قرارداد جمع

قرار داد جمع اینیشتین چیست؟

بر طبق اين قرارداد نماد سيگما (علامت جمع در رياضيات) براي شاخص هاي تكراري كه تلويحاً عمل جمع زني روي آنها انجام مي شود، حذف مي شود. اين قرار داد به صورت جالب توجهي از حجم معادلات شامل تانسورها كاسته و آنها را ساده و كوتاه مي كند. براي مثال با استفاده از اين قرار داد داريم

                          

و

                      

اين قرارداد اولين بار توسط اينيشتين معرفي شد (1916, sec. 5). او من باب شوخي به يكي از دوستانش گفت: "من كشف بزرگي را در رياضيات انجام دادم؛ من هميشه از نوشتن نماد جمع خودداري مي كردم، چون نماد جمع  همواره بايستي دوباره براي شاخصي كه تكرار مي شد ابقا شود..."

(Kollros 1956; Pais 1982, p. 216).

منابع:

Einstein, A. ""Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie." Ann. der Physik 49, 769-822, 1916.

Kollros, L. "Albert Einstein en Suisse Souvenirs." Helv. Phys. Acta. Supp. 4, 271-281, 1956.

Pais, A. Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. New York: Oxford University Press, p. 216, 1982 

فن وردشی ریتز (Ritz Variational Technique)

روشی برای محاسبه ی ویژه توابع (eigenfunctions) ویژه مقدارها (eigenvalues) است. برای توصیف با استناد بر

                   

که برای داشتن ارزش ثابت (*) الزامی است، مشروط به شرط بهنجارش

                              

و شرایط مرزی

                                      

که این در نهایت به معادله ی استروم-لیوویل (Sturm-Liouville equation) منجر خواهد شد

                

که مقادیر ثابت را بدست می دهد

                

به طوریکه در آن

              

و  ویژه مقادیر (eigenvalues) متناظر با ویژه تابع  هستند.

پیوست*:

ارزش ثابت یا مقدار ثابت به مقداری اطلاق می شود که تابع در یک نقطه مانا دارد.

این مقدار می تواند یک نقطه ی عطف (inflection point)، یک نقطه ی مینیمم (minimum) و یک ماکزیمم (maximum) باشد. نقاطی که در آنها همواره مشتق تابع صفر می گردد.

منابع:

Arfken, G. "Rayleigh-Ritz Variational Technique." §17.8 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 957-961, 1985.

Rayleigh, J. W. "In Finding the Correction for the Open End of an Organ-Pipe." Phil. Trans. 161, 77, 1870.

Ritz, W. "Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik." J. reine angew. Math. 135, 1-61, 1908.

Whittaker, E. T. and Robinson, G. "The Rayleigh-Ritz Method for Minimum Problems." §184 in The Calculus of Observations: A Treatise on Numerical Mathematics, 4th ed. New York: Dover, pp. 381-382, 1967 

چند تانسور مهم

تانسور ریچی

تانسور ریچی یا به صورت مشابه تانسور انحنای ریچی به صورت زیر تعریف می شود

                             

که   تانسور ریمان است.

به تعبیر هندسی این تانسور در واقع نرخ رشد حجم توپی وارهای متریکی را در یک چندگونا (در اصطلاح ریاضی آن را خمینه می نامند.) کنترل می کند.

انحنای اسکالر

انحنای اسکالر همچنین با نام اسکالر انحنا نیز شناخته می شود، به این صورت معرفی می شود

                             

که   تانسور متریک پادوردا و   تانسور ریچی است.

تانسور اینیشتین

این تانسور عبارت است از

                          

که  تانسور انحنای ریچی و  انحنای اسکالر یا نرده ای و بالاخره  تانسور متریک را نشان می دهد. این تانسور تحت عمل دیورژانس هموردا همواره برابر صفر است. یعنی:

                       

که نماد ; بر مشتق هموردا (Covariant Derivative) دلالت دارد.

منابع:

Arfken, G. "Divergence, ." §1.7 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 37-42, 1985

Misner, C. W.; Thorne, K. S.; and Wheeler, J. A. Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman, 1973.

Parker, L. and Christensen, S. M. "The Ricci, Einstein, and Weyl Tensors." §2.7.1 in MathTensor: A System for Doing Tensor Analysis by Computer. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 30-32, 1994.

Wald, R. M. General Relativity. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1984.