دیورژانس 1

دیورژانس (divergence) یک میدان برداری مانند ، نمادگذاری به صورت  یا  (در اینجا از نمادگذاری نوع دوم بهره خواهیم گرفت)، به وسیله حد انتگرال رویه ای (surface integral)

                                 

تعریف می شود که در آن انتگرال رویه ای، مقدار انتگرالگیری شده  روی رویه ی مرزی بینهایت کوچک بسته ای در اطراف عنصر حجمی, را نشان می دهد، طوری که این رویه با استفاده از یک عملیات حدی به اندازه ی صفر برده شده است. بنابراین دیورژانس یک میدان برداری (vector field)، یک میدان اسکالر (scalar field) است. اگر ، آنگاه میدان یک میدان فاقد دیورژانس (divergenceless field) است. نماد  همچنین با نام عملگرهای "دل" (del) و یا "نابلا" (nabla) نیز شناخته می شود.

مفهوم فیزیکی دیورژانس یک میدان برداری، حاکی از نرخ "چگالی" موجود در یک ناحیه ی مشخص از فضا است. لذا تعریف دیورژانس به طور طبیعی (در غیاب فرض ایجاد شدن یا به زوال رفتن ماده، به طور کلی متغیر بودن ماده) تنها با اتکا بر این فرض قابل حصول است که چگالی داخل یک ناحیه ی فضایی تنها می تواند با داشتن جریان به سمت داخل یا بیرون از ناحیه ی مفروض تغییر کند. با اندازه گیری شار (جریان) کل محتوای ماده ی گذرنده از یک رویه در اطراف ناحیه ی فضایی مربوطه، بلافاصله ممکن خواهد بود تا بگوییم چگونه چگالی داخلی تغییر یافته است. این یک ویژگی بنیادین در فیزیک است که با نام "اصل پیوستگی" (principle of continuity) شناخته می شود. هنگامی که این اصل به صورت یک قضیه رسمی عنوان شد، از آن پس آن را قضیه ی دیورژانس (divergence theorem) و یا همچنین قضیه ی گائوس می نامند. در حقیقت تعریف بکار برده شده در معادله بالا بیانی از قضیه ی دیورژانس است.

لینک مربوطه: دیورژانس ۲

منابع:

Arfken, G. "Divergence, " §1.7 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 37-42, 1985.

Kaplan, W. "The Divergence of a Vector Field." §3.4 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 185-186, 1991.

Morse, P. M. and Feshbach, H. "The Divergence." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 34-37, 1953.

Schey, H. M. Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, 3rd ed. New York: W. W. Norton, 1997 

چند تانسور مهم

تانسور ریچی

تانسور ریچی یا به صورت مشابه تانسور انحنای ریچی به صورت زیر تعریف می شود

                             

که   تانسور ریمان است.

به تعبیر هندسی این تانسور در واقع نرخ رشد حجم توپی وارهای متریکی را در یک چندگونا (در اصطلاح ریاضی آن را خمینه می نامند.) کنترل می کند.

انحنای اسکالر

انحنای اسکالر همچنین با نام اسکالر انحنا نیز شناخته می شود، به این صورت معرفی می شود

                             

که   تانسور متریک پادوردا و   تانسور ریچی است.

تانسور اینیشتین

این تانسور عبارت است از

                          

که  تانسور انحنای ریچی و  انحنای اسکالر یا نرده ای و بالاخره  تانسور متریک را نشان می دهد. این تانسور تحت عمل دیورژانس هموردا همواره برابر صفر است. یعنی:

                       

که نماد ; بر مشتق هموردا (Covariant Derivative) دلالت دارد.

منابع:

Arfken, G. "Divergence, ." §1.7 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 37-42, 1985

Misner, C. W.; Thorne, K. S.; and Wheeler, J. A. Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman, 1973.

Parker, L. and Christensen, S. M. "The Ricci, Einstein, and Weyl Tensors." §2.7.1 in MathTensor: A System for Doing Tensor Analysis by Computer. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 30-32, 1994.

Wald, R. M. General Relativity. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1984.

تانسور ریمان

تانسور ریمان (Riemann tensor)  كه همچنين با نام تانسور انحناي ريمان - كريستوفل يا تانسور انحناي ريمان نيز مشهور است، يك تانسور 4 شاخصي بسيار مهم و كاربردي در نسبيت عام است. ديگر تانسورهاي نسبيتي مفيد مانند تانسور انحناي ريچي (Ricci curvature tensor) و تانسور انحناي اسكالر نيز از تانسور  نشئت مي گيرند:

                    

كه در آن  ضرايب ارتباط (connection coefficients) و علامت كاما "," مشتق معمولی را نسبت به شاخص بعد از خودش نشان می دهد. در یک بعد داریم . در چهار بعد این تانسور ۲۵۶ مولفه دارد. با استفاده از روابط تقارنی،

                    

تعداد مولفه های مستقل به ۳۶ تا کاهش می یابد. با تحمیل شرط

                    

تعداد مختصه ها به ۲۱ عدد تقلیل می یابد. درنهایت با استفاده از

                  

تعداد مولفه های مستقل ۲۰ تا خواهند شد.

به طور کلی تعداد مولفه های مستقل در n بعد توسط رابطه ی زیر داده می شود:

                     

اعداد هرمی چهار - بعدی (four-dimensional pyramidal numbers) از کوچک به ترتیب عبارتند از ۰ و ۱و ۶و ۲۰و ۵۰و ۱۰۵و ۱۹۶و ۳۳۶و ۵۴۰و ... . تعداد اسکالرهای (scalars) ممکن که می توان آنها را از  و  ساخت، برابرند با

                     

در جملات تانسور ژاکوبی (Jacobi tensor)  

               

فرض می کنیم که

                    

که کمیت نماد کریستوفل نوع دوم (Christoffel symbol of the second kind) است. بنابراین

               

به ساده ترین شکل اش در N بعد تجزیه می شود:

                       

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.

Misner, C. W.; Thorne, K. S.; and Wheeler, J. A. "Geodesic Deviation and the Riemann Curvature Tensor." §8.7 in Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman, pp. 218-224, 1973.

Parker, L. and Christensen, S. M. "The Riemann Curvature Tensor." §2.7 in MathTensor: A System for Doing Tensor Analysis by Computer. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 28-32, 1994.

Schutz, B. F. "Riemann Tensor" and "Geometric Interpretation of the Riemann Tensor." §6.8 in A First Course in General Relativity. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 210-214, 1985.

Schmutzer, E. Relativistische Physik (Klassische Theorie). Leipzig, Germany: Akademische Verlagsgesellschaft, 1968.

Sloane, N. J. A. Sequences A002415/M4135 and A050297 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Weinberg, S. "Definition of the Curvature Tensor" and "Uniqueness of the Curvature Tensor." §6.1 and 6.2 in Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. New York: Wiley, pp. 131-135, 1972.

تانسور آفینی (Affine tensor)

تانسور آفینی (مستوی)، تانسوری متناظر با تبدیلات مختصات خطی است،، که در آن دترمینان  مخالف با صفر است. این تبدیل از دستگاه مختصات راست گوشه به دستگاه مختصات دارای محورهای مایل (oblique axes) صورت می پذیرد. در این روش تانسور آفینی می تواند در قالب یک تانسور دکارتی (*) ظاهر شود.

این تانسورها دارای ژاکوبی های زیر هستند:

                                          

                                                 

                                      

                                                

قوانین تبدیل تانسورهای (مماس) پادوردای آفینی عبارت اند از

                                           

                                       

                                    

و به همین ترتیب ادامه می یابد. قوانین تبدیل تانسورهای (هم بردار) هموردای آفینی نیز عبارت اند از

                                            

                                   

                                   

و همین روال ادامه خواهد یافت.

قوانین تبدیل تانسورهای مختلط ـ شاخص آفینی نیز به صورت زیر هستند:

                                       

                                  

(*) تانسور دکارتی: تانسوری در فضای ۳ بعدی اقلیدسی است. برعکس تانسورهای عمومی، هیچ تمایزی میان شاخص های هموردا و پادوردای تانسورهای دکارتی وجود ندارد. با این حال در فضاهای نااقلیدسی (مانند فضاهای لورنتزی)، تانسورها به این تمایز نیازمندند.

منابع:

Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 580, 1980.

Kay, D. Schaum's Outline of Tensor Calculus. New York: McGraw-Hill, 1988.

Lovelock, D. and Rund, H. Tensors, Differential Forms, and Variational Principles. New York: Dover, 1989

تانسورها (1)

بالانس شاخص ها در دو حالت هم وردا و پادوردا به کمک تانسور متریک:

                         

                        

 (Arfken 1985, p. 159).     

نمادنویسی تانسوری می تواند یک راه موجز و کوتاه را جهت نوشتن بردارها و اتحادهای عمومی دیگر فراهم کند. به عنوان مثال، در نمادنویسی تانسوری، حاصلضرب نقطه ای (dot product)  به واسطه رابطه ی زیر بسیار خلاصه می گردد

                       

که در اینجا برای ساده شدن عبارت تحت جمع زنی نسبت به همه ی شاخص ها، قرارداد جمع اینیشتین را بکار برده ایم. به طور مشابه، می توانیم حاصلضرب خارجی (cross product) را به صورتی مختصر بدین گونه بنویسیم

                              

که  تانسور لوی - سیویتا یا تانسور جایگشت (permutation tensor) می باشد.

تانسورهای پادوردای (Contravariant) مرتبه ی دوم، ساختارهای ریاضیاتی هستند که به شکل زیر تبدیل می شوند

                    

به همین شکل تانسورهای هم وردای (Covariant) نیز به صورت زیر تبدیل می شوند

                     

تانسورهای موسوم به مختلط ـ شاخص (Mixed) از مرتبه دو نیز به شکل زیر تبدیل می یابند

                   

چنانچه دو تانسور A و B و هر دو نه لزوماْ از مرتبه ی ۲ داشته باشیم، جمع آنها در قالب حالت های زیر انجام می گیرد

                        

                        

                      

تعمیم حاصلضرب نقطه ای (داخلی) را می توان در قاعده ای موسوم به تنجش تانسور (tensor contraction) بکار گرفت، به صورتی که دو شاخص یکسان یکی هم وردا و دیگری پادوردا در یک تانسور مورد استفاده قرار گیرند. برای تانسورها، می توان انواع مختلفی از مشتق ها را تعریف کرد. اما پرکاربردترین آن ها به دو مورد مشتق معمولی (comma derivative) (مشتقی که در آنالیز تانسوری به صورت یک کاما در کنار آخرین شاخص هم وردا، آنرا نشان می دهند) و همچنین مشتق هم وردا (covariant derivative) ختم می شوند.

اگر هریک از مولفه های یک تانسور از مرتبه ی دلخواه، در یکی از دستگاه های مختصاتی صفر شوند، در  دیگر دستگاه های مختصات نیز حتماْ صفر خواهند بود. لازم به ذکر است تبدیل متغیرهای یک تانسور، آنرا به تانسور دیگری تبدیل می کنند که مولفه هایش، توابع همگن خطی از مولفه های تانسور اولیه هستند.

فضای تانسوری از نوع می تواند به کمک حاصلضرب تانسوری فضای برداری (vector space tensor product) بین  میدان برداری (vector fields) و  میدان برداری دوگان نظیر یک شکلی ها (one-forms) نوشته شود. برای مثال

                   

برابر با کلاف برداری  - تانسوری بر روی خمینه ی (manifold)  بوده که  کلاف مماس  و  دوگان آن می باشد. تانسورهای نوع  یک فضای برداری (vector space) را تشکیل می دهند. این توصیف به نوع تانسور دیگر نیز تعمیم پیدا می کند و نگاشت خطی وارون پذیر (invertible linear map)  نگاشت  را القاء می کند، فضای برداری دوگان (dual vector space) و  ژاکوبی (Jacobian) است، که به شکل ذیل تعریف می شود

                 

که نگاشت قلاب (pullback map) و ژاکوبی  است که با جابجایی ژاکوبی به طرف دیگر معادله حاصل شده است. این تعریف میتواند به دیگر ضرب های تانسوری (tensor products)  و  بسط داده شود. هنگامی که یک تبدیل مختصات انجام می دهیم، متعاقباْ تانسورها نیز به کمک ژاکوبی  (محصول تبدیل خطی تانسورها) تبدیل خواهند شد.

منبع ارجاع داده شده:

Arfken, G. "Tensor Analysis." Ch. 3 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 118-167, 1985

تانسورها

هر تانسور از مرتبه ی n در فضایی m- بعدی، ساختاری ریاضیاتی است که n شاخص و  مولفه دارد که از قوانین تبدیلات مختصاتی پیروی می کند.

هر شاخص تانسور، فقط مقادیری در محدوده ی تعداد بعدهای فضای تعریفی اختیار می کند. با این حال دخالت ابعاد فضایی تا حدود زیادی در معادلات تانسوری نامربوط به نظر می رسد. (به استثنای حالت تنجش یافته ی تانسور کرونکر). تانسورها نوع عمومی تر اسکالرها ( که فاقد شاخص هستند) ،بردارها (که تنها دارای یک شاخص اند) و نیز متریک ها (که فقط دو شاخص دارند) می باشند که می توانند تعداد دلخواه شاخص اختیار کنند.

تانسورها بستر ریاضی مناسب و ساده ای را جهت فرمولبندی و حل مسائل متعدد در سیطره ی مباحث گوناگون فیزیک نظیر مکانیک سیالات و نسبیت عام فراهم می کنند.

نمادگذاری هر تانسور عیناْ شبیه به یک ماتریس است، (مثل )، به جز اینکه یک تانسور مثلا ، ،  قدرت انتخاب هر تعداد شاخص دلخواه را شامل هستند. بعلاوه، یک تانسور از مرتبه ی ،از نوع مختلط ـ شاخص یا به اصطلاح "مختلط" ، تلفیقی از  شاخص بالا یا "پادوردا (contravariant)" و  شاخص پایین "هم وردا (covariant)" می باشد. دقت کنید که مکان شاخص های پادوردا و هم وردا با یکدیگر فرق دارد که کوچکترین تفاوت میان جایدهی شاخص ها در یک تانسور چه در ترتیب و چه در بالا یا پایین بردن شاخص ها، منجر به ایجاد تانسور جدید و یا تغییر ساختمان ریاضی آن می گردد. برای مثال تانسور  متمایز از شکل  است.

هنگامی که تانسور نسبت به تفاوت شاخص های پادوردا و هم وردا حساس باشد، تانسور حاصل از نوع عمومی خواهد بود. (در بحث ماتریس ها، یک ماتریس عمومی از جمع دو ماتریس پادمتقارن و متقارن به وجود می آمد که در اینجا نیز همین حالت برای تانسورها برقرار است). عدم تفاوت میان شاخص های هم وردا و پادوردا بیشتر در تانسورهای موردبحث در فضای اقلیدسی مانند تانسورهای دکارتی (Cartesian tensors) مطرح است.

تانسورهای تبدیل شونده از مرتبه ی صفر، اسکالر (scalars) نامیده می شوند که همانند تانسورهای مرتبه ی ۱ یعنی بردارها (vectors) تبدیل می شوند. در نمادنویسی تانسوری، هر بردار  به شکل  نوشته می شود. به طوریکه i=1,...,m و ماتریس متناظر با آن گویای تانسوری از مرتبه ی (۱,۱) است که آن را به فرم  می نویسیم.

می توان عملیات جبری و دیفرانسیل را بر روی تانسورها انجام داد (مانند تانسورهای متریک (metric tensors) و تانسور جایگشت (permutation tensor) یا نماد دلتای کرونکر) که قابلیت تعریف پذیری عملگرهای تانسوری را دارا هستند. [مانند مشتق هم وردا (semicolon derivatives)]. با جابجایی شاخص های هم وردا و پادوردا می توان به عبارات و تانسورهای ساده تری دست یافت که این کار شامل بالابردن (index raising) یا پایین آوردن شاخص ها (index lowering) یا به عبارت کلی بالانس شاخص ها ( index gymnastics) می باشد که آن ها را می توان با ضرب در تانسور متریک، ، ،  و ... به دست آورد.

ادامه دارد...

منابع:

Abraham, R.; Marsden, J. E.; and Ratiu, T. S. Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1991.

Akivis, M. A. and Goldberg, V. V. An Introduction to Linear Algebra and Tensors. New York: Dover, 1972.

Arfken, G. "Tensor Analysis." Ch. 3 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 118-167, 1985.

Aris, R. Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics. New York: Dover, 1989.

Bishop, R. and Goldberg, S. Tensor Analysis on Manifolds. New York: Dover, 1980.

Borisenko, A. I. and Tarpov, I. E. Vector and Tensor Analysis with Applications. New York: Dover, 1980.

Bott, R. and Tu, L. W. Differential Forms in Algebraic Topology. New York: Springer-Verlag, 199.

Cartan, É. The Theory of Spinors. New York: Dover, 1981.

Joshi, A. W. Matrices and Tensors in Physics, 3rd ed. Wiley, 1995.

Lass, H. Vector and Tensor Analysis. New York: McGraw-Hill, 1950.

Lawden, D. F. An Introduction to Tensor Calculus, Relativity, and Cosmology, 3rd ed. Chichester, England: Wiley, 1982.

Lovelock, D. and Rund, H. Tensors, Differential Forms, and Variational Principles. New York: Dover, 1989.

McConnell, A. J. Applications of Tensor Analysis. New York: Dover, 1947.

Nicolaescu, L. I. Lectures on the Geometry of Manifolds. Singapore: World Scientific, 1996.

Parker, L. and Christensen, S. M. MathTensor: A System for Doing Tensor Analysis by Computer. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

Rashevskii, P. K. Riemann'sche Geometrie und Tensoranalysis. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1959.

Simmonds, J. G. A Brief on Tensor Analysis, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1994.

Sokolnikoff, I. S. Tensor Analysis: Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua, 2nd ed. New York: Wiley, 1964.

Synge, J. L. and Schild, A. Tensor Calculus. New York: Dover, 1978.  

Wrede, R. C. Introduction to Vector and Tensor Analysis. New York: Wiley, 1963