عملگر به نوعی به نظر می رشد که در مختصات دکارتی است، تعریف عمومی به کلی به مختصات خاصی ربط ندارد. در حقیقت با تعریف

                

دیورژانس در هر محتصات منحنی الخط دلخواه (curvilinear coordinates) به صورت زیر داده می شود:

            

دیورژانس تبدیل خطی یک بردار یکه (unit vector) که با ماتریس  نمایش داده می شود، به وسیله فرمول زیبای ذیل توصیف می شود:

        

که   رد ماتریس (matrix trace) یا همان مجموع درایه های قطر اصلی و  ترانهاده ماتریس را نشان می دهد.

مفهوم دیورژانس را می توان به میدان های تانسوری نیز بسط داد، به طوری که در این مورد دیورژانس تنجش مشتق هموردای (covariant derivative) میدان تانسوری است:

لینک مربوطه: دیورژانس ۱

منابع:

Arfken, G. "Divergence, ." §1.7 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 37-42, 1985.

Kaplan, W. "The Divergence of a Vector Field." §3.4 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 185-186, 1991.

Morse, P. M. and Feshbach, H. "The Divergence." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 34-37, 1953.

Schey, H. M. Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, 3rd ed. New York: W. W. Norton, 1997.

تابع دلتا 2 (Delta Function)

دیگر اتحاد های دربرگیرنده ی مشتق تابع دلتا عبارت اند از

 

          

          

که در آن علامت کانولوشن (convolution) است،

    

و

                 

یک رابطه ی انتگرالی که با استفاده از  نوشته می شود نیز وجود دارد:

          

تابع دلتا، همچنین از به اصطلاح خاصیت غربالگری (sifting property) نیز تبعیت می کند:

         

(Bracewell 1999, pp. 74-75).

بسط سری فوریه ی تابع دلتای  بدست می دهد

                    

                       

                    

                       

بنابراین

               

                           

تابع دلتا را می توان به صورت یک تبدیل فوریه (Fourier transform) به شکل زیر نوشت

             

و به طور یکسان،

             

(Bracewell 1999, p. 95). به طور کلی تر تبدیل فوریه ی تابع دلتا عبارت است از

        

تابع دلتا در قالب حد های زیر که در آنها   هم گاهاْ تعریف می شود

              

                       

                      

                     

                     

                     

                      

که   تابع هوایی (Airy function)،   تابع بسل نوع اول (Bessel function of the first kind) و    یک چندجمله ای لاگر (Laguerre polynomial) از مرتبه ی صحیح مثبت دلخواه است. 

  

این تابع را همانطور که در شکل بالا قابل مشاهده است، می توان به صورت تابع حدی ذیل تعریف کرد

                 

تابع دلتا در ۲ بعد نیز تعریف می شود، به صورتی که در مختصات دکارتی (Cartesian coordinates) دو بعدی داریم:

          

         

         

و

        

در مختصات قطبی (polar coordinates) نیز داریم

            

(Bracewell 1999, p. 85).

در مختصات ۳ بعدی دکارتی هم اوضاع به همان شرایط بالا است

             

           

و

           

در مختصات استوانه ای (cylindrical coordinates) ،

            

در مختصات کروی (spherical coordinates) ،

           

تعریف می شود. (Bracewell 1999, p. 85).   

یک بسط سری وار از این تابع در مختصات استوانه بدست می دهد

                  

                                 

پاسخ به برخی معادلات دیفرانسیلی معمولی را می توان برحسب مشتقات  نوشت (Kanwal 1998). برای مثال، تابع دیفرانسیلی

             

دارای پاسخ کلاسیکی

             

و پاسخ توزیعی زیر است

(M. Trott, pers. comm., Jan. 19, 2006). توجه داشته باشید که برخلاف پاسخ های کلاسیکی، یک پاسخ توزیعی به یک معادله ی دیفرانسیلی معمولی مرتبه ی ام احتیاجی به داشتن  ثابت انتگرالگیری متمایز از هم ندارد.

لینک مربوطه: تابع دلتا ۱ (Delta Function)

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 481-485, 1985.

Bracewell, R. "The Impulse Symbol." Ch. 5 in The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 69-97, 1999.

Dirac, P. A. M. Quantum Mechanics, 4th ed. London: Oxford University Press, 1958.

Gasiorowicz, S. Quantum Physics. New York: Wiley, pp. 491-494, 1974.

Kanwal, R. P. "Applications to Ordinary Differential Equations." Ch. 6 in Generalized Functions, Theory and Technique, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 291-255, 1998.

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 97-98, 1984.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Dirac Delta Function ." Ch. 10 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 79-82, 1987.

van der Pol, B. and Bremmer, H. Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1955.

سری فاکس ترات (FoxTrot Series)

"سری فاکس ترات" یک جمع ریاضی است که دوم ژوئن ۱۹۹۶ در کارتون فاکس ترات ساخته ی بیل ایمند (Bill Amend) نمایش داده شد (Amend 1998, p. 19; Mitchell 2006/2007). این سری از یک مساله ی آزمون همگرایی در کتاب حساب دیفرانسیل آنتون ناشی شد، اما به طور غیر عمدی تبدیل به یک مساله ی جمع زنی در به اصطلاح کارتون فاکس ترات گشت:

             

محاسبه ی این جمع به طور خارق العاده ای یک عبارت خیلی پیچیده ای که شامل جمع ۴ تابع دی گاما (digamma functions) را بدست می دهد، اما می توان این کار را به طور بسیار زیباتری با چند ساده سازی در نمادها انجام داد. علی الخصوص، تجزیه ی پاره کسری این سری بدست می دهد

      

        

         

        

(Sloane's A127198)، که در آن  و جمع های آخر برحسب تابع دی گاما (digamma function) و برخی ساده سازی های نمادی انجام شده اند.

 

منابع:

Amend, B. Camp FoxTrot. Kansas City, MO: Andrews McMeel, p. 19, 1998.

Mitchell, C. W. Jr. In "Media Clips" (Ed. M Cibes and J. Greenwood). Math. Teacher 100, 339, Dec. 2006/Jan. 2007. Sloane, N. J. A. Sequence A127198 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."  

مشتق تابع گامای اویلر (Digamma function)

یک تابع خاص است که به واسطه ی مشتق لگاریتمی (logarithmic derivative) تابع گاما (gamma function) داده می شود (یا، بنابر اقتضای تعریف، مشتق لگاریتمی فاکتوریل).

به خاطر این ابهام و گنگی در تعریف، دو نوع نمادگذاری متفاوت غالباْ (نه همیشه) مورد استفاده قرار می

گیرد، اولی

              

به صورت مشتق لگاریتمی تابع گاما  و دومی به شکل

              

مشتق لگاریتمی تابع فاکتوریل تعریف می شود. این دو به وسیله ی رابطه ی

             

به هم مرتبط می شوند.

 امین مشتق تابع چندگاما (polygamma function) نامیده و با   نشان داده می شود. لذا نمادگذاری

به طور رایج برای خود تابع دی گاما بکار می رود و (Erdélyi et al. (1981 از برای  استفاده می کند.

 تابع دی گاما  در سری های ساده ای مانند زیر ظاهر می شود:

                   

که در آن مافوق لرچ (Lerch transcendent) است.

موارد خاص عبارت اند از

                 

               

               

               

قضیه ی دی گامای گائوس (Gauss's digamma theorem) می گوید که

      

(Allouche 1992, Knuth 1997, p. 94).

بسط مجانبی (asymptotic expansion) برای تابع دی گاما به صورت زیر ارائه می شود:

          

                       

                       

                       

                      

که ثابت اویلر ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) و  اعداد برنولی (Bernoulli numbers) هستند.

تابع دی گاما در رابطه ی مهم زیر صدق می کند:

          

که برای عدد صحیح ،

         

که ثابت اویلر ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) و   یک عدد هارمونیک یا همساز (harmonic number) است.

دیگر اتحادهایی که این تابع در آنها شرکت دارد، عبارت اند از:

       

       

       

       

مقادیر ویژه برابراند با

            

            

در مقادیر صحیح،

            

                    

Derbyshire 2003, p. 58). و در مقادیر نیمه انتگرالی داریم:

     

                    

که در آن   یک عدد هارمونیک یا همساز (harmonic number) است.

با استفاده از انتگرال مربع واحد (unit square integral) برای  نیز می توان این تابع را ظاهر کرد:

       

(Guillera and Sondow 2005). وارد کردن   در این معادله حالت خاص شامل ثابت اویلر ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) را بدست می دهد.

سری منتسب به  به شکل زیر است:

       

یک سری لگاریتمی از تابع اخیر داریم که صورت زیر را داراست:

      

(Guillera and Sondow 2005). یک اتحاد شگفت انگیز که از سری فاکس ترات (FoxTrot series) ناشی می شود عبارت است از

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972.

Allouche, J.-P. "Series and Infinite Products related to Binary Expansions of Integers." 1992. http://algo.inria.fr/seminars/sem92-93/allouche.ps.

Arfken, G. "Digamma and Polygamma Functions." §10.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 549-555, 1985.

Boros, G. and Moll, V. "The Psi Function." §10.11 in Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 212-215, 2004.

Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.

Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "The Function." §1.7 in Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 15-20, 1981.

Guillera, J. and Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch's Transcendent." 16 June 2005 http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.

Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.

Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "The Digamma () and Trigamma () Functions." Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 465-466, 1988.

Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, Vol. 1: Fundamental Algorithms, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1997.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Digamma Function ." Ch. 44 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 423-434, 1987

پاسخ به سوالات

یکی از دوستان* در سوالی از ما خواسته بودند که ارتباط تابع

             

با تابع همانی  را که در حدود دو پست پیش راجع به آن صحبت شد، توضیح دهیم.

در حقیقت ارتباط میان این دو تابع را می توان به وضوح در شکل زیر مشاهده کرد:

می بینیم که برای xهای کوچک در بازه [0,1] هر دو تابع بر هم منطبق هستند. (همین شرایط در بازه ی[1,0-] نیز برقرار است.) برای x=1 تابع فوق جوابی معادل 0.9937450941 را بدست می دهد که در حدود 0.0062549059 با ۱ فاصله دارد. لذا این تابع می تواند برای xهای کوچک در حکم تابع همانی باشد.

سوال دیگری که مطرح شده بود، در رابطه با توضیح قضیه ناتمامی گودل بود که در این باره باید عرض کنم که این اثبات بسیار ساده ولی خیلی زیرکانه است. شما می توانید مقاله ی کوتاهی از نحوه ی اثبات او را در این لینک (زبان انگلیسی) ببنید.

---

* محمد اسماعیل حسنی

تابع دلتا 1 (Delta Function)

تابع دلتا یک تابع تعمیم یافته (generalized function) است که می تواند در قالب حد یک دسته از دنباله های دلتا (delta sequences) تعریف شود. تابع دلتا معمولا "تابع دلتای دیراک" یا "نماد ضربه" خوانده می شود (Bracewell 1999).

به طور مرسوم، تابعی خطی از یک فضای (عموماْ به صورت یک فضای شوارتز (Schwartz space) یا فضای همه ی توابع مسطح محمل های فشرده  در نظر گرفته می شود) توابع آزمون  است. کنش دلتا روی  معمولا با  یا  نشان داده می شود که برای هر تابع . مقدار آن را در نقطه ی صفر بدست می دهد. در متون مهندسی، خصیصه ی تابعی تابع دلتا غالباْ نادیده گرفته می شود.

تابع دلتا را می توان به صورت مشتق تابع یکه ی هوی ساید (Heaviside step function) نشان داد:

                     

(Bracewell 1999, p. 94).

تابع دلتا دارای ویژگی بنیادین زیر است:

        

و، در واقع،

     

برای .

اتحادهای دیگر، شامل

               

برای  و بعلاوه

                      

               

می شوند.

به طور کلی تر، تابع دلتای تابعی از متغیر   به صورت زیر داده می شود:

              

که در آن، ها ریشه های  هستند. به عنوان مثال، برای تابع

                

داریم  که بنابراین  و   بدست می دهند:

                

تابع اصلی که مشتقات تابع دلتا  مشخص می کند، عبارت است از

         

با فرض ، در این تعریف، نتیجه می دهد:

             

                                      

                                       

که در آن جمله ی دوم به این دلیل از قلم افتاد که  ، در نتیجه روابط بالا تساوی زیر را محقق می سازند:

                        

در کل، رویه ای مشابه آنچه در بالا آمد، ما را به نتیجه ی بهتری می رساند

               

اما چون هر توان ضربدر   در انتگرالگیری به صفر ختم می شود، لذا تنها جمله ی ثابت در انتگرالگیری شرکت می کند. از اینرو، همه ی جملات ضرب شده در مشتقات صفر می شوند، و  تنها  باقی می ماند که آن هم به معادله ی زیر می انجامد:

               

که بر رابطه ی زیر دلالت می کند:

               

لینک مربوطه: تابع دلتا ۲ (Delta Function 2)

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 481-485, 1985.

Bracewell, R. "The Impulse Symbol." Ch. 5 in The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 69-97, 1999.

Dirac, P. A. M. Quantum Mechanics, 4th ed. London: Oxford University Press, 1958.

Gasiorowicz, S. Quantum Physics. New York: Wiley, pp. 491-494, 1974.

Kanwal, R. P. "Applications to Ordinary Differential Equations." Ch. 6 in Generalized Functions, Theory and Technique, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 291-255, 1998.

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 97-98, 1984.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Dirac Delta Function ." Ch. 10 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 79-82, 1987.

van der Pol, B. and Bremmer, H. Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1955.   

تابع همانی (Identity function)

تابع همانی  تابع  است که هر عدد حقیقی را به همان عدد حقیقی  نگاشت می دهد.

تابع همانی بدیهی است که خودتوان (idempotent) است، یعنی .

تابع همانی   در صفحه ی مختلط در بالا ترسیم شده است.

 

تابعی که به طور تقریبی تابع همانی را برای  های کوچک به جملاتی از مرتبه ی  تحویل می دهد، به صورت زیر داده می شود:

 

          

(Sloane's A115183 and A115184). این تابع به برخی تقریب های زیبا از پی (pi approximations) می انجامد.

 

منابع:

Sloane, N. J. A. Sequences A115183 and A115184 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

 

سری فوریه (تکمیلی)

برای تابع متناوب  در یک بازه مثل به جای ، یک تغییر ساده ی متغیرها می تواند برای تبدیل بازه ی انتگرالگیری از  به  مورد استفاده قرار بگیرد. فرض کنیم:

                     

                   

با حل معادله اول نسبت به  داریم ، لذا با وارد کردن این به     

             

 خواهیم داشت:             

            

بنابراین:

به طور یکسان، برای تابعی که در بازه ی   تعریف می شود، معادلات بالا به سادگی به اشکال زیر تبدیل می شوند:

 

 

در حقیقت برای تابع متناوب  با دوره ی ، هر بازه ی با توجه به یکی از دو اصل راحتی یا اولویت شخصی می تواند بکار گرفته شود (Arfken 1985, p. 769).

ضرایب (coefficients) برای بسط های سری های فوریه ی تعدادی از توابع مرسوم در Beyer, 1987, pp. 411-412 و Byerly, 1959, p. 51 آمده است. یکی از مرسوم ترین توابعی که با استفاده از تکنیک اخیر مورد تجزیه تحلیل قرار می گیرد، موج چهار گوش یا مربعی (square wave) است. سری های فوریه برای تعدادی از توابع مرسوم در جدول زیر گرداوری شده اند.

تابع		سری فوریه
سری های فوریه---موج دندانه اره ای
سری های فوریه---موج مربعی
سری های فوریه---موج مثلثی

اگر یک تابع زوج باشد، یعنی ، آنگاه  زوج است. (این بدان خاطر است که چون  فرد است و یک تابع زوج (even function) ضرب در یک تابع زوج برابر با یک تابع فرد (odd function) است.) بنابراین برای تمامی nها . به طور یکسان، اگر یک تابع فرد است، پس  ، آنگاه   فرد است. (این بدان خاطر است که چون  زوج است و یک تابع زوج (even function) ضرب در یک تابع فرد برابر با یک تابع فرد (odd function) است.) بنابراین برای تمامی nها 

نظریه ی سری های فوریه همچنین می تواند به ضرایب مختلط (complex coefficients) بسط داده شود. یک تابع حقیقی-مقدار را در نظر می گیریم. می نویسیم:

                  

حال بررسی می کنیم که

لذا

                

ضرایب (coefficients) را می توان برحسب آنهایی که در سری های فوریه گفته شده اند، توضیح داد:

برای یک تابع متناوب در ، اینها به شکل های زیر تبدیل خواهند شد:

این معادلات مبنای مهمی برای شکل گیری تبدیل فوریه (Fourier transform) محسوب می شوند که با تبدیل    از یک متغیر مجزا به یک متغیر پیوسته در طول  بدست می آید.

لینک مربوطه: سری فوریه

منابع:

Arfken, G. "Fourier Series." Ch. 14 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 760-793, 1985.

Askey, R. and Haimo, D. T. "Similarities between Fourier and Power Series." Amer. Math. Monthly 103, 297-304, 1996.

Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 1987.

Brown, J. W. and Churchill, R. V. Fourier Series and Boundary Value Problems, 5th ed. New York: McGraw-Hill, 1993.

Byerly, W. E. An Elementary Treatise on Fourier's Series, and Spherical, Cylindrical, and Ellipsoidal Harmonics, with Applications to Problems in Mathematical Physics. New York: Dover, 1959.

Carslaw, H. S. Introduction to the Theory of Fourier's Series and Integrals, 3rd ed., rev. and enl. New York: Dover, 1950.

Davis, H. F. Fourier Series and Orthogonal Functions. New York: Dover, 1963.

Dym, H. and McKean, H. P. Fourier Series and Integrals. New York: Academic Press, 1972.

Folland, G. B. Fourier Analysis and Its Applications. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, 1992.

Groemer, H. Geometric Applications of Fourier Series and Spherical Harmonics. New York: Cambridge University Press, 1996.

Körner, T. W. Fourier Analysis. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1988.

Körner, T. W. Exercises for Fourier Analysis. New York: Cambridge University Press, 1993.

Krantz, S. G. "Fourier Series." §15.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 195-202, 1999.

Lighthill, M. J. Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1958.

Morrison, N. Introduction to Fourier Analysis. New York: Wiley, 1994.

Sansone, G. "Expansions in Fourier Series." Ch. 2 in Orthogonal Functions, rev. English ed. New York: Dover, pp. 39-168, 1991.

Weisstein, E. W. "Books about Fourier Transforms." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/FourierTransforms.html.

Whittaker, E. T. and Robinson, G. "Practical Fourier Analysis." Ch. 10 in The Calculus of Observations: A Treatise on Numerical Mathematics, 4th ed. New York: Dover, pp. 260-284, 1967

ابتکار

 

یکی از ابتکاراتی که می توان بدان ارج نهاد، خلاقیت انسان های زحمتکش است که یکی از همین ابتکارات را می توان اعتلای ریاضیات از طریق وب یا The Growth of Mathematics Via Web نامید که متاسفانه توجه چندانی به آن نمی شود. نهادینه سازی فرهنگ ترویج ریاضیات پیشرفته در گستره ی اینترنت کار بسیار معقول و مورد پسندی است که می توان از مزایای آن به برآورده کردن نیازهای علمی در زمینه ی ریاضی علی الخصوص ریاضیاتی که بتواند قابل مقایسه با پیشرفت های روز باشد، اشاره کرد.

در این میان از دوست عزیزمان محمد که زحمت تهیه ی روش محاسبه ی بزرگترین مقسوم علیه مشترک به ۴ روش قلیدسی - اسکالر - بازگشتی - ریشه یابی روی وب را کشیده اند صمیمانه تشکر می کنیم. یک مشکلی که می توان در نرم افزارهای محاسباتی یافت، عدم امکان محاسبه ی چنین مقادیری به صورت همزمان (simultaneously) است که این را می توان به پای محدودیت های موجود در برنامه های تک-دستوری (single-command) گذاشت. لذا امکان بسیار جالبی است که همه ی این روشها را همزمان بروی یک صفحه ی وب مشاهده کرد. نوع آوری دیگر را می توان توسعه ی زبانی این مهم دانست که امکان بهره برداری از آن را برای دوستان خارجی زبان نیز فراهم می کند.

سایت ایشان را می توانید به دو زبان فارسی و انگلیسی ببینید.

حساب تغییرات بدون در نظر گرفتن شرایط فرعی (معادله اویلر)

یکی از شاخه های وسیع ریاضیات، نوع خاصی از تعمیم حساب در آن است. حساب تغییرات (وردشها) در جستجوی یافتن مجموعه ای از مسیرها، خم ها، خمینه ها و ... است که به عنوان توابعی پیوسته و مشتق پذیر دارای اکسترم طولی هستند (که اغلب در مسائل فیزیکی از آن به عنوان کمینه یا بیشینه نیز یاد می شود). در ریاضیات، مقدار این اکسترمم بوسیله ی انتگرال معین زیر نمایش داده می شود:

                  

که در آن

                  

در مسئله ی کوتاه ترین خم زمانی (brachystochrone problem) که توسط یوهان برنولی (Johann BERNOULLI) به سال ۱۶۹۶ علناْ مطرح شد یافتن y ای در انتگرال فوق مطرح است که در آن بتوانیم تعریف ذیل را نمایان سازیم:

اگر دو نقطه ی p1 و p2 در ارتفاعات متفاوت اما نه واقع بر بالای یکدیگر، مفروض باشند، می خواهیم از جمیع خم های ممکن واصل آنها، خمی را بیابیم که یک نقطه ی مادی (material point) از p1 به p2 در امتداد آن و تحت تاثیر گرانی یا ثقل (صرفنظر از اصطکاک) در کوتاهترین زمان ممکن بلغزد.

مسئله ی فوق در آن زمان، ذهن ریاضیدانان پیشرو تمام اروپا، از قبیل: نیوتون، لایب نیتز، یاکوب برنولی، لوپیتال، هود (HUDDE)، فاتیو (FATIO) و ... را به خود مشغول کرد. از این زمان به بعد حساب تغییرات به عنوان عنوان دستگاه ریاضی خاصی توسعه یافته است.

مسئله ی بالا منجر به پیدایش تابع (y(x ای شد که بازای آن مقدار اکسترمم را برای تابع f مطرح کردیم. اما تابع لازم در این مسئله نوع خاصی از جوابی بود که باید در یک معادله ی دیفرانسیل کلی ترصادق باشد. اویلر به همراه لاگرانژ در تحویل مسئله ی تغییرات به معادلات دیفرانسیل توفیق یافت.  معادله ی اویلر ـ لاگرانژ (Euler-Lagrange differential equation) یکی از فرمول های بنیادی حساب تغییرات یا وردش هاست.

ادامه نوشته

سری فوریه

سری فوریه عبارت است از بسط تابع تناوبی  در قالب جملاتی از جمع نامتناهی کسینوس ها و سینوس ها. در واقع سری فوریه بر کاربرد روابط تعامد (orthogonality relationships) توابع سینوسی و کسینوسی تاکید دارد. محاسبه و مطالعه ی سری های فوریه موسوم به آنالیز هارمونیک (harmonic analysis) می باشد که به عنوان یک روش بسیار سودمند برای تفکیک یک تابع تناوبی دلخواه به مجموعه ای از جملات ساده بوده که به راحتی می توان آنها را فهمید، منحصرا حل کرد و دوباره با ترکیب آنها راه حل مساله ی اولیه را بدست آورد، یا اینکه یک تقریب مطلوب و مناسبی را برای آن تخمین زد. نمونه هایی از تقریب های متوالی برای توابع معمول در ریاضیات با استفاده از سری های فوریه در شکل بالا گرداوری شده است.

به ویژه از آن جایی که با توجه به اصل انطباق (برهم نهی) مجموع پاسخ های یک معادله ی دیفرانسیلی معمولی همگن خطی خود راه حل معادله ی اولیه محسوب می شوند، چنانچه بک چنین معادله ای را بتوان برای یک خم سینوسی یکتا حل کرد، آنگاه راه حل یک تابع دلخواه را می توان فورا با استفاده از توصیف تابع اولیه در قالب یک سری فوریه بدست آورد که متعاقبا این رویه منجر به فهم راه حل هر یک از مولفه های منتسب به خم سینوسی می گردد. این تکنیک حتی در برخی موارد خاص که سری فوریه محصور به یک شکل محدود و بسته است، به راه حل های تحلیلی نیز می انجامد.

هر مجموعه ای از توابعی که یک دستگاه متعامد (راست گوشه) کامل (complete orthogonal system) را تشکیل می دهند، یک سری فوریه ی تعمیم یافته (generalized Fourier series) متناظر دارند که شبیه به سری فوریه است. مثلاْ استفاده از تعامد ریشه های تابع بسل نوع اول (Bessel function of the first kind) به اصطلاح یک سری بسل ـ فوریه (Bessel function of the first kind) را بدست می دهد.

محاسبه ی سری فوریه (معمول) بر پایه ی اتحاد های انتگرالی زیر است:

             

            

             

                         

                         

که  و  نماد دلتای کرونکر است:

               

با استفاده از متد سری فوریه تعمیم یافته (generalized Fourier series) سری فوریه ی معمول شامل جملات سینوسی و کسینوسی با قرار دادن  و  حاصل می شود. چون این توابع یک دستگاه متعامد کامل در بازه ی را ایجاد می کنند، سری فوریه تابع  به صورت زیر داده می شود:

               

که

            

              

              

 و ... n=۱،۲،۳ توجه کنید که عامل a₀ در فرم خاصی نوشته شده است که در قیاس با شکل عمومی سری فوریه تعمیم یافته می تواند تقارن نسبت به تعاریف  a_n و b_n را حفظ کند.

اگر یک تابع شرایط دیریشله (Dirichlet conditions) را تصدیق کند، سری فوریه تابع مزبور همگرا به تابع  می باشد که برابر با تابع اولیه در نقاط پیوستگی و یا میانگین دو حد در نقاط ناپیوستگی است، یعنی

            

به عنوان یک نتیجه، در نزدیکی ناپیوستگی ها، یک رشته ی حلقوی موسوم به پدیده ی گیبس (Gibbs phenomenon) می تواند اتفاق بیفتد که در شکل بالا به وضوح این مطلب قابل تایید است.

 

لینک مربوطه: سری فوریه (تکمیلی)

اشکالات وبلاگ

 

باتوجه به برخی اشکالات به وجود آمده من جمله تداخل اطلاعات دیتابیس سایت بلاگفا برای ساعاتی وبلاگ ریاضیات زیبا دچار نقص شده بود که بدین وسیله از شما پوزش خواهی می کنیم.

همچنین با توجه به بهبود کیفیت فرمول ها در دتابیس سایت جهان ریاضی و منسوخ شدن فرمول های قبلی، در سیستم نمایش فرمول ها در متن مسائل با مشکل مواجه خواهید بود که در سریع ترین زمان ممکن جهت رفع مشکل مذکور اقدام خواهد شد.

باتشکر

مدیریت وبلاگ

تنگرام

به زبان ساده تنگرام (Tangram) عبارت است از یک معمای چینی که می گوید یک مربع را می توان به ۵ مثلث، یک مربع و یک لوزی چنان کاهش داد، طوری که طرز آرایش این اشکال در کنار هم می تواند متفاوت از هم باشد، ولی در کل شکل نهایی یک مربع است. این تعریف کمی گنگ است، لذا به سراغ جستار فنی تر می رویم:

تنگرام، ترکیبی از قطعات چندضلعی صفحه مانندی است به نحوی که اضلاع این چندضلعی ها منطبق بر همدیگر هستند. در کل ۱۳ تنگرام محدب وجود دارد (یک تنگرام محدب شامل یک مجموعه از قطعات تنگرام است که در یک چند ضلعی محدب (convex polygon) مانند مربع چیده شده اند).

جالب است بدانید که شکل راست در زیر (مربوط به یک تنگرام با اجزای رنگ شده) علامت ویژه یا به اصطلاح لوگوی شرکت خدمات آب و برق ... Illinois Power در آمریکا است.

منابع:

Cundy, H. and Rollett, A. Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 19-20, 1989.

Gardner, M. "Tangrams, Part 1" and "Tangrams, Part 2." Chs. 3-4 in Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H. Freeman, pp. 27-54, 1988.

Illinois Power. "Illinois Power Home Page." http://www.illinoispower.com

Johnston, S. The Fun with Tangrams Kit: 120 Puzzles with Two Complete Sets of Tangram Pieces. New York: Dover, 1977.

Johnston, S. Tangrams ABC Kit. New York: Dover, 1985.

Pappas, T. "Tangram Puzzle." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 212, 1989.

Read, R. C. Tangrams: 330 Puzzles. New York: Dover, 1980.

Slocum, J. The Tangram Book: The Story of the Chinese Puzzle with Over 2000 Puzzles to Solve. New York: Sterling, 2003 

دیورژانس 1

دیورژانس (divergence) یک میدان برداری مانند ، نمادگذاری به صورت  یا  (در اینجا از نمادگذاری نوع دوم بهره خواهیم گرفت)، به وسیله حد انتگرال رویه ای (surface integral)

                                 

تعریف می شود که در آن انتگرال رویه ای، مقدار انتگرالگیری شده  روی رویه ی مرزی بینهایت کوچک بسته ای در اطراف عنصر حجمی, را نشان می دهد، طوری که این رویه با استفاده از یک عملیات حدی به اندازه ی صفر برده شده است. بنابراین دیورژانس یک میدان برداری (vector field)، یک میدان اسکالر (scalar field) است. اگر ، آنگاه میدان یک میدان فاقد دیورژانس (divergenceless field) است. نماد  همچنین با نام عملگرهای "دل" (del) و یا "نابلا" (nabla) نیز شناخته می شود.

مفهوم فیزیکی دیورژانس یک میدان برداری، حاکی از نرخ "چگالی" موجود در یک ناحیه ی مشخص از فضا است. لذا تعریف دیورژانس به طور طبیعی (در غیاب فرض ایجاد شدن یا به زوال رفتن ماده، به طور کلی متغیر بودن ماده) تنها با اتکا بر این فرض قابل حصول است که چگالی داخل یک ناحیه ی فضایی تنها می تواند با داشتن جریان به سمت داخل یا بیرون از ناحیه ی مفروض تغییر کند. با اندازه گیری شار (جریان) کل محتوای ماده ی گذرنده از یک رویه در اطراف ناحیه ی فضایی مربوطه، بلافاصله ممکن خواهد بود تا بگوییم چگونه چگالی داخلی تغییر یافته است. این یک ویژگی بنیادین در فیزیک است که با نام "اصل پیوستگی" (principle of continuity) شناخته می شود. هنگامی که این اصل به صورت یک قضیه رسمی عنوان شد، از آن پس آن را قضیه ی دیورژانس (divergence theorem) و یا همچنین قضیه ی گائوس می نامند. در حقیقت تعریف بکار برده شده در معادله بالا بیانی از قضیه ی دیورژانس است.

لینک مربوطه: دیورژانس ۲

منابع:

Arfken, G. "Divergence, " §1.7 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 37-42, 1985.

Kaplan, W. "The Divergence of a Vector Field." §3.4 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 185-186, 1991.

Morse, P. M. and Feshbach, H. "The Divergence." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 34-37, 1953.

Schey, H. M. Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, 3rd ed. New York: W. W. Norton, 1997 

قرارداد جمع

قرار داد جمع اینیشتین چیست؟

بر طبق اين قرارداد نماد سيگما (علامت جمع در رياضيات) براي شاخص هاي تكراري كه تلويحاً عمل جمع زني روي آنها انجام مي شود، حذف مي شود. اين قرار داد به صورت جالب توجهي از حجم معادلات شامل تانسورها كاسته و آنها را ساده و كوتاه مي كند. براي مثال با استفاده از اين قرار داد داريم

                          

و

                      

اين قرارداد اولين بار توسط اينيشتين معرفي شد (1916, sec. 5). او من باب شوخي به يكي از دوستانش گفت: "من كشف بزرگي را در رياضيات انجام دادم؛ من هميشه از نوشتن نماد جمع خودداري مي كردم، چون نماد جمع  همواره بايستي دوباره براي شاخصي كه تكرار مي شد ابقا شود..."

(Kollros 1956; Pais 1982, p. 216).

منابع:

Einstein, A. ""Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie." Ann. der Physik 49, 769-822, 1916.

Kollros, L. "Albert Einstein en Suisse Souvenirs." Helv. Phys. Acta. Supp. 4, 271-281, 1956.

Pais, A. Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. New York: Oxford University Press, p. 216, 1982 

فن وردشی ریتز (Ritz Variational Technique)

روشی برای محاسبه ی ویژه توابع (eigenfunctions) ویژه مقدارها (eigenvalues) است. برای توصیف با استناد بر

                   

که برای داشتن ارزش ثابت (*) الزامی است، مشروط به شرط بهنجارش

                              

و شرایط مرزی

                                      

که این در نهایت به معادله ی استروم-لیوویل (Sturm-Liouville equation) منجر خواهد شد

                

که مقادیر ثابت را بدست می دهد

                

به طوریکه در آن

              

و  ویژه مقادیر (eigenvalues) متناظر با ویژه تابع  هستند.

پیوست*:

ارزش ثابت یا مقدار ثابت به مقداری اطلاق می شود که تابع در یک نقطه مانا دارد.

این مقدار می تواند یک نقطه ی عطف (inflection point)، یک نقطه ی مینیمم (minimum) و یک ماکزیمم (maximum) باشد. نقاطی که در آنها همواره مشتق تابع صفر می گردد.

منابع:

Arfken, G. "Rayleigh-Ritz Variational Technique." §17.8 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 957-961, 1985.

Rayleigh, J. W. "In Finding the Correction for the Open End of an Organ-Pipe." Phil. Trans. 161, 77, 1870.

Ritz, W. "Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik." J. reine angew. Math. 135, 1-61, 1908.

Whittaker, E. T. and Robinson, G. "The Rayleigh-Ritz Method for Minimum Problems." §184 in The Calculus of Observations: A Treatise on Numerical Mathematics, 4th ed. New York: Dover, pp. 381-382, 1967 

چند تانسور مهم

تانسور ریچی

تانسور ریچی یا به صورت مشابه تانسور انحنای ریچی به صورت زیر تعریف می شود

                             

که   تانسور ریمان است.

به تعبیر هندسی این تانسور در واقع نرخ رشد حجم توپی وارهای متریکی را در یک چندگونا (در اصطلاح ریاضی آن را خمینه می نامند.) کنترل می کند.

انحنای اسکالر

انحنای اسکالر همچنین با نام اسکالر انحنا نیز شناخته می شود، به این صورت معرفی می شود

                             

که   تانسور متریک پادوردا و   تانسور ریچی است.

تانسور اینیشتین

این تانسور عبارت است از

                          

که  تانسور انحنای ریچی و  انحنای اسکالر یا نرده ای و بالاخره  تانسور متریک را نشان می دهد. این تانسور تحت عمل دیورژانس هموردا همواره برابر صفر است. یعنی:

                       

که نماد ; بر مشتق هموردا (Covariant Derivative) دلالت دارد.

منابع:

Arfken, G. "Divergence, ." §1.7 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 37-42, 1985

Misner, C. W.; Thorne, K. S.; and Wheeler, J. A. Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman, 1973.

Parker, L. and Christensen, S. M. "The Ricci, Einstein, and Weyl Tensors." §2.7.1 in MathTensor: A System for Doing Tensor Analysis by Computer. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 30-32, 1994.

Wald, R. M. General Relativity. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1984.

تانسور ریمان

تانسور ریمان (Riemann tensor)  كه همچنين با نام تانسور انحناي ريمان - كريستوفل يا تانسور انحناي ريمان نيز مشهور است، يك تانسور 4 شاخصي بسيار مهم و كاربردي در نسبيت عام است. ديگر تانسورهاي نسبيتي مفيد مانند تانسور انحناي ريچي (Ricci curvature tensor) و تانسور انحناي اسكالر نيز از تانسور  نشئت مي گيرند:

                    

كه در آن  ضرايب ارتباط (connection coefficients) و علامت كاما "," مشتق معمولی را نسبت به شاخص بعد از خودش نشان می دهد. در یک بعد داریم . در چهار بعد این تانسور ۲۵۶ مولفه دارد. با استفاده از روابط تقارنی،

                    

تعداد مولفه های مستقل به ۳۶ تا کاهش می یابد. با تحمیل شرط

                    

تعداد مختصه ها به ۲۱ عدد تقلیل می یابد. درنهایت با استفاده از

                  

تعداد مولفه های مستقل ۲۰ تا خواهند شد.

به طور کلی تعداد مولفه های مستقل در n بعد توسط رابطه ی زیر داده می شود:

                     

اعداد هرمی چهار - بعدی (four-dimensional pyramidal numbers) از کوچک به ترتیب عبارتند از ۰ و ۱و ۶و ۲۰و ۵۰و ۱۰۵و ۱۹۶و ۳۳۶و ۵۴۰و ... . تعداد اسکالرهای (scalars) ممکن که می توان آنها را از  و  ساخت، برابرند با

                     

در جملات تانسور ژاکوبی (Jacobi tensor)  

               

فرض می کنیم که

                    

که کمیت نماد کریستوفل نوع دوم (Christoffel symbol of the second kind) است. بنابراین

               

به ساده ترین شکل اش در N بعد تجزیه می شود:

                       

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.

Misner, C. W.; Thorne, K. S.; and Wheeler, J. A. "Geodesic Deviation and the Riemann Curvature Tensor." §8.7 in Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman, pp. 218-224, 1973.

Parker, L. and Christensen, S. M. "The Riemann Curvature Tensor." §2.7 in MathTensor: A System for Doing Tensor Analysis by Computer. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 28-32, 1994.

Schutz, B. F. "Riemann Tensor" and "Geometric Interpretation of the Riemann Tensor." §6.8 in A First Course in General Relativity. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 210-214, 1985.

Schmutzer, E. Relativistische Physik (Klassische Theorie). Leipzig, Germany: Akademische Verlagsgesellschaft, 1968.

Sloane, N. J. A. Sequences A002415/M4135 and A050297 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Weinberg, S. "Definition of the Curvature Tensor" and "Uniqueness of the Curvature Tensor." §6.1 and 6.2 in Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. New York: Wiley, pp. 131-135, 1972.

تانسور آفینی (Affine tensor)

تانسور آفینی (مستوی)، تانسوری متناظر با تبدیلات مختصات خطی است،، که در آن دترمینان  مخالف با صفر است. این تبدیل از دستگاه مختصات راست گوشه به دستگاه مختصات دارای محورهای مایل (oblique axes) صورت می پذیرد. در این روش تانسور آفینی می تواند در قالب یک تانسور دکارتی (*) ظاهر شود.

این تانسورها دارای ژاکوبی های زیر هستند:

                                          

                                                 

                                      

                                                

قوانین تبدیل تانسورهای (مماس) پادوردای آفینی عبارت اند از

                                           

                                       

                                    

و به همین ترتیب ادامه می یابد. قوانین تبدیل تانسورهای (هم بردار) هموردای آفینی نیز عبارت اند از

                                            

                                   

                                   

و همین روال ادامه خواهد یافت.

قوانین تبدیل تانسورهای مختلط ـ شاخص آفینی نیز به صورت زیر هستند:

                                       

                                  

(*) تانسور دکارتی: تانسوری در فضای ۳ بعدی اقلیدسی است. برعکس تانسورهای عمومی، هیچ تمایزی میان شاخص های هموردا و پادوردای تانسورهای دکارتی وجود ندارد. با این حال در فضاهای نااقلیدسی (مانند فضاهای لورنتزی)، تانسورها به این تمایز نیازمندند.

منابع:

Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 580, 1980.

Kay, D. Schaum's Outline of Tensor Calculus. New York: McGraw-Hill, 1988.

Lovelock, D. and Rund, H. Tensors, Differential Forms, and Variational Principles. New York: Dover, 1989

تانسورها (1)

بالانس شاخص ها در دو حالت هم وردا و پادوردا به کمک تانسور متریک:

                         

                        

 (Arfken 1985, p. 159).     

نمادنویسی تانسوری می تواند یک راه موجز و کوتاه را جهت نوشتن بردارها و اتحادهای عمومی دیگر فراهم کند. به عنوان مثال، در نمادنویسی تانسوری، حاصلضرب نقطه ای (dot product)  به واسطه رابطه ی زیر بسیار خلاصه می گردد

                       

که در اینجا برای ساده شدن عبارت تحت جمع زنی نسبت به همه ی شاخص ها، قرارداد جمع اینیشتین را بکار برده ایم. به طور مشابه، می توانیم حاصلضرب خارجی (cross product) را به صورتی مختصر بدین گونه بنویسیم

                              

که  تانسور لوی - سیویتا یا تانسور جایگشت (permutation tensor) می باشد.

تانسورهای پادوردای (Contravariant) مرتبه ی دوم، ساختارهای ریاضیاتی هستند که به شکل زیر تبدیل می شوند

                    

به همین شکل تانسورهای هم وردای (Covariant) نیز به صورت زیر تبدیل می شوند

                     

تانسورهای موسوم به مختلط ـ شاخص (Mixed) از مرتبه دو نیز به شکل زیر تبدیل می یابند

                   

چنانچه دو تانسور A و B و هر دو نه لزوماْ از مرتبه ی ۲ داشته باشیم، جمع آنها در قالب حالت های زیر انجام می گیرد

                        

                        

                      

تعمیم حاصلضرب نقطه ای (داخلی) را می توان در قاعده ای موسوم به تنجش تانسور (tensor contraction) بکار گرفت، به صورتی که دو شاخص یکسان یکی هم وردا و دیگری پادوردا در یک تانسور مورد استفاده قرار گیرند. برای تانسورها، می توان انواع مختلفی از مشتق ها را تعریف کرد. اما پرکاربردترین آن ها به دو مورد مشتق معمولی (comma derivative) (مشتقی که در آنالیز تانسوری به صورت یک کاما در کنار آخرین شاخص هم وردا، آنرا نشان می دهند) و همچنین مشتق هم وردا (covariant derivative) ختم می شوند.

اگر هریک از مولفه های یک تانسور از مرتبه ی دلخواه، در یکی از دستگاه های مختصاتی صفر شوند، در  دیگر دستگاه های مختصات نیز حتماْ صفر خواهند بود. لازم به ذکر است تبدیل متغیرهای یک تانسور، آنرا به تانسور دیگری تبدیل می کنند که مولفه هایش، توابع همگن خطی از مولفه های تانسور اولیه هستند.

فضای تانسوری از نوع می تواند به کمک حاصلضرب تانسوری فضای برداری (vector space tensor product) بین  میدان برداری (vector fields) و  میدان برداری دوگان نظیر یک شکلی ها (one-forms) نوشته شود. برای مثال

                   

برابر با کلاف برداری  - تانسوری بر روی خمینه ی (manifold)  بوده که  کلاف مماس  و  دوگان آن می باشد. تانسورهای نوع  یک فضای برداری (vector space) را تشکیل می دهند. این توصیف به نوع تانسور دیگر نیز تعمیم پیدا می کند و نگاشت خطی وارون پذیر (invertible linear map)  نگاشت  را القاء می کند، فضای برداری دوگان (dual vector space) و  ژاکوبی (Jacobian) است، که به شکل ذیل تعریف می شود

                 

که نگاشت قلاب (pullback map) و ژاکوبی  است که با جابجایی ژاکوبی به طرف دیگر معادله حاصل شده است. این تعریف میتواند به دیگر ضرب های تانسوری (tensor products)  و  بسط داده شود. هنگامی که یک تبدیل مختصات انجام می دهیم، متعاقباْ تانسورها نیز به کمک ژاکوبی  (محصول تبدیل خطی تانسورها) تبدیل خواهند شد.

منبع ارجاع داده شده:

Arfken, G. "Tensor Analysis." Ch. 3 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 118-167, 1985

تانسورها

هر تانسور از مرتبه ی n در فضایی m- بعدی، ساختاری ریاضیاتی است که n شاخص و  مولفه دارد که از قوانین تبدیلات مختصاتی پیروی می کند.

هر شاخص تانسور، فقط مقادیری در محدوده ی تعداد بعدهای فضای تعریفی اختیار می کند. با این حال دخالت ابعاد فضایی تا حدود زیادی در معادلات تانسوری نامربوط به نظر می رسد. (به استثنای حالت تنجش یافته ی تانسور کرونکر). تانسورها نوع عمومی تر اسکالرها ( که فاقد شاخص هستند) ،بردارها (که تنها دارای یک شاخص اند) و نیز متریک ها (که فقط دو شاخص دارند) می باشند که می توانند تعداد دلخواه شاخص اختیار کنند.

تانسورها بستر ریاضی مناسب و ساده ای را جهت فرمولبندی و حل مسائل متعدد در سیطره ی مباحث گوناگون فیزیک نظیر مکانیک سیالات و نسبیت عام فراهم می کنند.

نمادگذاری هر تانسور عیناْ شبیه به یک ماتریس است، (مثل )، به جز اینکه یک تانسور مثلا ، ،  قدرت انتخاب هر تعداد شاخص دلخواه را شامل هستند. بعلاوه، یک تانسور از مرتبه ی ،از نوع مختلط ـ شاخص یا به اصطلاح "مختلط" ، تلفیقی از  شاخص بالا یا "پادوردا (contravariant)" و  شاخص پایین "هم وردا (covariant)" می باشد. دقت کنید که مکان شاخص های پادوردا و هم وردا با یکدیگر فرق دارد که کوچکترین تفاوت میان جایدهی شاخص ها در یک تانسور چه در ترتیب و چه در بالا یا پایین بردن شاخص ها، منجر به ایجاد تانسور جدید و یا تغییر ساختمان ریاضی آن می گردد. برای مثال تانسور  متمایز از شکل  است.

هنگامی که تانسور نسبت به تفاوت شاخص های پادوردا و هم وردا حساس باشد، تانسور حاصل از نوع عمومی خواهد بود. (در بحث ماتریس ها، یک ماتریس عمومی از جمع دو ماتریس پادمتقارن و متقارن به وجود می آمد که در اینجا نیز همین حالت برای تانسورها برقرار است). عدم تفاوت میان شاخص های هم وردا و پادوردا بیشتر در تانسورهای موردبحث در فضای اقلیدسی مانند تانسورهای دکارتی (Cartesian tensors) مطرح است.

تانسورهای تبدیل شونده از مرتبه ی صفر، اسکالر (scalars) نامیده می شوند که همانند تانسورهای مرتبه ی ۱ یعنی بردارها (vectors) تبدیل می شوند. در نمادنویسی تانسوری، هر بردار  به شکل  نوشته می شود. به طوریکه i=1,...,m و ماتریس متناظر با آن گویای تانسوری از مرتبه ی (۱,۱) است که آن را به فرم  می نویسیم.

می توان عملیات جبری و دیفرانسیل را بر روی تانسورها انجام داد (مانند تانسورهای متریک (metric tensors) و تانسور جایگشت (permutation tensor) یا نماد دلتای کرونکر) که قابلیت تعریف پذیری عملگرهای تانسوری را دارا هستند. [مانند مشتق هم وردا (semicolon derivatives)]. با جابجایی شاخص های هم وردا و پادوردا می توان به عبارات و تانسورهای ساده تری دست یافت که این کار شامل بالابردن (index raising) یا پایین آوردن شاخص ها (index lowering) یا به عبارت کلی بالانس شاخص ها ( index gymnastics) می باشد که آن ها را می توان با ضرب در تانسور متریک، ، ،  و ... به دست آورد.

ادامه دارد...

منابع:

Abraham, R.; Marsden, J. E.; and Ratiu, T. S. Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1991.

Akivis, M. A. and Goldberg, V. V. An Introduction to Linear Algebra and Tensors. New York: Dover, 1972.

Arfken, G. "Tensor Analysis." Ch. 3 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 118-167, 1985.

Aris, R. Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics. New York: Dover, 1989.

Bishop, R. and Goldberg, S. Tensor Analysis on Manifolds. New York: Dover, 1980.

Borisenko, A. I. and Tarpov, I. E. Vector and Tensor Analysis with Applications. New York: Dover, 1980.

Bott, R. and Tu, L. W. Differential Forms in Algebraic Topology. New York: Springer-Verlag, 199.

Cartan, É. The Theory of Spinors. New York: Dover, 1981.

Joshi, A. W. Matrices and Tensors in Physics, 3rd ed. Wiley, 1995.

Lass, H. Vector and Tensor Analysis. New York: McGraw-Hill, 1950.

Lawden, D. F. An Introduction to Tensor Calculus, Relativity, and Cosmology, 3rd ed. Chichester, England: Wiley, 1982.

Lovelock, D. and Rund, H. Tensors, Differential Forms, and Variational Principles. New York: Dover, 1989.

McConnell, A. J. Applications of Tensor Analysis. New York: Dover, 1947.

Nicolaescu, L. I. Lectures on the Geometry of Manifolds. Singapore: World Scientific, 1996.

Parker, L. and Christensen, S. M. MathTensor: A System for Doing Tensor Analysis by Computer. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

Rashevskii, P. K. Riemann'sche Geometrie und Tensoranalysis. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1959.

Simmonds, J. G. A Brief on Tensor Analysis, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1994.

Sokolnikoff, I. S. Tensor Analysis: Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua, 2nd ed. New York: Wiley, 1964.

Synge, J. L. and Schild, A. Tensor Calculus. New York: Dover, 1978.  

Wrede, R. C. Introduction to Vector and Tensor Analysis. New York: Wiley, 1963

انتگرالگیری مسیری

انتگرالگیری مسیری (Contour integration) فرایندی است که طی آن مقادیر یک انتگرال مسیری حول یک منحنی ساده ی بسته ی فرضی (contour) در صفحه ی مختلط (complex plane) محاسبه می شوند. به عنوان یک نتیجه ی شفت انگیز و جالب توابع هولومورفیک (holomorphic functions)، چنین انتگرال هایی به راحتی می توانند با جمع مقادیر مانده های مختلط (complex residues) داخل منحنی محاسبه شوند.

فرض کنیم  و  دو چندجمله ای به ترتیب از درجه ی n و m با ضرایب , ...,  و , ...,  باشند. منحنی بسته ای در نیم صفحه ی بالایی (upper half-plane) همچون شکل بالا داریم. با تعویض x به z، می نویسیم . آنگاه

                  

یک مسیر  را که در امتداد محور حقیقی از  تا   مستقیم است، تعریف کرده و یک نیم دایره جهت اتصال دو نقطه ی انتهایی این مسیر مستقیم در نیم صفحه ی مختلط بالایی را رسم می کنیم. به کمک قضیه مانده ها (residue theorem) خواهیم داشت

            

                                                                            

که   مانده های مختلط (complex residues) را نشان می دهد. با حل

        

تعریف می کنیم

               

                  

                  

(*)                             

و مجموعه ی

              

آنگاه معادله ی (*)  خواهد شد

            

اینک،

                

برای . این بدان معناست که برای  و یا   ،  داریم

         

که در آن . در لم گوردن (Jordan's lemma) تابع مختلط مقدار  را بکار می بریم.  بنابراین بایستی داشته باشیم

              

که برای تصدیق آن باید رابطه ی  را مطالبه کنیم.

از این رو به ازای  و  داریم:

           

چون این رابطه بایستی به طور جداگانه برای قسمت های حقیقی و مختلط ارضا شود، نتیجه را می توان به دو رابطه ی مهم زیر بسط داد:

         

          

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 406-409, 1985.

Krantz, S. G. "Applications to the Calculation of Definite Integrals and Sums." §4.5 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 51-63, 1999.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 353-356, 1953.

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "The Evaluation of Certain Types of Integrals Taken Between the Limits and ," "Certain Infinite Integrals Involving Sines and Cosines," and "Jordan's Lemma." §6.22-6.222 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 113-117, 1990. 

اندازه و انتگرال لبگ

اندازه ی لبگ (Lebesgue Measure)، توسیع مفاهیم طول و مساحت به مجموعه های بسیار پیچیده است. مجموعه ی باز   شامل عناصر مجزا (disjoint) (یعنی اشتراک آنها تهی باشد. می توان از انها با عنوان مجموعه های مستقل نیز یاد کرد.)، معلوم است. اندازه ی لبگ به صورت زیر تعریف می شود

                       

چنانچه مجموعه ی انتخابی بسته  (closed set) باشد یعنی ، آنگاه داریم

                        

یک پاره خط به طول واحد، اندازه ی لبگ ۱ دارد، اندازه ی لبگ مجموعه ی کانتور (Cantor set) صفر است. اندازه ی مینکوفسکی (Minkowski measure) یک مجموعه ی بسته کراندار ، در حقیقت همان مفهوم اندازه ی لبگ را در پی دارد (Ko 1995).

انتگرال لبگ (Lebesgue Integral) برحسب جملات کران بالا و پایین و بکارگیری اندازه ی لبگ یک مجموعه حاصل می شود. در این تعریف، از جمع لبگ (Lebesgue sum)  که در آن  مقدار تابع در زیربازه ی  و  اندازه ی لبگ مجموعه ی ازنقاطی است که برای آنها مقادیر تقریباْ برابر با  هستند. این انتگرال، دسته ی عظیمی از توابع انتگرالپذیر که انتگرال ریمان (Riemann integral) آنها را در بر نمی گیرد، را تحت پوشش قرار می دهد.

انتگرال لبگ یک تابع   در فضای اندازه (measure space) ، به صورت زیر نوشته می شود

                                        

یا اغلب

                                        

که تاکیدی بر این موضوع باشد که انتگرال نسبت به اندازه (measure)  گرفته می شود.          

منابع:

Croft, H. T.; Falconer, K. J.; and Guy, R. K. Unsolved Problems in Geometry. New York: Springer-Verlag, p. 4, 1991.

Kestelman, H. "Lebesgue Measure." Ch. 3 in Modern Theories of Integration, 2nd rev. ed. New York: Dover, pp. 67-91, 1960.

Ko, K.-I. "A Polynomial-Time Computable Curve whose Interior has a Nonrecursive Measure." Theoret. Comput. Sci. 145, 241-270, 1995.

Kestelman, H. "Lebesgue Integral of a Non-Negative Function" and "Lebesgue Integrals of Functions Which Are Sometimes Negative." Chs. 5-6 in Modern Theories of Integration, 2nd rev. ed. New York: Dover, pp. 113-160, 1960.

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, p. 141, 1984.

معادلات کوشی - ریمان (Cauchy-Riemann Equations)

فرض کنیم

                     

که                               

                     

بنابراین

                  

همه ی مشتقات نسبت به  به صورت نمونه های محاسبه شده ی زیر هستند.

                      

                      

بنابراین

                   

                 

و 

               

                     

برحسب   و  خواهیم داشت، 

              

                    

در امتداد محور xها یا محور حقیقی، ، پس

(x)                            

و در امتداد محور yها یا موهومی، ،لذا                 

(xx)                        

چنانچه  به ازای مقادیر مختلط مشتق پذیر (complex differentiable) باشد، آنگاه مقدار این مشتق می بایست برای هر  معلوم ، صرف نظر از جهت گیری آن، یکسان باشد. بنابراین (x) و (xx) معادل یکدیگرند که این به ما می گوید که

                          

و

                          

این ها به معادلات کوشی ـ ریمان شهرت دارند.

این روابط به دو شرط مهم زیر مختوم می شوند

                          

                          

معادلات کوشی ـ ریمان به اختصار به صورت زیر بیان می شوند

                           

                                

                                      

                                

که   مزدوج مختلط (complex conjugate) نام دارد.

اگر  در اینصورت معادلات کوشی ـ ریمان به شکل زیر تحویل می یابند

                           

                      

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 17).

چنانچه  و  در معادلات کوشی ـ ریمان صدق کنند، آنگاه در معادله ی لاپلاس (Laplace's equation) در فضای دو بعدی نیز برقرارند، زیرا

               

               

با اختیار هر  دلخواه، راه حل های حاصله طوری هستند که به طور خودکار در معادله ی لاپلاس صدق می کنند. در حقیقت از آنها می توان در قضیه ی نگاشت های همدیس (conformal mappings) و پیدا کردن چارچوب و پاسخ های منطقی برای مسائل فیزیکی نظیر شارش شاره ها و الکترواستاتیک استفاده کرد.

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 17, 1972.

Arfken, G. "Cauchy-Riemann Conditions." §6.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 360-365, 1985.

Knopp, K. "The Cauchy-Riemann Differential Equations." §7 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 28-31, 1996.

Krantz, S. G. "The Cauchy-Riemann Equations." §1.3.2 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 13, 1999.

Levinson, N. and Redheffer, R. M. Complex Variables. San Francisco, CA: Holden-Day, 1970.

Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 137, 1997

هندسه ی ریمانی (1)

مطالعه ی خمینه ها (manifolds)، مستلزم آشنایی با متریک ریمانی (Riemannian metric) است. هندسه ریمانی یک فضای عمومی است که بر پایه عنصر فاصله (line element) پی ریزی شده است

                  

با   برای  تابعی بر روی کلاف مماس (tangent bundle)  است. در نتیجه،  همگن درجه ی ۱ در  بوده و شکل متریک فضای ریمانی به صورت زیر القا می شود

            

(Chern 1996). چنانچه شرط فوق را حذف کنیم نتیجه منجر به هندسه ی فینسلر (Finsler geometry) می گردد.

مفاهیم:

۱- خمینه: خمینه یک فضای توپولوژیک (topological space) است که موضعاً اقلیدسی (locally Euclidean) است. (یعنی دور هر نقطه، همسایگی موجود است که از نظر توپولوژیک مانند یک گوی واحد باز (open unit ball) در  می باشد) برای توضیح بیشتر پیرامون مطلب اخیر، عقیده ی قدیمی مبنی بر اینکه زمین تخت و مخالف با مدارک مدرن که در آن ها گرد بودن زمین به اثبات رسیده است را در نظر می گیریم. این تفاوت در اصل از این امر ناشی می شود که معیار بسیار کوچکی از سطح زمین به واقع ما را بر آن می دارد که بر اساس مشاهدات بگوییم که زمین واقعاً تخت نیست. به طور کلی، هر جسمی که تقریباً صاف است، در مقادیر کوچک خود در حقیقت یک خمینه است و بنابرین رهاورد خمینه ها تعمیم کلی اشیاء به نحوی است در واقع از مسئله ی تخت ـ گرد بودن زمین ناشی می شود که اولین بار به صورت منظم در قالب فرمول بندی پوانکاره (Poincaré) آشکار گردید.

به طور صوری، هر شی ای که قابل "ترسیم" باشد، یک خمینه است.

ادامه دارد...

منابع:

Besson, G.; Lohkamp, J.; Pansu, P.; and Petersen, P. Riemannian Geometry. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1996.

Buser, P. Geometry and Spectra of Compact Riemann Surfaces. Boston, MA: Birkhäuser, 1992.

Chavel, I. Eigenvalues in Riemannian Geometry. New York: Academic Press, 1984.

Chavel, I. Riemannian Geometry: A Modern Introduction. New York: Cambridge University Press, 1994.

Chern, S.-S. "Finsler Geometry is Just Riemannian Geometry without the Quadratic Restriction." Not. Amer. Math. Soc. 43, 959-963, 1996.

Eisenhart L.P. Riemannian geometry 1949.

do Carmo, M. P. Riemannian Geometry. Boston, MA: Birkhäuser, 1992.

نقاط اویلری (Euler Points)

نقاط اویلری، نقاط میانی (midpoints) ,  و  پاره خط های متصل به رئوس ,  و  مثلث  هستند و  محل تقاطع ارتفاعات مثلث (orthocenter) است. این نقاط سه نقطه از مجموع ۹ نقطه ای از مثلث مفروض هستند که یک دایره ی نه-نقطه ای  (nine-point circle) - یعنی دایره ای که در نه نقطه از این مثلث می گذرد - آن را تشکیل می دهد. نقاط اویلری  مثلث اویلری   (Euler triangle) را می سازند.

با در نظر گرفتن مثلث  مثلث پادک (orthic triangle)  را رسم می کنیم. سپس خطوط اویلری (Euler lines) متعلق به سه  مثلث گوشه ای  و  و   را از میان نقاط اویلری عبور می دهیم تا در نقطه ی  واقع بر روی دایره ی نه-نقطه ای به همدیگر برسند، به طوریکه یکی از روابط

                    

                      

                      

همواره برقرار است (Thébault 1947, 1949; Thébault et al. 1951).

منابع:

onsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 6, 1995.

Thébault, V. "Concerning the Euler Line of a Triangle." Amer. Math. Monthly 54, 447-453, 1947.

Thébault, V. "Problem 4328." Amer. Math. Monthly 56, 39-40, 1949.

Thébault, V.; Ramler, O. J.; and Goormaghtigh, R. "Solution to Problem 4328: Euler Lines." Amer. Math. Monthly 58, 45, 1951.  

پارامترهای اویلری (Euler Parameters)

چهار پارامتر , ,  و  یک دوران متناهی پیرامون یک محور دلخواه را توصیف می کنند.. پارامترهای اویلری به صورت زیر مشخص می شوند

                          

                           

                            

(که   بردار قائم یکه است)، و در نمایش اسکالر ـ بردار یک چهارگان (quaternion) هستند.

                

چون قضیه ی دوران اویلر (Euler's rotation theorem) بیان می کند که یک دوران دلخواه تنها با ۳ پارامتر توصیف می شود، لذا رابطه ای مانند زیر بایستی بین این چهار پارامتر وجود داشته باشد

               

                          

 (Goldstein 1980, p. 153). ارتباط زاویه ی دوران با پارامترهای اویلر توسط رابطه ی زیر داده می شود

                  

                         

                         

و در نهایت

            

پارامترهای اویلر را می توان بر حسب جملاتی از زوایای اویلری (Euler angles) نیز نمایش داد

                      

                       

                        

                       

 (Goldstein 1980, p. 155).

با استفاده از پارامترهای اویلری فرمول دوران (rotation formula) به دست می آید

                    

و ماتریس دوران (rotation matrix) به شکل زیر حاصل می شود

              

که عناصر ماتریس عبارت اند از

                 

در اینجا از قاعده ی جمع اینیشتین استفاده شده است و  تابع دلتای کرونکر (i=j آنگاه ۱=  و در غیر این صورت ۰= ) و   تانسور لوی ـ سیویتا (Levi - Civita) یا نماد جایگشت (permutation symbol) می باشد.

عناصر ماتریس هم به شکل زیر رائه می شوند

                      

                      

                      

                      

                      

                      

                      

                      

                        

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 198-200, 1985.

Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1980.

Landau, L. D. and Lifschitz, E. M. Mechanics, 3rd ed. Oxford, England: Pergamon Press, 1976.