انتگرالگیری مسیری (Contour integration) فرایندی است که طی آن مقادیر یک انتگرال مسیری حول یک منحنی ساده ی بسته ی فرضی (contour) در صفحه ی مختلط (complex plane) محاسبه می شوند. به عنوان یک نتیجه ی شفت انگیز و جالب توابع هولومورفیک (holomorphic functions)، چنین انتگرال هایی به راحتی می توانند با جمع مقادیر مانده های مختلط (complex residues) داخل منحنی محاسبه شوند.

ContourIntegral

فرض کنیم P(x) و Q(x) دو چندجمله ای به ترتیب از درجه ی n و m با ضرایب b_n, ..., b_0 و c_m, ..., c_0 باشند. منحنی بسته ای در نیم صفحه ی بالایی (upper half-plane) همچون شکل بالا داریم. با تعویض x به z، می نویسیم z=Re^(itheta). آنگاه

int_(-infty)^infty(P(z)dz)/(Q(z))=lim_(R->infty)int_(-R)^R(P(z)dz)/(Q(z)).                   

یک مسیر gamma_R را که در امتداد محور حقیقی از -R تا  R مستقیم است، تعریف کرده و یک نیم دایره جهت اتصال دو نقطه ی انتهایی این مسیر مستقیم در نیم صفحه ی مختلط بالایی را رسم می کنیم. به کمک قضیه مانده ها (residue theorem) خواهیم داشت

lim_(R->infty)int_(gamma_R)(P(z)dz)/(Q(z))  =  lim_(R->infty)int_(-R)^R(P(z)dz)/(Q(z))+lim_(R->infty)int_0^pi(P(Re^(itheta)))/(Q(Re^(itheta)))iRe^(itheta)dtheta        

2piisum_(I[z]>0)Res[(P(z))/(Q(z))],=                                                                            

که  Res[z] مانده های مختلط (complex residues) را نشان می دهد. با حل

lim_(R->infty)int_(-R)^R(P(z)dz)/(Q(z))=2piisum_(I[z]>0)Res(P(z))/(Q(z))-lim_(R->infty)int_0^pi(P(Re^(itheta)))/(Q(Re^(itheta)))iRe^(itheta)dtheta.         

تعریف می کنیم

lim_(R->infty)int_0^pi(P(Re^(itheta)))/(Q(Re^(itheta)))iRe^(itheta)dtheta  =  I_R           

lim_(R->infty)int_0^pi(b_n(Re^(itheta))^n+b_(n-1)(Re^(itheta))^(n-1)+...+b_0)/(c_m(Re^(itheta))^m+c_(m-1)(Re^(itheta))^(m-1)+...+c_0)iRdtheta  =                

lim_(R->infty)int_0^pi(b_n)/(c_m)(Re^(itheta))^(n-m)iRdtheta  =                

(*)           lim_(R->infty)int_0^pi(b_n)/(c_m)R^(n+1-m)i(e^(itheta))^(n-m)dtheta  =                

و مجموعه ی

epsilon=-(n+1-m),               

آنگاه معادله ی (*)  خواهد شد

I_R=lim_(R->infty)i/(R^epsilon)(b_n)/(c_m)int_0^pie^(i(n-m)theta)dtheta.             

اینک،

lim_(R->infty)R^(-epsilon)=0                 

برای epsilon>0. این بدان معناست که برای -n-1+m>=1 و یا  m>=n+2 ، I_R=0 داریم

int_(-infty)^infty(P(z)dz)/(Q(z))=2piisum_(I[z]>0)Res[(P(z))/(Q(z))]          

که در آن m>=n+2. در لم گوردن (Jordan's lemma) تابع مختلط مقدار f(x)=P(x)/Q(x) را بکار می بریم.  بنابراین بایستی داشته باشیم

lim_(x->infty)f(x)=0,               

که برای تصدیق آن باید رابطه ی m>=n+1 را مطالبه کنیم.

از این رو به ازای m>=n+1 و a>0 داریم:

int_(-infty)^infty(P(z))/(Q(z))e^(iaz)dz=2piisum_(I[z]>0)Res[(P(z))/(Q(z))e^(iaz)]            

چون این رابطه بایستی به طور جداگانه برای قسمت های حقیقی و مختلط ارضا شود، نتیجه را می توان به دو رابطه ی مهم زیر بسط داد:

int_(-infty)^infty(P(x))/(Q(x))cos(ax)dx=2piR{sum_(I[z]>0)Res[(P(z))/(Q(z))e^(iaz)]}          

int_(-infty)^infty(P(x))/(Q(x))sin(ax)dx=2piI{sum_(I[z]>0)Res[(P(z))/(Q(z))e^(iaz)]}.           

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 406-409, 1985.

Krantz, S. G. "Applications to the Calculation of Definite Integrals and Sums." §4.5 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 51-63, 1999.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 353-356, 1953.

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "The Evaluation of Certain Types of Integrals Taken Between the Limits -infty and +infty," "Certain Infinite Integrals Involving Sines and Cosines," and "Jordan's Lemma." §6.22-6.222 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 113-117, 1990.