Digamma

DigammaReImAbs

یک تابع خاص است که به واسطه ی مشتق لگاریتمی (logarithmic derivative) تابع گاما (gamma function) داده می شود (یا، بنابر اقتضای تعریف، مشتق لگاریتمی فاکتوریل).

به خاطر این ابهام و گنگی در تعریف، دو نوع نمادگذاری متفاوت غالباْ (نه همیشه) مورد استفاده قرار می

گیرد، اولی

Psi(z)=d/(dz)lnGamma(z)=(Gamma^'(z))/(Gamma(z))               

به صورت مشتق لگاریتمی تابع گاما Gamma(z) و دومی به شکل

F(z)=d/(dz)lnz!               

مشتق لگاریتمی تابع فاکتوریل تعریف می شود. این دو به وسیله ی رابطه ی

F(z)=Psi(z+1).              

به هم مرتبط می شوند.

 nامین مشتق Psi(z) تابع چندگاما (polygamma function) نامیده و با  psi_n(z) نشان داده می شود. لذا نمادگذاری

psi_0(z)=Psi(z)

به طور رایج برای خود تابع دی گاما بکار می رود و (Erdélyi et al. (1981 از psi(z) برای Psi(z) استفاده می کند.

 تابع دی گاما psi_0(z) در سری های ساده ای مانند زیر ظاهر می شود:

(Phi(-1,-1,z^(-1)))/z    =   sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(zk+1)            

1/(2z)[psi_0((z+1)/(2z))-psi_0(1/(2z))],    =              

که Phi(z,s,a)در آن مافوق لرچ (Lerch transcendent) است.

موارد خاص عبارت اند از

ln2  =  sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(k+1)             

1/4pi  =  sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(2k+1)           

1/9(sqrt(3)pi+3ln2)  =  sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(3k+1)           

(pi+2coth^(-1)(sqrt(2)))/(4sqrt(2)).  = sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(4k+1)            

قضیه ی دی گامای گائوس (Gauss's digamma theorem) می گوید که

(Gamma^'(p/q))/(Gamma(p/q))=-gamma-ln(2q)-1/2picot((pip)/q)+2sum_(0<n<q/2)cos((2pipn)/q)ln[sin((pin)/q)]       

(Allouche 1992, Knuth 1997, p. 94).

بسط مجانبی (asymptotic expansion) برای تابع دی گاما به صورت زیر ارائه می شود:

d/(dz)lim_(n->infty)[lnn!+zlnn-ln(z+1)-ln(z+2)-...-ln(z+n)]   ∼   psi_0(z+1)    

lim_(n->infty)(lnn-1/(z+1)-1/(z+2)-...-1/(z+n))   =                    

-gamma-sum_(n=1)^(infty)(1/(z+n)-1/n)   =                    

-gamma+sum_(n=1)^(infty)z/(n(n+z))   =                    

lnz+1/(2z)-sum_(n=1)^(infty)(B_(2n))/(2nz^(2n)),   =                   

که gamma ثابت اویلر ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) و B_(2n) اعداد برنولی (Bernoulli numbers) هستند.

تابع دی گاما در رابطه ی مهم زیر صدق می کند:

psi_0(z)=int_0^infty((e^(-t))/t-(e^(-zt))/(1-e^(-t)))dt.           

که برای عدد صحیح z=n،

psi_0(n)=-gamma+sum_(k=1)^(n-1)1/k=-gamma+H_(n-1),          

که gamma ثابت اویلر ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) و  H_n یک عدد هارمونیک یا همساز (harmonic number) است.

دیگر اتحادهایی که این تابع در آنها شرکت دارد، عبارت اند از:

(dpsi_0)/(dz)=sum_(n=0)^infty1/((z+n)^2)        

psi_0(1-z)-psi_0(z)=picot(piz)        

psi_0(z+1)=psi_0(z)+1/z        

psi_0(2z)=1/2psi_0(z)+1/2psi_0(z+1/2)+ln2.        

مقادیر ویژه برابراند با

-gamma-2ln2   =   psi_0(1/2)      

-gamma.   =  psi_0(1)       

در مقادیر صحیح،

-gamma+sum_(k=1)^(n-1)1/k    =  psi_0(n)      

-gamma+H_(n-1)    =                

Derbyshire 2003, p. 58). و در مقادیر نیمه انتگرالی داریم:

-gamma-2ln2+2sum_(k=1)^(n)1/(2k-1)   =   psi_0(1/2+n)

-gamma+H_(n-1/2),   =                 

که در آن  H_n یک عدد هارمونیک یا همساز (harmonic number) است.

با استفاده از انتگرال مربع واحد (unit square integral) برای u>0 نیز می توان این تابع را ظاهر کرد:

psi_0(u)=lnu-int_0^1int_0^1(1-x)/((1-xy)(-lnxy))(xy)^(u-1)dxdy        

(Guillera and Sondow 2005). وارد کردن u=1  در این معادله حالت خاص شامل ثابت اویلر ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) را بدست می دهد.

سری منتسب به psi_0(z) به شکل زیر است:

psi_0(z)=-1/z+sum_(n=0)^infty(psi_n(1))/(n!)z^n.        

یک سری لگاریتمی از تابع اخیر داریم که صورت زیر را داراست:

psi_0(z)=sum_(n=0)^infty1/(n+1)sum_(k=0)^n(-1)^k(n; k)ln(z+k)       

(Guillera and Sondow 2005). یک اتحاد شگفت انگیز که از سری فاکس ترات (FoxTrot series) ناشی می شود عبارت است از

-psi_0(1/2(-1)^(1/3))-psi_0(-1/2(-1)^(2/3))+psi_0(1/2(1+(-1)^(1/3)))+psi_0(1/2(1-1(-1)^(2/3)))=2pisech(1/2sqrt(3)pi).

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972.

Allouche, J.-P. "Series and Infinite Products related to Binary Expansions of Integers." 1992. http://algo.inria.fr/seminars/sem92-93/allouche.ps.

Arfken, G. "Digamma and Polygamma Functions." §10.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 549-555, 1985.

Boros, G. and Moll, V. "The Psi Function." §10.11 in Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 212-215, 2004.

Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.

Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "The psi Function." §1.7 in Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 15-20, 1981.

Guillera, J. and Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch's Transcendent." 16 June 2005 http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.

Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.

Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "The Digamma (F) and Trigamma (F^') Functions." Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 465-466, 1988.

Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, Vol. 1: Fundamental Algorithms, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1997.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Digamma Function psi(x)." Ch. 44 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 423-434, 1987