فرض کنیم

f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),
                     

که                               

z=x+iy,                      

بنابراین

dz=dx+idy.                   

همه ی مشتقات f نسبت به z به صورت نمونه های محاسبه شده ی زیر هستند.

(z+z^_)/2  =  x                  

(z-z^_)/(2i),  =  y                  

بنابراین

1/2   =  (partialx)/(partialz)              

1/(2i),  =  (partialy)/(partialz)             

و 

(partialf)/(partialx)(partialx)/(partialz)+(partialf)/(partialy)(partialy)/(partialz)  =  (df)/(dz)           

1/2((partialf)/(partialx)-i(partialf)/(partialy)).   =                  

برحسب  u و v خواهیم داشت، 

1/2[((partialu)/(partialx)+i(partialv)/(partialx))-i((partialu)/(partialy)+i(partialv)/(partialy))]  =  (df)/(dz)          

1/2[((partialu)/(partialx)+i(partialv)/(partialx))+(-i(partialu)/(partialy)+(partialv)/(partialy))].   =                 

در امتداد محور xها یا محور حقیقی، partialf/partialy=0، پس

(x)                   (df)/(dz)=1/2((partialu)/(partialx)+i(partialv)/(partialx)).          

و در امتداد محور yها یا موهومی، partialf/partialx=0،لذا                 

(xx)                (df)/(dz)=1/2(-i(partialu)/(partialy)+(partialv)/(partialy)).         

چنانچه f به ازای مقادیر مختلط مشتق پذیر (complex differentiable) باشد، آنگاه مقدار این مشتق می بایست برای هر dz معلوم ، صرف نظر از جهت گیری آن، یکسان باشد. بنابراین (x) و (xx) معادل یکدیگرند که این به ما می گوید که

(partialu)/(partialx)=(partialv)/(partialy)                           

و

(partialv)/(partialx)=-(partialu)/(partialy).                           

این ها به معادلات کوشی ـ ریمان شهرت دارند.

این روابط به دو شرط مهم زیر مختوم می شوند

-(partial^2u)/(partialy^2)  =  (partial^2u)/(partialx^2)                      

-(partial^2v)/(partialy^2).  =   (partial^2v)/(partialx^2)                     

معادلات کوشی ـ ریمان به اختصار به صورت زیر بیان می شوند

1/2[(partialf)/(partialx)+i(partialf)/(partialy)]   =   (df)/(dz^_)                     

1/2[((partialu)/(partialx)+i(partialv)/(partialx))+i((partialu)/(partialy)+i(partialv)/(partialy))]   =                             

    1/2[((partialu)/(partialx)-(partialv)/(partialy))+i((partialu)/(partialy)+(partialv)/(partialx))]     =                             

0,   =                             

که  z^_ مزدوج مختلط (complex conjugate) نام دارد.

اگر z=re^(itheta) در اینصورت معادلات کوشی ـ ریمان به شکل زیر تحویل می یابند

1/r(partialv)/(partialtheta)   =  (partialu)/(partialr)                      

-(partialv)/(partialr)  =  1/r(partialu)/(partialtheta)                  

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 17).

چنانچه u و v در معادلات کوشی ـ ریمان صدق کنند، آنگاه در معادله ی لاپلاس (Laplace's equation) در فضای دو بعدی نیز برقرارند، زیرا

(partial^2u)/(partialx^2)+(partial^2u)/(partialy^2)=partial/(partialx)((partialv)/(partialy))+partial/(partialy)(-(partialv)/(partialx))=0                

(partial^2v)/(partialx^2)+(partial^2v)/(partialy^2)=partial/(partialx)(-(partialu)/(partialy))+partial/(partialy)((partialu)/(partialx))=0.                

با اختیار هر f(z) دلخواه، راه حل های حاصله طوری هستند که به طور خودکار در معادله ی لاپلاس صدق می کنند. در حقیقت از آنها می توان در قضیه ی نگاشت های همدیس (conformal mappings) و پیدا کردن چارچوب و پاسخ های منطقی برای مسائل فیزیکی نظیر شارش شاره ها و الکترواستاتیک استفاده کرد.

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 17, 1972.

Arfken, G. "Cauchy-Riemann Conditions." §6.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 360-365, 1985.

Knopp, K. "The Cauchy-Riemann Differential Equations." §7 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 28-31, 1996.

Krantz, S. G. "The Cauchy-Riemann Equations." §1.3.2 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 13, 1999.

Levinson, N. and Redheffer, R. M. Complex Variables. San Francisco, CA: Holden-Day, 1970.

Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 137, 1997