ضرب اویلری

برای هر ، تابع زتای ریمان (Riemann zeta function) به صورت زیر به دست می آید:

sum_(n=1)^(infty)1/(n^s)     =     zeta(s)                

product_(k=1)^(infty)1/(1-1/(p_k^s)),  =                          

که در اینجا p_k، k امین عدد اول است. حاصلضرب اویلری (Euler's product)، نامی می باشد که هاویل (J.Havil) به این رابطه داده است.

این ضرب جمله ای را می توان با بسط جملات آن، به آسانی حل کرد. با نوشتن هر جمله به صورت یک سری هندسی (geometric series)، بسط دادن و سپس آرایش جملات مبسوط، روابط زیر را به دست آورد:

product_(k=1)^infty1/(1-1/(p_k^s))=1/(1-1/(p_1^s))1/(1-1/(p_2^s))1/(1-1/(p_3^s))... =[sum_(k=0)^infty(1/(p_1^s))^k][sum_(k=0)^infty(1/(p_2^s))^k][sum_(k=0)^infty(1/(p_3^s))^k]... =(1+1/(p_1^s)+1/(p_1^(2s))+1/(p_1^(3s))+...)(1+1/(p_2^s)+1/(p_2^(2s))+1/(p_2^(3s))+...)... =1+sum_(1<=i)1/(p_i^s)+sum_(1<=i<=j)1/(p_i^sp_j^s)+sum_(1<=i<=j<=k)1/(p_i^sp_j^sp_k^s)+... =1+1/(2^s)+1/(3^s)+1/(4^s)+1/(5^s)+... =sum_(n=1)^infty1/(n^s) =zeta(s).                   

چونکه هر حاصلضرب توان های اول (prime powers) تنها و تنها در یک مخرج ظاهر می شود، و هر عدد صحیح مثبت دقیقاْ با یک حاصلضرب توان های اول برابر است، لذا در اینجا این فرایند محاسباتی از قضیه ی اساسی حساب (fundamental theorem of arithmetic) پیروی می کند.

حاصلضرب اویلری را می توان از طریق رابطه ی زیر به تابع موبیوس (Möbius function)، mu(n)، مربوط ساخت:

1/(zeta(s))=sum_(n=1)^infty(mu(n))/(n^s),                 

که تابع موبیوس به صورت زیر ارائه می گردد

                 

همچنین می توان با بسط حاصلضرب مذکور، مشاهده کرد که

product_(k=1)^(infty)(1-1/(p_k^s))     =    1/(zeta(s))             

(1-1/(p_1^s))(1-1/(p_2^s))(1-1/(p_3^s))...    =                        

1-(1/(p_1^s)+1/(p_2^s)+1/(p_3^s)+...)+(1/(p_1^sp_2^s)+...+1/(p_1^sp_3^s)+1/(p_2^sp_3^s)+...)-...    =                        

1-sum_(0<i)1/(p_i^s)+sum_(0<i<j)1/(p_i^sp_j^s)-sum_(0<i<j<k)1/(p_i^sp_j^sp_k^s)+...    =                        

sum_(n=1)^(infty)(mu(n))/(n^s).     =                        

zeta(1)=infty، اما حاصلضرب متناهی وجود دارد به طوریکه

P(n)=product_(k=1)^n1/(1-1/(p_k)).                 

برای حدود بالاتر ...,n=0,1,2 ضرب ها به ترتیب جواب های 1, 2, 3, 15/4, 35/8, 77/16, 1001/192, 17017/3072, ... را اختیار می کنند. با استفاده از این حاصلضرب می توان نتیجه ی جالبی را به دست آورد که به تئوری مرتنز (Mertens theorem) معروف است.

ضرب های اویلری به طور خلاصه بر روی تخته سیاه جان نش (John Nash)، ریاضیدان آمریکایی که در سال ۱۹۹۴ هم موفق به اخذ جایزه نوبل شده بود، با خطی ناخوانا در فیلمی با عنوان ذهن زیبا که مضمون آن به سرگذشت همین ریاضیدان با بازی Russell Crowe می پردازدُ، به نمایش درآمده بود. لازم به ذکر است این فیلم حدود یک سال پیش از تلوزیون ایران و از شبکه ۱ نیز پخش شده بود.

منابع:

Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.

Edwards, H. M. "The Euler Product Formula." §1.2 in Riemann's Zeta Function. New York: Dover, pp. 6-7, 2001.

Euler, L. "Variae observationes cira series infinitas." St. Petersburg Acad., 1737.

Hardy, G. H. and Wright, E. M. "The Zeta Function." §17.2 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 245-247, 1979.

Havil, J. "The All-Important Formula." §7.1 in Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 61-62, 2003.

Ribenboim, P. The New Book of Prime Number Records, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, p. 216, 1996.

Shimura, G. Euler Products and Eisenstein Series. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997.  

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "Euler's Product for zeta(s)." §13.3 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 271-272, 1990.

+ نوشته شده در ساعت 15:32 توسط علیرضا بهتاش  | 

بسط وردش ها

در آخرین بحث پیرامون وردش ها، درباره ی بسط پارامتریک ، سخن می گوییم.

وردش  را به صورت جملاتی از پارامتر  به شکل زیر بسط می دهیم:

که در آن

و جملات را به همین صورت ادامه می دهیم.

وردش ها عبارت اند از:

دومین تغییر (وردش)، می تواند به صورت زیر تحویل گردد:

بنابراین

اما چون

اکنون با انتخاب  نظیر

و همچنین با انتخاب  مانند

بنابراین از دو معادله ی اخیر،  به صورت زیر ابقاء می شود:

که این معادله از

پیروی می کند.

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.

Forsyth, A. R. Calculus of Variations. New York: Dover, pp. 17-20 and 29, 1960.

Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 44, 1980.

Lanczos, C. The Variational Principles of Mechanics, 4th ed. New York: Dover, pp. 53 and 61, 1986.

Morse, P. M. and Feshbach, H. "The Variational Integral and the Euler Equations." §3.1 in Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 276-280, 1953.

+ نوشته شده در ساعت 22:56 توسط علیرضا بهتاش  |