آجر اویلر (Euler Brick)

 

آجر اویلر مکعبی (cuboid) است که اضلاع آن اعداد صحیحی بوده، به طوریکه ، و اقطار وجهی (face diagonals) آن عبارت اند از

                 

                 

                 

اگر قطر فضایی (space diagonal) هم یک صحیح باشد، آنگاه آجر اویلر یک مکعب کامل (Perfect Cuboid) نامیده می شود. اگر چه نمونه های مکعب کامل در حال حاضر شناخته شده نیستند.

کوچکترین آجر اویلر دارای ابعاد  است و قطر های چندسطحی آن (polyhedron diagonals) به صورت و   و   است که توسط هالک (P. Halcke) ،(1719; Dickson 2005, pp. 497-500) کشف شده است. کرایچیک (Kraitchik) به تعداد ۲۵۷ مکعب با اضلاع فرد کوچکتر از ۱ میلیون را بدست آورده است (Guy 1994, p. 174). هلنیوس (F. Helenius) لیست کاملی از ۵۰۰۳ آجر اویلر (اندازه گیری شده توسط بزرگترین ضلع ) را تهیه کرده است که نخستین آنها به اضلاع (240, 117, 44), (275, 252, 240), (693, 480, 140), (720, 132, 85), (792, 231, 160), ... هستند.

این مسئله در سده ی ۱۸ ام میلادی ذهن بسیاری را به خود مشغول کرد تا اینکه ساندرسون (1740) به راه حل پارامتری توفیق یافت که  آجرهای اویلر را به دست می داد (البته تمامی آجرهای ممکن را پاسخ گو نبود)، در حالیکه اویلر در سال ۱۷۷۰ و ۱۷۷۲دستکم به دو راه حل پارامتری دست یافته بود. راه حل ساندرسون این بود که او فرض کرد که   یک گروه سه تایی فیثاغورثی (Pythagorean triple) باشند، آنگاه

                

یک آجر اویلری با اقطار وجهی زیر است

                            

                                           

                            

(Saunderson 1740; Dickson 2005, p. 497).   

منابع:

Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis. New York: Dover, 2005.

Guy, R. K. "Is There a Perfect Cuboid? Four Squares Whose Sums in Pairs Are Square. Four Squares Whose Differences are Square." §D18 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 173-181, 1994.

Halcke, P. Deliciae Mathematicae; oder, Mathematisches sinnen-confect. Hamburg, Germany: N. Sauer, p. 265, 1719.

Leech, J. "The Rational Cuboid Revisited." Amer. Math. Monthly 84, 518-533, 1977. Erratum in Amer. Math. Monthly 85, 472, 1978.

Peterson, I. "MathTrek: Euler Bricks and Perfect Polyhedra." Oct. 23, 1999.

Rathbun, R. L. "Integer Cuboid Search Update." [e-mail] posting. 8 Jan 2001.

Saunderson, N. The Elements of Algebra in 10 Books, Vol. 2. Cambridge, England: University Press, pp. 429-431, 1740.

Spohn, W. G. "On the Integral Cuboid." Amer. Math. Monthly 79, 57-59, 1972.

Spohn, W. G. "On the Derived Cuboid." Canad. Math. Bull. 17, 575-577, 1974.

Wells, D. G. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. London: Penguin, p. 127, 1986.  

تبدیلات فوریه (2)

۱) قضیه ی وینر - خین

اگر تعریف تابع خودهمبستگی (autocorrelation)  تابعی نظیر   را به خاطر بیاوریم،

                     

همچنین می دانیم که تبدیل فوریه ی  به صورت زیر است

                    

که همیوغ مختلط آن نیز به صورت زیر نوشته می شود:

                    

با وارد کردن  و  به تابع خودهمبستگی آنگاه داریم

           

                            

                         

                        

                          

                          

که  تابع دلتای دیراک (Delta Function) است. تعجب آور است که خودهمبستگی به سادگی توسط تبدیل فوریه ی مربع قدرمطلق  به دست آمد.

قضیه ی وینر - خین چن حالت خاصی از قضیه ی کلی تر همبستگی متقابل (cross-correlation theorem) زمانی که .

ادامه نوشته

تبدیلات فوریه (1)

تبدیلات فوریه به طور کلی، تعمیم سری فوریه مختلط  در حالتی است که حد  برقرار باشد. این کار را می توان با تعویض سری مجزای  با حاصل ضرب یک انتگرالده در دیفرانسیل متغیر آن  و نیز فرض  انجام داد. سپس سری را به شکل یک انتگرال می نویسیم و معادلات برابر خواهند بود با

               

               

 در اینجا

               

                      

که تبدیل فوریه ی پیشرو () نامیده می شود و

                

                      

تبدیل فوریه وارونه () یا وارون تبدیل فوریه نامیده می شود. نماد  در ترات (M.Trott) معرفی شده است (2004, p. xxxiv)، و   و  بعضی اوقات به ترتیب تبدیل فوریه و تبدیل فوریه ی وارونه نامیده می شوند که غالباْ با همین نام ها شناخته و مرسوم هستند (Krantz 1999, p. 202).

ادامه نوشته

مختصات قطبی (polar coordinates)

مختصات قطبی  (مختصات شعاعی)، و  (مختصه ی زاویه ای، که اغلب زاویه ی قطبی polar angle نامیده می شود و در شکل فوق مشخص است) به وسیله ی روابط زیر به مختصات دکارتی مربوط می شوند

            

            

که  فاصله ی شعاعی از مبداء مختصات و  زاویه ی پادساعتگرد از محور -ها است. (شکل)  و  نیز برحسب  و ، در جملات زیر خلاصه می شوند

            

            

معادله ی خم، در مختصات قطبی، به صورت یک معادله ی قطبی (polar equation) و رسم خم در همین مختصات بصورت یک رسم قطبی (polar plot) بیان می شوند.

طول یک خم در مختصات قطبی با علم بر اینکه ، به صورت زیر است

                 

که در مختصات دکارتی به شکل زیر داده می شود (رجوع کنید به اینجا)

          

عنصر خط (line element) در اینجا به صورت زیر تعریف می شود

      

نیز عنصر مساحت به صورت زیر تعریف می شود

                                                         

  (*)                

که مساحت محصور به خم   عبارت است از

        

شیب (slope) یک تابع قطبی  در نقطه ی  به صورت

        

می باشد.

زاویه ی بین مماس و شعاع در نقطه ی  نیز برابر است با

        

 یک خم قطبی تقریبا نسبت به محور x-ها متقارن است، تنها اگر با تعویض  به  معادله ی حاصل ناوردا باقی بماند. همچنین متقارن است نسبت به محور y-ها اگر و فقط اگر با تغییر  به  معادله ی حاصل دست نخورده باقی بماند و در نهایت متقارن است نسبت به مبدا مختصات چنانچه تنها با تغییر  به  معادله ی حاصل هم ارز معادله ی اولیه باشد.

 همان طور که می دانیم در مختصات دکارتی، بردار مکان  هست

             

که مشتق آن خواهد بود

             

بردار یکه اش (واحد) معادل است با

             

مشتق اش را در زیر می بینیم

             

در مختصات قطبی نیز بردار مکان (position vector) برابر است با

             

که مشتقات اول و دوم آن به ترتیب برابرند با

              

              

               

بردارهای یکه (unit vectors) نیز به صورت زیر است

               

             

و مشتقاتش

             

           

می باشد.

اتحاد مربعات چهار جمله ای اویلر (Euler Four-Square Identity)

اتحاد چند جمله ای شگفت انگیز

کلیک کنید

مربوط به مکاتبه ی اویلر در ۱۵ آوریل سال ۱۷۵۰ با گلدباخ است. (البته به صورت نادرستی این تاریخ قبل از تولد اویلر در ۱۵ آوریل ۱۷۰۵ در Conway and Guy 1996, p. 232 ذکر شده است). این اتحاد همچنین از این حقیقت تبعیت می کند که «نرم حاصلضرب دو چهارگان (quaternion) همواره برابر با حاصلضرب نرم هاست.»

منابع:

Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, p. 232, 1996.

Nagell, T. Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 191-192, 1951.

Petkovsek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A. K. Peters, p. 8, 1996.

ضرب اویلری

برای هر ، تابع زتای ریمان (Riemann zeta function) به صورت زیر به دست می آید:

                          

                            

که در اینجا ،  امین عدد اول است. حاصلضرب اویلری (Euler's product)، نامی می باشد که هاویل (J.Havil) به این رابطه داده است.

این ضرب جمله ای را می توان با بسط جملات آن، به آسانی حل کرد. با نوشتن هر جمله به صورت یک سری هندسی (geometric series)، بسط دادن و سپس آرایش جملات مبسوط، روابط زیر را به دست آورد:

                  

چونکه هر حاصلضرب توان های اول (prime powers) تنها و تنها در یک مخرج ظاهر می شود، و هر عدد صحیح مثبت دقیقاْ با یک حاصلضرب توان های اول برابر است، لذا در اینجا این فرایند محاسباتی از قضیه ی اساسی حساب (fundamental theorem of arithmetic) پیروی می کند.

حاصلضرب اویلری را می توان از طریق رابطه ی زیر به تابع موبیوس (Möbius function)، ، مربوط ساخت:

                

که تابع موبیوس به صورت زیر ارائه می گردد

                 

همچنین می توان با بسط حاصلضرب مذکور، مشاهده کرد که

                      

                            

                            

                            

                             

، اما حاصلضرب متناهی وجود دارد به طوریکه

                

برای حدود بالاتر ...,n=0,1,2 ضرب ها به ترتیب جواب های 1, 2, 3, 15/4, 35/8, 77/16, 1001/192, 17017/3072, ... را اختیار می کنند. با استفاده از این حاصلضرب می توان نتیجه ی جالبی را به دست آورد که به تئوری مرتنز (Mertens theorem) معروف است.

ضرب های اویلری به طور خلاصه بر روی تخته سیاه جان نش (John Nash)، ریاضیدان آمریکایی که در سال ۱۹۹۴ هم موفق به اخذ جایزه نوبل شده بود، با خطی ناخوانا در فیلمی با عنوان ذهن زیبا که مضمون آن به سرگذشت همین ریاضیدان با بازی Russell Crowe می پردازدُ، به نمایش درآمده بود. لازم به ذکر است این فیلم حدود یک سال پیش از تلوزیون ایران و از شبکه ۱ نیز پخش شده بود.

منابع:

Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.

Edwards, H. M. "The Euler Product Formula." §1.2 in Riemann's Zeta Function. New York: Dover, pp. 6-7, 2001.

Euler, L. "Variae observationes cira series infinitas." St. Petersburg Acad., 1737.

Hardy, G. H. and Wright, E. M. "The Zeta Function." §17.2 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 245-247, 1979.

Havil, J. "The All-Important Formula." §7.1 in Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 61-62, 2003.

Ribenboim, P. The New Book of Prime Number Records, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, p. 216, 1996.

Shimura, G. Euler Products and Eisenstein Series. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997.  

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "Euler's Product for ." §13.3 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 271-272, 1990.

بسط وردش ها

در آخرین بحث پیرامون وردش ها، درباره ی بسط پارامتریک ، سخن می گوییم.

وردش  را به صورت جملاتی از پارامتر  به شکل زیر بسط می دهیم:

که در آن

و جملات را به همین صورت ادامه می دهیم.

وردش ها عبارت اند از:

دومین تغییر (وردش)، می تواند به صورت زیر تحویل گردد:

بنابراین

اما چون

اکنون با انتخاب  نظیر

و همچنین با انتخاب  مانند

بنابراین از دو معادله ی اخیر،  به صورت زیر ابقاء می شود:

که این معادله از

پیروی می کند.

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.

Forsyth, A. R. Calculus of Variations. New York: Dover, pp. 17-20 and 29, 1960.

Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 44, 1980.

Lanczos, C. The Variational Principles of Mechanics, 4th ed. New York: Dover, pp. 53 and 61, 1986.

Morse, P. M. and Feshbach, H. "The Variational Integral and the Euler Equations." §3.1 in Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 276-280, 1953.

چند جمله ای های اویلر

چند جمله ای های اویلری، ، از دنباله ی اپل (Appell sequence) بدست می آید که شکل عمومی آن به صورت

                       

که تابع مولد آن

                    

است. جملات آغازین جند جمله ای اویلر به ترتیب زیر می باشد:

(¤)                       

                      

                      

                      

                      

                      

در رابطه با این چندجمله ای ها رمان (Roman, S - 1984, p. 100)، یک تعمیم کلی از  را به ازای هر  به نمایش درآورد. چندجمله ای های اویلر همچنین به اعداد برنولی (Bernoulli numbers) توسط روابط

                     

                              

                   

به هم وابسته اند که در آن

ترکیب n و k می باشد. با جایگذاری ، در رابطه ی بالا و هنجارسازی آن توسط ، اعداد اویلری به صورت

                      

به دست می آیند. نامگذاری معادله ی فوق به شکل  است که جملات آغازین آن عبارتند از ، 0 ، 1/4، 0 ، 17/8 ، 0 ، 31/2 ،0 و ... جملات همان جملات قبلی (¤) هستند، با این تفاوت که اگر  را در آنها جایگذاری کنیم، تنها علامت آنها برعکس می شود. این مقدارها می توانند با استفاده از جمع دوگانه (double sum) محاسبه شوند:

                       

اعداد برنولی  برای را می توان برحسب  به این صورت بیان نمود:

                           

بسط نیوتونی (Newton expansion) چند جمله ای های اویلری به شکل

                      

است که در آن

ترکیب n و k،  یک فاکتوریل فالینگ (falling factorial) و  یک عدد استرلینگ نوع دوم Stirling number of the second است (Roman 1984, p. 101). 

 چند جمله ای های اویلر به ازای هر n صحیح و نامنفی، دارای خواص زیر است:

                  

و

            

منابع:

 Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Bernoulli and Euler Polynomials and the Euler-Maclaurin Formula." §23.1 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 804-806, 1972.

Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 2000.

Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; and Brychkov, Yu. A. "The Generalized Zeta Function , Bernoulli Polynomials , Euler Polynomials , and Polylogarithms ." §1.2 in Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions. Newark, NJ: Gordon and Breach, pp. 23-24, 1990.

Roman, S. "The Euler Polynomials." §4.2.3 in The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 100-106, 1984.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Euler Polynomials ." Ch. 20 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 175-181, 1987.

 

 

رابطه ی اویلر

در آنالیز مختلط گاهی با رابطه ای موسوم به رابطه ی اویلر سروکار داریم. (Trott 2004, p. 174) شکل کلی این رابطه به فرم معادله ی زیر است:

که در این معادله i واحد موهومی (imaginary unit) می باشد. عبارت هم ارز

سابقاْ توسط کتس (Cotes) در سال ۱۷۱۴ میلادی به اثبات رسیده بود. حالت خاص فرمول فوق زمانی است که  باشد. در این صورت شکل جالبی از فرمول فوق به صورت

به دست می آید. زیبایی این رابطه با برقراری ارتباط میان اعداد بنیادی پی، e و i و عدد ۱ و ۰ و نیز عملگرهای بنیادی + و   است که در عین سادگی بدلیل کارایی حیاتی آن در آنالیز فوریه (رجوع شود به این لینک)، یکی از زیباترین روابط شناخته شده در ریاضیات است. سادگی و اهمیت این رابطه از زبان گائوس نقل شده است: «اگر این رابطه بلافاصله در ذهن خواننده روشن نباشد، وی هرگز یک ریاضیدان طراز اول نخواهد شد.» (Derbyshire 2004, p. 202).

فرمول اویلر با استفاده از بسط یک سری به شکل زیر اثبات می شود:

                 

                     

                    

همچنین این رابطه از طریق انتگرال گیری مختلط هم قابل اثبات است. با در نظر گرفتن

                   

                

                 

                    

           

               

بنابراین:

                   

                   

منابع:

Castellanos, D. "The Ubiquitous Pi. Part I." Math. Mag. 61, 67-98, 1988.

Conway, J. H. and Guy, R. K. "Euler's Wonderful Relation." The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 254-256, 1996.

Cotes, R. Philosophical Transactions 29, 32, 1714.

Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.

Euler, L. Miscellanea Berolinensia 7, 179, 1743.

Euler, L. Introductio in Analysin Infinitorum, Vol. 1. Lausanne, p. 104, 1748.

Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdos and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, p. 212, 1998.

Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, 2004. 

سازگاری نسبی و استقلال پیوستار

نظریه ی T را نسبت به نظریه ی 'T نسبی ـ سازگار (relatively - consistent) می نامیم اگر بتوانیم مفاهیم اصلی T را در زبان 'T چنان تعریف کنیم که اکسیوم های T متناظر با گزاره های معینی در 'T باشند، در این صورت نظریه ی T را تعبیر شده (interpreted) در نظریه ی 'T می گوییم.

تعاریف هم اکنون داده شده از ماهیتی فرانظری (metatheoretical nature) برخوردارند. اغلب اثبات تعبیر پذیری مزبور را می توان به طور کامل در زبان 'T اجرا کرد، گرچه استدلال های مدل ـ نظری درباره ی T و 'T سریعتر به موفقیت می انجامد.

در این مورد، این حالت خاص که 'T توسیعی از T در همان زبان L است، از اهمیت مخصوصی برخوردار است.

ادامه نوشته

ناتمامیت نظریه های اکسیوماتیک و تعریف ناپذیری مفهوم راستی یا صدق

هنگام قضاوت در نظریه ی ریاضی، Tای که با هدف تهیه کردن مدلی برای حوزه ی معینی از اشیا، مثلاً فضای فیزیکی (physical space) یا فرآیندهای فیزیکی یا اقتصادی خاصی ایجاد شده است، تنها موضوع مهم موفقیت است. از آنجا که T تنها تحقق آگاهانه ی انتخاب شده از فرایندی حقیقی را نشان می دهد پرسش از راستی گزاره های واقع در آن در مرحله دوم اهمیت است. اما مسئله راستی (truth problem) برای کل ریاضیات، به عنوان علمی بسته، مسئله ای همچنان مطرح است.

این مطلب در مورد هر شاخه فی المثل، نظریه ی اعداد طبیعی یا نظریه مجموعه ها، که با توجه به خاستگاههای آن، نظریه ای اکسیوماتیک نیست، بلکه توصیفی از حوزه ی امکاناْ مجرد معینی از اشیاستُ نیز صادق است.

با اطمینان می توان گفت که گزاره های ریاضی بسیاری، علی رغم خصیصه ی مجردشان رابطه ای نزدیک با واقعیت دارند. به عنوان مثال قضیه ی زیر را در نظر می گیریم که درستی اش آشکار است:

اگر تقسیمی از مجموعه ی متناهی Sای به n رده ی مجزای C_n . . . C₁  موجود باشند که هر رده ی آن دقیقاْ شامل m عنصر است، آنگاه تقسیمی از S به m رده ی مجزای n عنصری نیز وجود دارد.

وضعیت، نسبت به این گزاره ی وسیعاْ پذیرفته شده ی امروزی، که «رابطه ی خوش ترتیبی بر مجموعه ی اعداد حقیقی موجود است»، و عموماْ در مورد گزاره های وجودی که در آنها چیزی درباره ی روش بنای شیء مورد بحث گفته نشده است، کاملاْ فرق دارد.

ادامه نوشته

قضیه ناتمامی گودل (Gödel's incompleteness theorem) و ارتباط آن با مسئله ی دوم هیلبرت

در سال 1931 ریاضیدانی آلمانی به نام کورت گودل قضیه ناتمامی پرآوازه اش را درباره سرنوش ریاضیات به اثبات رساند. قضیه ناتمامی می گوید در هر سیستم صوری اصول موضوعه مانند ریاضیات، همواره مسائلی باقی می مانند که بر پایه ی اصول موضوعه ای که سیستم را تعریف می کنند، نه می توانند ثابت و نه رد شوند. به دیگر سخن گودل نشان داد که مسائلی وجود دارند که با هیچ مجموعه ای از مقررات و رویه ها قابل حل نیستند.

قضیه ی گودل محدودیت های بنیادینی بر ریاضیات گذاشت و همچون ضربه ای بزرگ بر جامعه ی علمی وارد آمد، زیرا باور گسترده ای که ریاضیات را نظامی همساز و کامل بر پایه ی یک تک بنیاد منطقی می دانست، واژگون ساخت.

اما مهمترین بحث در این میان ارتباط این قضیه با مسئله ی دوم هیلبرت یعنی سازگاری اصول موضوعه ی حساب است. در حقیقت گودل با ارائه ی این قضیه به این سوال هیلبرت پاسخ منفی داد. فبلا گفتیم که هیلبرت کتابی در زمینه ی مبانی هندسه به چاپ رساند که خود او آن را اصول موضوعه نامید. این کتاب نشانگر شخصیت هیلبرت می شد به گونه ای که هرمان ویل از او به عنوان شخصیتی اثبات گرا و منطقی یاد می کند. این مسئله هیلبرت نیز شخصا در ارتباط با خود اوست. زیرا اولین بار او از عبارت اصول موضوعه در حساب ریاضیات بهره برد. اما روحیه جست و جوگری گودل او را به مطالعه ی این کتاب هیلبرت و آشنایی او با مکتب هیلبرت فراخواند. تا حدی که منجر به ارائه ی یکی از مهمترین قضایای خود در زمینه ی مبانی اصول موضوعه گردید.

اما ساختار قضیه ناتمامی گودل چیست؟

در حقیقت اصل ناتمامیت گودل نشان می دهد که سازگاری اصول موضوعه در هر شاخه ای از ریاضیات مانند تئوری اعداد منجر به یافتن گزاره های تصمیم ناپذیر که در اینجا همان اعداد هستند می شود که گاهاً با نام اولین قضیه ناتمامی گودل یا پاسخ دهنده به دومین مسئله هیلبرت در رابطه با آیا ریاضیات علمی کامل است؟ خوانده می شود. (در مفاد هر گفته ای در زبان تئوری اعداد، هر دو تا از گزاره های ثابت شده و ثابت نشده وجود دارد. در حقیقت این قضیه نشان می دهد که برای هر گزاره ی سازگار w دسته ی بازگشتی k ای جزو فرمول تعریف شده در سیستم وجود دارد که برابر با کلاس بازگشتی نشانه دار مانند r نظیر هیچ یک از دو گزاره ( r و v )هر دو گزاره (r و v) به Flg(k) تعلق دارند، طوری که در آن v متغیری آزاد از r است.

دومین قضیه ناتمامی گودل نشان می دهد که اگر نظریه ی اعداد سازگار باشد آنگاه دلیلی بر این واقعیت وجود ندارد که در آن استفاده از متدهای حساب گزاره ها مجاز باشد که این نشان دهنده ی ضعف اصول نظریه اعداد در رابطه با سازگاری اصول حساب است.

برای اطلاعات بیشتر به  "Penrose's Gödelian argument"  مراجعه کنید.

 

منابع:

 

وبلاگ ریاضیات زیبا

نگاهی به 23 مسئله هیلبرت

در سال ۱۹۰۰ میلادی دیوید هیلبرت (۱۸۶۲- ۱۹۴۳م) در دومین کنگره بین المللی ریاضی دانان در پاریس در یک سخنرانی از مسائل ریاضیات سخن گفت و پس از آن هرمن ویل (Herman Weyl) درباره آن مسائل چنین گفت: «هرکس این مسائل را حل کند به کلاس افتخاری ریاضیدانان وارد می شود.» در همین سال هیلبرت به یک ریاضیدان برجسته در آلمان تبدیل شد. او به خاطر حل مسائل اساسی در نظریه ی پایایی و گزارش مهم در نظریه اعداد که در سال ۱۸۹۶ به چاپ رسید مشهور شد. در سال ۱۸۹۹ به درخواست کلاین (Klein) او کتاب مبانی هندسه را برای تجلیل از مقام گائوس (Gauss) و وبر (Weber) در گوتینگن به چاپ رساند. هرویتز (Hurwitz) در نامه ای به هیلبرت درباره ی این کتاب نوشت: «شما با نوشتن این کتاب کوچک زمینه ی شگرفی از تحقیقات را باز کردی که می توان آن را ریاضیات اصل موضوعه نامید که بسیار فراتر از قلمرو هندسه است. او طی این سخنرانی ۲۳ مسئله در رابطه با ریاضیات را عنوان نمود که عناوین آن به شرح زیر هستند:

۱- مسئله کانتور برای عدد کاردینال پیوستار

۲- سازگاری اصول موضوعه ی حساب

۳- تساوی حجم دو چند وجهی با مساحت قاعده و ارتفاع برابر

۴- مسئله خط مستقیم با کوتاهترین فاصله بین دو نقطه

۵- مفهوم لی (Lie) از گروه های پیوسته از تبدیلات بدون فرض مشتق پذیری توابع تعریف کننده ی گروه ها

۶- ارائه ساختار اصل موضوعی ریاضیات برای فیزیک

۷- گنگ و متعالی بودن اعدادی معین

۸- مسئله اعداد اول، توزیع اعداد اول و فرضیه ی ریمان

۹- اثبات کلی ترین اصل تقابل در هر میدان

۱۰- آیا یک الگوریتم برای تعیین حل پذیری معادلات دیوفانتی وجود دارد.

۱۱- ارائه ی یک نظریه برای فرم های درجه دوم با ضرایب عددی جبری

۱۲- تعمیم قضیه ی کرونکر برای میدان های آبلی به هر ساختار جبری گویا

۱۳- ناممکن بودن حل معادلات کلی درجه ۷ توسط توابعی تنها از دو متغیر

۱۴- اثبات متناهی بودن دستگاههای کامل و مشخص از توابع

۱۵- ارائه ی مبانی دقیق از حساب شمارش شوبرت (Schubert)

۱۶- مسئله توپولوژی منحنی ها و رویه های جبری و تعیین کرانی برای تعداد سیکل های حدی دستگاههای چند جمله ای در صفحه

۱۷- نمایش فرم های مشخص توسط مربع جملات

۱۸- ساختن فضاهای اقلیدسی با تعداد متناهی گروههای چند وجهی

۱۹- آیا جواب های مسائل منظم در حساب تغییرات لزوماْ تحلیلی اند؟

۲۰- ارائه ی یک نظریه ی کلی برای مسائل شرط مرزی

۲۱- اثبات وجود معادلات دیفرانسیل خطی با گروه مونودرامی از پیش تعیین شده

۲۲- یکنواخت سازی روابط تحلیلی توسط توابع اتومورفیک

۲۳- توسعه ی بیشتر روش های حساب تغییرات.

که از این میان تنها مسئله ۱۶ ام هیلبرت تاکنون لاینحل باقی مانده است. در ادامه با برخی از این مسائل و حل آنها بیشتر آشنا خواهیم شد.

منابع:

وبلاگ ریاضیات زیبا

کتابخانه

۱- کتاب Euler Products نوشته ی Robert P. Langlands کتابی پیرامون مسائل ضرب های اویلری است. First published in 1971 as a Yale Mathematical Monograph by Yale University Press

۶۸ صفحه ـ PDF/211Kb

۲- کتاب CALCULUS OF VARIATIONS نوشته ی I.B.Russak کتابی بسیار کامل همراه با مثال های خوب در رابطه با حساب تغییرات و معادله ی اویلر ـ لاگرانژ است.

۱۳۳ صفحه ـ PDF/775Kb

۳- کتاب CALCULUS OF VARIATIONS نوشته ی B.Neta کتاب مذکور در حد کتاب Russak نیست، اما مثال های آن جالب و متنوع تر است.  

۱۰۷ صفحه ـ PDF/503Kb

۴- کتاب CALCULUS OF VARIATIONS نوشته ی R.Weinstock کتاب از کوچکترین تا بزرگترین مبحث حساب تغییرات (وردش ها) را به زیر ذربین گذاشته و مثال هایی جامع را در این باره به میان آورده است. سطح این کتاب به نسبت کتاب های قبلی بالاتر و مباحث کاربردی تر شده اند. این کتاب بیشتر برای مهندسین و فیزیکدانان کتابی ارزشمند است.

 ۳۳۵ صفحه ـ Djvu/3.75Mb

۵- کتاب CALCULAS OF VARIATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS نوشته ی H.A.Lauwerier آخرین کتاب پیرامون مبحث وردش ها، کتابی در مجموع ضعیف با نمادگذاری قدیمی جهت استفاده در ریاضیات فیزیک اعم از تانسورها و هندسه ریمانی.

۱۰۶ صفحه ـ Djvu/583Kb

 ۶- کتاب in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables نوشته ی Abramowitz M. Stegun I دستیار ریاضیات در رابطه با توابع، فرمول های ریاضی در سطح گسترده و گراف ها. این کتاب می تواند جانشین مناسبی برای کتاب handbook موآری باشد.

۱۰۷۳ صفحه ـ Djvu/15,387Kb

۷- کتاب COMPLEX ANALYSIS نوشته ی  L.V.Ahlfors همانطور که از اسم کتاب پیداست موضوع پیرامون مباحث آنالیز مختلط و انتگرال گیری مختلط و روش های محاسباتی برای بهنجارش سازی و... که همراه با مثال هایی زیبا کتابی کامل از این نویسنده را به نمایش می گذارد. این کتاب برای کسانی که در عرصه  مکانیک کوانتومی هستند، کتاب خوبی است.

۱۶۷ صفحه ـ Djvu/5247Kb

۸- Fourier Transforms of Invariant Functions on Finite Reductive Lie Algebras 2004 اثر Letellier E. این کتاب برخلاف کاربرد رایج سری های فوریه در مهندسی و رشته های صنعتی، کاملاْ به ریاضیات محض تعلق دارد. همانطور که از نام کتاب پیداست این کتاب مربوط به مباحث تبدیلات فوریه در جبر لی و تقلیل دهنده های متناهی اشاره ای کامل و مفید می کند که برای دانشجویان ریاضی محض رشته جبر جابجایی کتابی مفید است.

۱۷۱ صفحه ـ PDF/1130Kb 

۹- Goodman J.W. Introduction to Fourier Optics این کتاب درآمدی بر تبدیلات فوریه است.

 

Djvu/12.7Mb 

 

۱۰- Pointwise convergence of fourier series اثر J.A. De Reyna  کتاب جالبی پیرامون تبدیلات فوریه و هیلبرتی و همچنین آثار لنارت کارلسون (برنده ی جایزه ی آبل سال۲۰۰۶) در آنالیز فوریه.

 

۱۶۵ صفحه ـ PDF/759.63Kb 

 

۱۱- Tensor analysis اثر Nelson .E کتابی با نوشتار قدیمی اما کارا پیرامون آنالیز تانسوری که برای دوره ی کارشناسی کتاب ایده الی محسوب می شود.

 

۱۳۶ صفحه ـ PDF/3.153Mb 

 

۱۲- Borisenko A.I. Tarapov I.E. Vector and Tensor Analysis with Applications اثرBorisenko A.I و Tarapov I.E کتابی کاملا عالی و مناسب برای کسانی که به دنبال کتاب های مناسب در زمینه ی حساب تانسوری و برداری هستند. این کتاب را حتماْ بخوانید.

 

۲۶۵ صفحه ـ Djvu/1.79 Mb

 

۱۳-  Vector Bundles and K-Theory اثر Hatcher. A کتاب جالب و سبک راجع به نظریه ی کی و کلاف های برداری.

 

۹۷ صفحه _PDF /673 Kb

 

۱۴-  Vector bundles over an elliptic curve  اثر خالق نظریه ی کی مایکل عطیه. کتابی کم حجم با مطالب فوق العاده ثقیل

 

۴۰ صفحه ـ Djvu / 3.66 Mb

 

۱۵- کتاب Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces اثر Gromov. M کتاب حاضر همان طوری که از نامش پیداست پیرامون ساختارهای متریکی در فضاهای ریمانی و غیر ریمانی است که برای دوستاران فیزیک نسبیتی کتاب خوبی نیست. زیرا مفاهیم در شکل و شمایل کتاب های پیشرفته ی ریاضی بوده و خارج از سطح ریاضیات نسبیت عام است.

 

۵۸۵ صفحه ـ Djvu / 3.37 Mb

 

۱۶- كتاب  Riemannian geometry, a beginners guide اثر Morgan. F برخلاف كتاب فوق اين يك كتاب نسبتا ساده و توام با اشكال هندسي است كه بخش هاي اوليه كتاب براي دوست داران نسبيت عام مي تواند گزينه ي خوبي باشد.

 

121 صفحه ـ Djvu /2.209 Mb

 

 ۱۷- Mohamed Assad Abdel-Raouf On the variational methods for bound-state and scattering problems

1982 Format: Djvu

 

۱۸- Kupershmidt B.A. The Variational Principles of Dynamics
1992 Format: Djvu

 

۱۹- Moser J. Selected chapters of variational calculus (lecture notes) 2002

Format: PDF 2002

 

۲۰- Giannessi F. Maugeri A. Pardalos P.M. Equilibrium problems: nonsmooth optimization and variational inequality models

2002 Format: Djvu

 

۲۱- Lachieze-Rey M. Luminet J-P. Cosmic topology

1995 Format: Djvu

 

۲۲- Ward T. Topology lecture notes 
2001 Format: PDF 

 

۲۳- Hatcher A. Algebraic Topology

2001 Format: PDF 

 

۲۴- McCluskey A. McMaster B. Topology Course Lecture Notes
1997 *Format: gz

 

۲۵- Roe J. Index Theory, Coarse Geometry and Topology of Manifolds

1996 Format: Djvu

 

۲۶- Nakahara M. Geometry, Topology and physics

Format: Djvu

 

۲۷- Munkres J. Topology 
2000 Format: Djvu

 

۲۸- Audin M. The topology of torus actions on symplectic manifolds

1991 Format: Djvu

 

۲۹- Friedman R. Morgan J.W. Gauge theory and the topology of four-manifolds

1998 Format: Djvu

 

۳۰- Seebach J.A. Steen L.A. Counterexamples in Topology

1970 Format: Djvu

 

۳۱- Vori O.Y. Ivanov O.A. Netsvetaev N.Y. Elementary Topology. A First Course Textbook in Problems

Format: gz

 

۳۲- Hajime Sato Algebraic Topology: An Intuitive Approach

1999 Format: Djvu

 

۳۳- Dold A. Lectures on Algebraic Topology

1980 Format: Djvu

 

۳۴- Morgan J. Lamberson Algebraic topology

1980 Format: gz

 

۳۵- Rourke C.P. Sanderson B.J. Introduction to Piecewise-Linear Topology

1972 Format: Djvu

 

۳۶- van Mill J. Reed G.M. Open problems in topology

1990 Format: PDF

 

۳۷- Thaddeus M. Introduction to the topology of the moduli space of stable bundles on a Riemann surface
Format: Djvu

 

۳۸- Schick T. Operator algebras and topology
2001 Format: PDF

 

۳۹- Zomorodian A.J. Topology for computing

2005 Format: PDF

 

۴۰- Nash C. Differential Topology and Quantum Field Theory

1991 Format: Djvu

 

۴۱- Bick E. Steffen F.D. Topology and geometry in physics

2005 Format: PDF

 

۴۲- Viro Ivanov Netsvetaev Elementary topology, a first course
2005 Format: Djvu

 

۴۳- Baker A. Algebra and Number Theory
2003 Format: PDF

 

۴۴- Bratteli O. Robinson D.W. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics (vol. 1)

2002 Format: Djvu

 

۴۵- Bratteli O. Robinson D.W. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics (vol. 2)

2002 Format: Djvu

 

۴۶- Shafarevich I.R. Selected chapters from algebra   
1998 Format: Djvu

 

۴۷- Gross D. Algebraic Number Theory

1999 Format: gz

 

۴۸- Prasolov V.V. Problems and theorems in linear algebra

1994 Format: PDF

 

۴۹- Swinnerton-Dyer H.P.F. A brief guide to algebraic number theory
2001 Format: Djvu

 

۵۰- Smith S.P. Non-commutative Algebraic Geometry

2000 Format: PDF

 

۵۱- Brandwood D. Fourier Transforms in Radar and Signal Processing

2003 Format: Djvu

 

۵۲- Rudin W. Fourier Analysis on Groups

1980 Format: Djvu

 

۵۳-Schiff J.L. The Laplace transformation: theory and applications     

1999 Format: PDF

 

۵۴-Titchmarsh E.C. The theory of the Riemann zeta-function
1986 Format: Djvu

 

۵۵- Patterson S.J. An introduction to the theory of the Riemann zeta-function

1988 Format: Djvu

 

---

* منظور از gz همان نسخه ی فشرده شده ی کتاب می باشد که با نرم افزارهای مربوطه قابل بازخوانی است.

 

تذکر: در صورت بی نتیجه بودن دانلود، در ساعت های دیگر شبانه روز امتحان کنید.

Notice: Please try at different times of day, if you couldn't get access to download

نرم افزار

 

  برای دست یابی به نرم افزار مخصوص برای بازکردن فایل های Djvu لازم است ابتدا plug In های آن را از این لینک دریافت و سپس این برنامه، DjVu Reader، را دریافت نمایید.

 برای دسترسی به فایل های PDF نیز نیاز به نرم افزار Adobe Acrobat Reader دارید که از این لینک قابل برداشت است.

 

آنچه شما می خواهید (Whatever you want)

با عرض سلامی دوباره

این بار قصد داریم به سخنان شما ریاضی دوستان گوش فرا دهیم و هر مبحث دلخواه شما از ریاضیات عالی و معاصر به اقتضای ترتیب با ذکر جزئیات درج کنیم. به امید همراهی و همکاری شما.

 مدیریت وبلاگ، علیرضا بهتاش

Now, we mean to hear your mathematical statements and intercalate your any arbitrary discussion about math according to order with mention their details. By best Wishes for your cooperation.

Supermoderator of site, Alireza Behtash