تانسورها (1)

بالانس شاخص ها در دو حالت هم وردا و پادوردا به کمک تانسور متریک:

                         

                        

 (Arfken 1985, p. 159).     

نمادنویسی تانسوری می تواند یک راه موجز و کوتاه را جهت نوشتن بردارها و اتحادهای عمومی دیگر فراهم کند. به عنوان مثال، در نمادنویسی تانسوری، حاصلضرب نقطه ای (dot product)  به واسطه رابطه ی زیر بسیار خلاصه می گردد

                       

که در اینجا برای ساده شدن عبارت تحت جمع زنی نسبت به همه ی شاخص ها، قرارداد جمع اینیشتین را بکار برده ایم. به طور مشابه، می توانیم حاصلضرب خارجی (cross product) را به صورتی مختصر بدین گونه بنویسیم

                              

که  تانسور لوی - سیویتا یا تانسور جایگشت (permutation tensor) می باشد.

تانسورهای پادوردای (Contravariant) مرتبه ی دوم، ساختارهای ریاضیاتی هستند که به شکل زیر تبدیل می شوند

                    

به همین شکل تانسورهای هم وردای (Covariant) نیز به صورت زیر تبدیل می شوند

                     

تانسورهای موسوم به مختلط ـ شاخص (Mixed) از مرتبه دو نیز به شکل زیر تبدیل می یابند

                   

چنانچه دو تانسور A و B و هر دو نه لزوماْ از مرتبه ی ۲ داشته باشیم، جمع آنها در قالب حالت های زیر انجام می گیرد

                        

                        

                      

تعمیم حاصلضرب نقطه ای (داخلی) را می توان در قاعده ای موسوم به تنجش تانسور (tensor contraction) بکار گرفت، به صورتی که دو شاخص یکسان یکی هم وردا و دیگری پادوردا در یک تانسور مورد استفاده قرار گیرند. برای تانسورها، می توان انواع مختلفی از مشتق ها را تعریف کرد. اما پرکاربردترین آن ها به دو مورد مشتق معمولی (comma derivative) (مشتقی که در آنالیز تانسوری به صورت یک کاما در کنار آخرین شاخص هم وردا، آنرا نشان می دهند) و همچنین مشتق هم وردا (covariant derivative) ختم می شوند.

اگر هریک از مولفه های یک تانسور از مرتبه ی دلخواه، در یکی از دستگاه های مختصاتی صفر شوند، در  دیگر دستگاه های مختصات نیز حتماْ صفر خواهند بود. لازم به ذکر است تبدیل متغیرهای یک تانسور، آنرا به تانسور دیگری تبدیل می کنند که مولفه هایش، توابع همگن خطی از مولفه های تانسور اولیه هستند.

فضای تانسوری از نوع می تواند به کمک حاصلضرب تانسوری فضای برداری (vector space tensor product) بین  میدان برداری (vector fields) و  میدان برداری دوگان نظیر یک شکلی ها (one-forms) نوشته شود. برای مثال

                   

برابر با کلاف برداری  - تانسوری بر روی خمینه ی (manifold)  بوده که  کلاف مماس  و  دوگان آن می باشد. تانسورهای نوع  یک فضای برداری (vector space) را تشکیل می دهند. این توصیف به نوع تانسور دیگر نیز تعمیم پیدا می کند و نگاشت خطی وارون پذیر (invertible linear map)  نگاشت  را القاء می کند، فضای برداری دوگان (dual vector space) و  ژاکوبی (Jacobian) است، که به شکل ذیل تعریف می شود

                 

که نگاشت قلاب (pullback map) و ژاکوبی  است که با جابجایی ژاکوبی به طرف دیگر معادله حاصل شده است. این تعریف میتواند به دیگر ضرب های تانسوری (tensor products)  و  بسط داده شود. هنگامی که یک تبدیل مختصات انجام می دهیم، متعاقباْ تانسورها نیز به کمک ژاکوبی  (محصول تبدیل خطی تانسورها) تبدیل خواهند شد.

منبع ارجاع داده شده:

Arfken, G. "Tensor Analysis." Ch. 3 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 118-167, 1985