۱) قضیه ی وینر - خین

اگر تعریف تابع خودهمبستگی (autocorrelation) C(t) تابعی نظیر  E(t) را به خاطر بیاوریم،

C(t)=int_(-infty)^inftyE^_(tau)E(t+tau)dtau.                      

همچنین می دانیم که تبدیل فوریه ی E(t) به صورت زیر است

E(tau)=int_(-infty)^inftyE_nue^(-2piinutau)dnu,                     

که همیوغ مختلط آن نیز به صورت زیر نوشته می شود:

E^_(tau)=int_(-infty)^inftyE^__nue^(2piinutau)dnu.                     

با وارد کردن  E^_(tau) و E(t+tau) به تابع خودهمبستگی آنگاه داریم

int_(-infty)^infty[int_(-infty)^inftyE^__nue^(2piinutau)dnu][int_(-infty)^inftyE_(nu^')e^(-2piinu^'(t+tau))dnu^']dtau  =  C(t)    
           

int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyE^__nuE_(nu^')e^(-2piitau(nu^'-nu))e^(-2piinu^'t)dtaudnudnu^'   =           
                            

int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyE^__nuE_(nu^')delta(nu^'-nu)e^(-2piinu^'t)dnudnu^'   =           
                         

int_(-infty)^inftyE^__nuE_nue^(-2piinut)dnu   =           
                        

int_(-infty)^infty|E_nu|^2e^(-2piinut)dnu   =           
                          

F_nu[|E_nu|^2](t),   =           
                          

که delta تابع دلتای دیراک (Delta Function) است. تعجب آور است که خودهمبستگی به سادگی توسط تبدیل فوریه ی مربع قدرمطلق E_nu به دست آمد.

قضیه ی وینر - خین چن حالت خاصی از قضیه ی کلی تر همبستگی متقابل (cross-correlation theorem) زمانی که f=g .

۲) همبستگی متقابل

 f*g را همبستگی متقابل توابع f(t)  و g(t) می نامیم که t عددی حقیقی است که به صورت زیر تعریف می شود

f*g=f^_(-t)*g(t),                     

که * نماد کانولوشن و f^_(t) همیوغ مختلط (complex conjugate) f(t) می باشد. چون کانولوشن از طریق معادله ی زیر قابل محاسبه است

f*g=int_(-infty)^inftyf(tau)g(t-tau)dtau,                     

در نتیجه

[f*g](t)=int_(-infty)^inftyf^_(-tau)g(t-tau)dtau.              

با فرض tau^'=-tau و dtau^'=-dtau معادله ی اخیر به شکل زیر تبدیل می شود

int_infty^(-infty)f^_(tau^')g(t+tau^')(-dtau^')  =  f*g   
                 

int_(-infty)^inftyf^_(tau)g(t+tau)dtau.   =          

همبستگی متقابل در رابطه ی زیر نیز صدق می کند

(g*h)*(g*h)=(g*g)*(h*h).               

 اگر  f و  g تابعی زوج (even) باشند آنگاه

f*g=f*g,                   

که * همان کانولوشن است.

۳) قضیه ی همبستگی متقابل

با فرضیات فوق می توانیم f*g به شکل زیر بسط دهیم

int_(-infty)^inftyf^_(tau)g(t+tau)dtau  =  f*g  
              

int_(-infty)^infty[int_(-infty)^inftyF^_(nu)e^(2piinutau)dnuint_(-infty)^inftyG(nu^')e^(-2piinu^'(t+tau))dnu^']dtau   =          
                

int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyF^_(nu)G(nu^')e^(-2piitau(nu^'-nu))e^(-2piinu^'t)dtaudnudnu^'   =         
                         

int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyF^_(nu)G(nu^')e^(-2piinu^'t)[int_(-infty)^inftye^(-2piitau(nu^'-nu))dtau]dnudnu^'   =        
                

int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyF^_(nu)G(nu^')e^(-2piinu^'t)delta(nu^'-nu)dnu^'dnu   =       
                            

int_(-infty)^inftyF^_(nu)G(nu)e^(-2piinut)dnu   =      
                    

F[F^_(nu)G(nu)],   =     
               

 که F تبدیل فوریه و  z^_ همیوغ مختلط هستند. و نیز

F_nu[F(nu)](t)=int_(-infty)^inftyF(nu)e^(-2piinut)dnu   =   f(t) 
                  

F_nu[G(nu)](t)=int_(-infty)^inftyG(nu)e^(-2piinut)dnu.   =   g(t) 
                       

با بکار بردن یک تبدیل فوریه در هر طرف، قضیه ی همبستگی متقابل بدست خواهد آمد

f*g=F[F^_(nu)G(nu)].                

منابع:

Bracewell, R. "Pentagram Notation for Cross Correlation." The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 46 and 243, 1999.

Papoulis, A. The Fourier Integral and Its Applications. New York: McGraw-Hill, pp. 244-245 and 252-253, 1962.