چند جمله ای های اویلری، ، از دنباله ی اپل (Appell sequence) بدست می آید که شکل عمومی آن به صورت

g(t)=1/2(e^t+1),                        

که تابع مولد آن

(2e^(xt))/(e^t+1)=sum_(n=0)^inftyE_n(x)(t^n)/(n!).                     

است. جملات آغازین جند جمله ای اویلر به ترتیب زیر می باشد:

(¤) 1 = E_0(x)                    

x-1/2 = E_1(x)                    

x^2-x = E_2(x)                    

x^3-3/2x^2+1/4 = E_3(x)                    

x^4-2x^3+x = E_4(x)                    

x^5-5/2x^4+5/2x^2-1/2. =E_5(x)                     

در رابطه با این چندجمله ای ها رمان (Roman, S - 1984, p. 100)، یک تعمیم کلی از  را به ازای هر  به نمایش درآورد. چندجمله ای های اویلر همچنین به اعداد برنولی (Bernoulli numbers) توسط روابط

(2^n)/n[B_n((x+1)/2)-B_n(x/2)] =E_(n-1)(x)                    

2/n[B_n(x)-2^nB_n(x/2)]=                              

2(n; 2)^(-1)sum_(k=0)^(n-2)(n; k)[(2^(n-k)-1)B_(n-k)B_k(x)],=E_(n-2)(x)                   

به هم وابسته اند که در آن

ترکیب n و k می باشد. با جایگذاری ، در رابطه ی بالا و هنجارسازی آن توسط ، اعداد اویلری به صورت

E_n=2^nE_n(1/2).                       

به دست می آیند. نامگذاری معادله ی فوق به شکل  است که جملات آغازین آن عبارتند از -1/2، 0 ، 1/4، 0 ، 17/8 ، 0 ، 31/2 ،0 و ... جملات همان جملات قبلی (¤) هستند، با این تفاوت که اگر  را در آنها جایگذاری کنیم، تنها علامت آنها برعکس می شود. این مقدارها می توانند با استفاده از جمع دوگانه (double sum) محاسبه شوند:

E_n(0)=2^(-n)sum_(j=1)^n[(-1)^(j+n+1)j^ksum_(k=0)^(n-j)(n+1; k)].                        

اعداد برنولی  برای را می توان برحسب  به این صورت بیان نمود:

B_n=-(nE_(n-1)^')/(2(2^n-1)).                            

بسط نیوتونی (Newton expansion) چند جمله ای های اویلری به شکل

E_n(x)=sum_(j=0)^nsum_(k=j)^n(-1; j)1/(2^j)(k)_jS(n,k)(x)_(k-j),                       

است که در آن

ترکیب n و k،  یک فاکتوریل فالینگ (falling factorial) و  یک عدد استرلینگ نوع دوم Stirling number of the second است (Roman 1984, p. 101). 

 چند جمله ای های اویلر به ازای هر n صحیح و نامنفی، دارای خواص زیر است:

E_n(x+1)+E_n(x)=2x^n                   

و

sum_(k=0)^n(n; k)E_k(z)E_(n-k)(w)=2(1-w-z)E_n(z+w)+2E_(n+1)(z+w)             

منابع:

 Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Bernoulli and Euler Polynomials and the Euler-Maclaurin Formula." §23.1 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 804-806, 1972.

Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 2000.

Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; and Brychkov, Yu. A. "The Generalized Zeta Function zeta(s,x), Bernoulli Polynomials B_n(x), Euler Polynomials E_n(x), and Polylogarithms Li_nu(x)." §1.2 in Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions. Newark, NJ: Gordon and Breach, pp. 23-24, 1990.

Roman, S. "The Euler Polynomials." §4.2.3 in The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 100-106, 1984.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Euler Polynomials E_n(x)." Ch. 20 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 175-181, 1987.