دیگر اتحاد های دربرگیرنده ی مشتق تابع دلتا عبارت اند از

delta^'(-x)=-delta^'(x)  

int_(-infty)^inftyf(x)delta^'(x-a)dx=-f^'(a)           

(delta^'*f)(a)=int_(-infty)^inftydelta^'(a-x)f(x)dx=f^'(a)           

که در آن * علامت کانولوشن (convolution) است،

int_(-infty)^infty|delta^'(x)|dx=infty,     

و

x^2delta^'(x)=0.                  

یک رابطه ی انتگرالی که با استفاده از delta(1/x) نوشته می شود نیز وجود دارد:

int_(-1)^1delta(1/x)dx=0.           

تابع دلتا، همچنین از به اصطلاح خاصیت غربالگری (sifting property) نیز تبعیت می کند:

 

intf(x)delta(x-x_0)dx=f(x_0)

         

(Bracewell 1999, pp. 74-75).

بسط سری فوریه ی تابع دلتای delta(x-a) بدست می دهد

1/piint_(-pi)^pidelta(x-a)cos(nx)dx   =   a_n              

1/picos(na)   =                    

1/piint_(-pi)^pidelta(x-a)sin(nx)dx   =   b_n              

1/pisin(na),   =                    

بنابراین

1/(2pi)+1/pisum_(n=1)^(infty)[cos(na)cos(nx)+sin(na)sin(nx)]    =   delta(x-a)        

1/(2pi)+1/pisum_(n=1)^(infty)cos[n(x-a)].    =                       

تابع دلتا را می توان به صورت یک تبدیل فوریه (Fourier transform) به شکل زیر نوشت

delta(x)=F_k[1](x)=int_(-infty)^inftye^(-2piikx)dk.              

و به طور یکسان،

F_x^(-1)[delta(x)](k)=int_(-infty)^inftydelta(x)e^(2piikx)dx=1              

(Bracewell 1999, p. 95). به طور کلی تر تبدیل فوریه ی تابع دلتا عبارت است از

F_x[delta(x-x_0)](k)=int_(-infty)^inftye^(-2piikx)delta(x-x_0)dx=e^(-2piikx_0).         

تابع دلتا در قالب حد های زیر که در آنها  epsilon->0 هم گاهاْ تعریف می شود

1/pilim_(epsilon->0)epsilon/(x^2+epsilon^2),   ==   delta(x)        

lim_(epsilon->0)1/2epsilon|x|^(epsilon-1)      =                 

lim_(epsilon->0^+)1/(2sqrt(piepsilon))e^(-x^2/(4epsilon))     =                 

lim_(epsilon->0)1/(pix)sin(x/epsilon)  =  =                 

lim_(epsilon->0)1/epsilonAi(x/epsilon) =   =                 

lim_(epsilon->0)1/epsilonJ_(1/epsilon)((x+1)/epsilon)   = =                 

lim_(epsilon->0)|1/epsilone^(-x^2/epsilon)L_n((2x)/epsilon)|,     =                 

که  Ai(x) تابع هوایی (Airy function)،  J_n(x) تابع بسل نوع اول (Bessel function of the first kind) و   L_n(x) یک چندجمله ای لاگر (Laguerre polynomial) از مرتبه ی صحیح مثبت دلخواه است. 

DeltaFunctionN  

این تابع را همانطور که در شکل بالا قابل مشاهده است، می توان به صورت تابع حدی ذیل تعریف کرد

delta(x)=lim_(n->infty)1/(2pi)(sin[(n+1/2)x])/(sin(1/2x)).                  

تابع دلتا در ۲ بعد نیز تعریف می شود، به صورتی که در مختصات دکارتی (Cartesian coordinates) دو بعدی داریم:

delta^2(x,y)={0 x^2+y^2!=0; infty x^2+y^2=0,           

int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftydelta^2(x,y)dxdy=1          

delta^2(ax,by)=1/(|ab|)delta^2(x,y),          

و

delta^2(ax,by)=1/(|ab|)delta^2(x,y),         

در مختصات قطبی (polar coordinates) نیز داریم

delta^2(x,y)=(delta(r))/(pi|r|)             

(Bracewell 1999, p. 85).

در مختصات ۳ بعدی دکارتی هم اوضاع به همان شرایط بالا است

delta^3(x,y,z)=delta^3(x)={0 x^2+y^2+z^2!=0; infty x^2+y^2+z^2=0              

int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftydelta^3(x,y,z)dxdydz=1            

و

delta^3(x,y,z)=delta(x)delta(y)delta(z).            

در مختصات استوانه ای (cylindrical coordinates) (r,theta,z)،

delta^3(r,theta,z)=(delta(r)delta(z))/(pir).             

در مختصات کروی (spherical coordinates) (r,theta,z)،

delta^3(r,theta,phi)=(delta(r))/(2pir^2)            

تعریف می شود. (Bracewell 1999, p. 85).   

یک بسط سری وار از این تابع در مختصات استوانه بدست می دهد

1/(r_1)delta(r_1-r_2)delta(theta_1-theta_2)delta(z_1-z_2)   =   delta^3(r_1-r_2)            

1/(r_1)delta(r_1-r_2)1/(2pi)sum_(m=-infty)^(infty)e^(im(theta_1-theta_2))1/(2pi)int_(-infty)^inftye^(ik(z_1-z_2))dk.   =                              

پاسخ به برخی معادلات دیفرانسیلی معمولی را می توان برحسب مشتقات delta(x) نوشت (Kanwal 1998). برای مثال، تابع دیفرانسیلی

x(1-x)y^('')+(4-6x)y^'-6y=0              

دارای پاسخ کلاسیکی

y(x)=(C_1)/(x^3)+(x^2-x-1+2(x-2)ln(x-1))/(x^3(x-1))C_2,              

و پاسخ توزیعی زیر است

y(x)=C_1delta^('')(x)

(M. Trott, pers. comm., Jan. 19, 2006). توجه داشته باشید که برخلاف پاسخ های کلاسیکی، یک پاسخ توزیعی به یک معادله ی دیفرانسیلی معمولی مرتبه ی nام احتیاجی به داشتن n ثابت انتگرالگیری متمایز از هم ندارد.

لینک مربوطه: تابع دلتا ۱ (Delta Function)

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 481-485, 1985.

Bracewell, R. "The Impulse Symbol." Ch. 5 in The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 69-97, 1999.

Dirac, P. A. M. Quantum Mechanics, 4th ed. London: Oxford University Press, 1958.

Gasiorowicz, S. Quantum Physics. New York: Wiley, pp. 491-494, 1974.

Kanwal, R. P. "Applications to Ordinary Differential Equations." Ch. 6 in Generalized Functions, Theory and Technique, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 291-255, 1998.

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 97-98, 1984.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Dirac Delta Function delta(x-a)." Ch. 10 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 79-82, 1987.

van der Pol, B. and Bremmer, H. Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1955.