مشتق تابع گامای اویلر (Digamma function)

Digamma

DigammaReImAbs

یک تابع خاص است که به واسطه ی مشتق لگاریتمی (logarithmic derivative) تابع گاما (gamma function) داده می شود (یا، بنابر اقتضای تعریف، مشتق لگاریتمی فاکتوریل).

به خاطر این ابهام و گنگی در تعریف، دو نوع نمادگذاری متفاوت غالباْ (نه همیشه) مورد استفاده قرار می

گیرد، اولی

Psi(z)=d/(dz)lnGamma(z)=(Gamma^'(z))/(Gamma(z))               

به صورت مشتق لگاریتمی تابع گاما Gamma(z) و دومی به شکل

F(z)=d/(dz)lnz!               

مشتق لگاریتمی تابع فاکتوریل تعریف می شود. این دو به وسیله ی رابطه ی

F(z)=Psi(z+1).              

به هم مرتبط می شوند.

 nامین مشتق Psi(z) تابع چندگاما (polygamma function) نامیده و با  psi_n(z) نشان داده می شود. لذا نمادگذاری

psi_0(z)=Psi(z)

به طور رایج برای خود تابع دی گاما بکار می رود و (Erdélyi et al. (1981 از psi(z) برای Psi(z) استفاده می کند.

 تابع دی گاما psi_0(z) در سری های ساده ای مانند زیر ظاهر می شود:

(Phi(-1,-1,z^(-1)))/z    =   sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(zk+1)            

1/(2z)[psi_0((z+1)/(2z))-psi_0(1/(2z))],    =              

که Phi(z,s,a)در آن مافوق لرچ (Lerch transcendent) است.

موارد خاص عبارت اند از

ln2  =  sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(k+1)             

1/4pi  =  sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(2k+1)           

1/9(sqrt(3)pi+3ln2)  =  sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(3k+1)           

(pi+2coth^(-1)(sqrt(2)))/(4sqrt(2)).  = sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(4k+1)            

قضیه ی دی گامای گائوس (Gauss's digamma theorem) می گوید که

(Gamma^'(p/q))/(Gamma(p/q))=-gamma-ln(2q)-1/2picot((pip)/q)+2sum_(0<n<q/2)cos((2pipn)/q)ln[sin((pin)/q)]       

(Allouche 1992, Knuth 1997, p. 94).

بسط مجانبی (asymptotic expansion) برای تابع دی گاما به صورت زیر ارائه می شود:

d/(dz)lim_(n->infty)[lnn!+zlnn-ln(z+1)-ln(z+2)-...-ln(z+n)]   ∼   psi_0(z+1)    

lim_(n->infty)(lnn-1/(z+1)-1/(z+2)-...-1/(z+n))   =                    

-gamma-sum_(n=1)^(infty)(1/(z+n)-1/n)   =                    

-gamma+sum_(n=1)^(infty)z/(n(n+z))   =                    

lnz+1/(2z)-sum_(n=1)^(infty)(B_(2n))/(2nz^(2n)),   =                   

که gamma ثابت اویلر ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) و B_(2n) اعداد برنولی (Bernoulli numbers) هستند.

تابع دی گاما در رابطه ی مهم زیر صدق می کند:

psi_0(z)=int_0^infty((e^(-t))/t-(e^(-zt))/(1-e^(-t)))dt.           

که برای عدد صحیح z=n،

psi_0(n)=-gamma+sum_(k=1)^(n-1)1/k=-gamma+H_(n-1),          

که gamma ثابت اویلر ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) و  H_n یک عدد هارمونیک یا همساز (harmonic number) است.

دیگر اتحادهایی که این تابع در آنها شرکت دارد، عبارت اند از:

(dpsi_0)/(dz)=sum_(n=0)^infty1/((z+n)^2)        

psi_0(1-z)-psi_0(z)=picot(piz)        

psi_0(z+1)=psi_0(z)+1/z        

psi_0(2z)=1/2psi_0(z)+1/2psi_0(z+1/2)+ln2.        

مقادیر ویژه برابراند با

-gamma-2ln2   =   psi_0(1/2)      

-gamma.   =  psi_0(1)       

در مقادیر صحیح،

-gamma+sum_(k=1)^(n-1)1/k    =  psi_0(n)      

-gamma+H_(n-1)    =                

Derbyshire 2003, p. 58). و در مقادیر نیمه انتگرالی داریم:

-gamma-2ln2+2sum_(k=1)^(n)1/(2k-1)   =   psi_0(1/2+n)

-gamma+H_(n-1/2),   =                 

که در آن  H_n یک عدد هارمونیک یا همساز (harmonic number) است.

با استفاده از انتگرال مربع واحد (unit square integral) برای u>0 نیز می توان این تابع را ظاهر کرد:

psi_0(u)=lnu-int_0^1int_0^1(1-x)/((1-xy)(-lnxy))(xy)^(u-1)dxdy        

(Guillera and Sondow 2005). وارد کردن u=1  در این معادله حالت خاص شامل ثابت اویلر ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) را بدست می دهد.

سری منتسب به psi_0(z) به شکل زیر است:

psi_0(z)=-1/z+sum_(n=0)^infty(psi_n(1))/(n!)z^n.        

یک سری لگاریتمی از تابع اخیر داریم که صورت زیر را داراست:

psi_0(z)=sum_(n=0)^infty1/(n+1)sum_(k=0)^n(-1)^k(n; k)ln(z+k)       

(Guillera and Sondow 2005). یک اتحاد شگفت انگیز که از سری فاکس ترات (FoxTrot series) ناشی می شود عبارت است از

-psi_0(1/2(-1)^(1/3))-psi_0(-1/2(-1)^(2/3))+psi_0(1/2(1+(-1)^(1/3)))+psi_0(1/2(1-1(-1)^(2/3)))=2pisech(1/2sqrt(3)pi).

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972.

Allouche, J.-P. "Series and Infinite Products related to Binary Expansions of Integers." 1992. http://algo.inria.fr/seminars/sem92-93/allouche.ps.

Arfken, G. "Digamma and Polygamma Functions." §10.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 549-555, 1985.

Boros, G. and Moll, V. "The Psi Function." §10.11 in Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 212-215, 2004.

Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.

Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "The psi Function." §1.7 in Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 15-20, 1981.

Guillera, J. and Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch's Transcendent." 16 June 2005 http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.

Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.

Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "The Digamma (F) and Trigamma (F^') Functions." Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 465-466, 1988.

Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, Vol. 1: Fundamental Algorithms, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1997.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Digamma Function psi(x)." Ch. 44 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 423-434, 1987

+ نوشته شده در ساعت 12:53 توسط علیرضا بهتاش  | 

پاسخ به سوالات

یکی از دوستان* در سوالی از ما خواسته بودند که ارتباط تابع

(3sinx)/(2+cosx)=x-1/(180)x^5-1/(1512)x^7-1/(25920)x^9+1/(3991680)x^(11)+...              

با تابع همانی id(x)=x را که در حدود دو پست پیش راجع به آن صحبت شد، توضیح دهیم.

در حقیقت ارتباط میان این دو تابع را می توان به وضوح در شکل زیر مشاهده کرد:

می بینیم که برای xهای کوچک در بازه [0,1] هر دو تابع بر هم منطبق هستند. (همین شرایط در بازه ی[1,0-] نیز برقرار است.) برای x=1 تابع فوق جوابی معادل 0.9937450941 را بدست می دهد که در حدود 0.0062549059 با ۱ فاصله دارد. لذا این تابع می تواند برای xهای کوچک در حکم تابع همانی باشد.

سوال دیگری که مطرح شده بود، در رابطه با توضیح قضیه ناتمامی گودل بود که در این باره باید عرض کنم که این اثبات بسیار ساده ولی خیلی زیرکانه است. شما می توانید مقاله ی کوتاهی از نحوه ی اثبات او را در این لینک (زبان انگلیسی) ببنید.

* محمد اسماعیل حسنی
+ نوشته شده در ساعت 13:4 توسط علیرضا بهتاش  |