مطالعه ی خمینه ها (manifolds)، مستلزم آشنایی با متریک ریمانی (Riemannian metric) است. هندسه ریمانی یک فضای عمومی است که بر پایه عنصر فاصله (line element) پی ریزی شده است

ds=F(x^1,...,x^n;dx^1,...,dx^n),
                  

با  F(x,y)>0 برای y!=0 تابعی بر روی کلاف مماس (tangent bundle) TM است. در نتیجه، F همگن درجه ی ۱ در y بوده و شکل متریک فضای ریمانی به صورت زیر القا می شود

F^2=g_(ij)(x)dx^idx^j             

(Chern 1996). چنانچه شرط فوق را حذف کنیم نتیجه منجر به هندسه ی فینسلر (Finsler geometry) می گردد.

مفاهیم:

۱- خمینه: خمینه یک فضای توپولوژیک (topological space) است که موضعاً اقلیدسی (locally Euclidean) است. (یعنی دور هر نقطه، همسایگی موجود است که از نظر توپولوژیک مانند یک گوی واحد باز (open unit ball) در R^n می باشد) برای توضیح بیشتر پیرامون مطلب اخیر، عقیده ی قدیمی مبنی بر اینکه زمین تخت و مخالف با مدارک مدرن که در آن ها گرد بودن زمین به اثبات رسیده است را در نظر می گیریم. این تفاوت در اصل از این امر ناشی می شود که معیار بسیار کوچکی از سطح زمین به واقع ما را بر آن می دارد که بر اساس مشاهدات بگوییم که زمین واقعاً تخت نیست. به طور کلی، هر جسمی که تقریباً صاف است، در مقادیر کوچک خود در حقیقت یک خمینه است و بنابرین رهاورد خمینه ها تعمیم کلی اشیاء به نحوی است در واقع از مسئله ی تخت ـ گرد بودن زمین ناشی می شود که اولین بار به صورت منظم در قالب فرمول بندی پوانکاره (Poincaré) آشکار گردید.

به طور صوری، هر شی ای که قابل "ترسیم" باشد، یک خمینه است.

ادامه دارد...

منابع:

Besson, G.; Lohkamp, J.; Pansu, P.; and Petersen, P. Riemannian Geometry. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1996.

Buser, P. Geometry and Spectra of Compact Riemann Surfaces. Boston, MA: Birkhäuser, 1992.

Chavel, I. Eigenvalues in Riemannian Geometry. New York: Academic Press, 1984.

Chavel, I. Riemannian Geometry: A Modern Introduction. New York: Cambridge University Press, 1994.

Chern, S.-S. "Finsler Geometry is Just Riemannian Geometry without the Quadratic Restriction." Not. Amer. Math. Soc. 43, 959-963, 1996.

Eisenhart L.P. Riemannian geometry 1949.

do Carmo, M. P. Riemannian Geometry. Boston, MA: Birkhäuser, 1992.