رياضيات زيبا

حساب تغییرات بدون در نظر گرفتن شرایط فرعی (معادله اویلر)

mathnews — Thu, 26 Jun 2008 16:07:18 GMT

یکی از شاخه های وسیع ریاضیات، نوع خاصی از تعمیم حساب در آن است. حساب تغییرات (وردشها) در جستجوی یافتن مجموعه ای از مسیرها، خم ها، خمینه ها و ... است که به عنوان توابعی پیوسته و مشتق پذیر دارای اکسترم طولی هستند (که اغلب در مسائل فیزیکی از آن به عنوان کمینه یا بیشینه نیز یاد می شود). در ریاضیات، مقدار این اکسترمم بوسیله ی انتگرال معین زیر نمایش داده می شود:

که در آن

در مسئله ی کوتاه ترین خم زمانی (brachystochrone problem) که توسط یوهان برنولی (Johann BERNOULLI) به سال ۱۶۹۶ علناْ مطرح شد یافتن y ای در انتگرال فوق مطرح است که در آن بتوانیم تعریف ذیل را نمایان سازیم:

اگر دو نقطه ی p1 و p2 در ارتفاعات متفاوت اما نه واقع بر بالای یکدیگر، مفروض باشند، می خواهیم از جمیع خم های ممکن واصل آنها، خمی را بیابیم که یک نقطه ی مادی (material point) از p1 به p2 در امتداد آن و تحت تاثیر گرانی یا ثقل (صرفنظر از اصطکاک) در کوتاهترین زمان ممکن بلغزد.

مسئله ی فوق در آن زمان، ذهن ریاضیدانان پیشرو تمام اروپا، از قبیل: نیوتون، لایب نیتز، یاکوب برنولی، لوپیتال، هود (HUDDE)، فاتیو (FATIO) و ... را به خود مشغول کرد. از این زمان به بعد حساب تغییرات به عنوان عنوان دستگاه ریاضی خاصی توسعه یافته است.

مسئله ی بالا منجر به پیدایش تابع (y(x ای شد که بازای آن مقدار اکسترمم را برای تابع f مطرح کردیم. اما تابع لازم در این مسئله نوع خاصی از جوابی بود که باید در یک معادله ی دیفرانسیل کلی ترصادق باشد. اویلر به همراه لاگرانژ در تحویل مسئله ی تغییرات به معادلات دیفرانسیل توفیق یافت. معادله ی اویلر ـ لاگرانژ (Euler-Lagrange differential equation) یکی از فرمول های بنیادی حساب تغییرات یا وردش هاست.

سری فوریه

mathnews — Sat, 23 Feb 2008 10:59:18 GMT

سری فوریه عبارت است از بسط تابع تناوبی در قالب جملاتی از جمع نامتناهی کسینوس ها و سینوس ها. در واقع سری فوریه بر کاربرد روابط تعامد (orthogonality relationships) توابع سینوسی و کسینوسی تاکید دارد. محاسبه و مطالعه ی سری های فوریه موسوم به آنالیز هارمونیک (harmonic analysis) می باشد که به عنوان یک روش بسیار سودمند برای تفکیک یک تابع تناوبی دلخواه به مجموعه ای از جملات ساده بوده که به راحتی می توان آنها را فهمید، منحصرا حل کرد و دوباره با ترکیب آنها راه حل مساله ی اولیه را بدست آورد، یا اینکه یک تقریب مطلوب و مناسبی را برای آن تخمین زد. نمونه هایی از تقریب های متوالی برای توابع معمول در ریاضیات با استفاده از سری های فوریه در شکل بالا گرداوری شده است.

به ویژه از آن جایی که با توجه به اصل انطباق (برهم نهی) مجموع پاسخ های یک معادله ی دیفرانسیلی معمولی همگن خطی خود راه حل معادله ی اولیه محسوب می شوند، چنانچه بک چنین معادله ای را بتوان برای یک خم سینوسی یکتا حل کرد، آنگاه راه حل یک تابع دلخواه را می توان فورا با استفاده از توصیف تابع اولیه در قالب یک سری فوریه بدست آورد که متعاقبا این رویه منجر به فهم راه حل هر یک از مولفه های منتسب به خم سینوسی می گردد. این تکنیک حتی در برخی موارد خاص که سری فوریه محصور به یک شکل محدود و بسته است، به راه حل های تحلیلی نیز می انجامد.

هر مجموعه ای از توابعی که یک دستگاه متعامد (راست گوشه) کامل (complete orthogonal system) را تشکیل می دهند، یک سری فوریه ی تعمیم یافته (generalized Fourier series) متناظر دارند که شبیه به سری فوریه است. مثلاْ استفاده از تعامد ریشه های تابع بسل نوع اول (Bessel function of the first kind) به اصطلاح یک سری بسل ـ فوریه (Bessel function of the first kind) را بدست می دهد.

محاسبه ی سری فوریه (معمول) بر پایه ی اتحاد های انتگرالی زیر است:

که و نماد دلتای کرونکر است:

با استفاده از متد سری فوریه تعمیم یافته (generalized Fourier series) سری فوریه ی معمول شامل جملات سینوسی و کسینوسی با قرار دادن و حاصل می شود. چون این توابع یک دستگاه متعامد کامل در بازه ی را ایجاد می کنند، سری فوریه تابع به صورت زیر داده می شود:

که

و ... n=۱،۲،۳ توجه کنید که عامل a₀در فرم خاصی نوشته شده است که در قیاس با شکل عمومی سری فوریه تعمیم یافته می تواند تقارن نسبت به تعاریف a_n و b_n را حفظ کند.

اگر یک تابع شرایط دیریشله (Dirichlet conditions) را تصدیق کند، سری فوریه تابع مزبور همگرا به تابع می باشد که برابر با تابع اولیه در نقاط پیوستگی و یا میانگین دو حد در نقاط ناپیوستگی است، یعنی

x_0^-)f(x)+lim_(x->x_0^+)f(x)] for -pi-pi^+)f(x)+lim_(x->pi_-)f(x)] for x_0=-pi,pi " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FourierSeries/NumberedEquation2.gif" width=290 border=0>

به عنوان یک نتیجه، در نزدیکی ناپیوستگی ها، یک رشته ی حلقوی موسوم به پدیده ی گیبس (Gibbs phenomenon) می تواند اتفاق بیفتد که در شکل بالا به وضوح این مطلب قابل تایید است.

ادامه دارد...

اشکالات وبلاگ

mathnews — Tue, 12 Feb 2008 14:58:18 GMT

باتوجه به برخی اشکالات به وجود آمده من جمله تداخل اطلاعات دیتابیس سایت بلاگفا برای ساعاتی وبلاگ ریاضیات زیبا دچار نقص شده بود که بدین وسیله از شما پوزش خواهی می کنیم.

همچنین با توجه به بهبود کیفیت فرمول ها در دتابیس سایت جهان ریاضی و منسوخ شدن فرمول های قبلی، در سیستم نمایش فرمول ها در متن مسائل با مشکل مواجه خواهید بود که در سریع ترین زمان ممکن جهت رفع مشکل مذکور اقدام خواهد شد.

باتشکر

مدیریت وبلاگ

تنگرام

mathnews — Thu, 07 Feb 2008 22:07:18 GMT

به زبان ساده تنگرام (Tangram) عبارت است از یک معمای چینی که می گوید یک مربع را می توان به ۵ مثلث، یک مربع و یک لوزی چنان کاهش داد، طوری که طرز آرایش این اشکال در کنار هم می تواند متفاوت از هم باشد، ولی در کل شکل نهایی یک مربع است. این تعریف کمی گنگ است، لذا به سراغ جستار فنی تر می رویم:

تنگرام، ترکیبی از قطعات چندضلعی صفحه مانندی است به نحوی که اضلاع این چندضلعی ها منطبق بر همدیگر هستند. در کل ۱۳ تنگرام محدب وجود دارد (یک تنگرام محدب شامل یک مجموعه از قطعات تنگرام است که در یک چند ضلعی محدب (convex polygon) مانند مربع چیده شده اند).

جالب است بدانید که شکل راست در زیر (مربوط به یک تنگرام با اجزای رنگ شده) علامت ویژه یا به اصطلاح لوگوی شرکت خدمات آب و برق ... Illinois Power در آمریکا است.

منابع:

Cundy, H. and Rollett, A. Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 19-20, 1989.

Gardner, M. "Tangrams, Part 1" and "Tangrams, Part 2." Chs. 3-4 in Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H. Freeman, pp. 27-54, 1988.

Illinois Power. "Illinois Power Home Page." http://www.illinoispower.com

Johnston, S. The Fun with Tangrams Kit: 120 Puzzles with Two Complete Sets of Tangram Pieces. New York: Dover, 1977.

Johnston, S. Tangrams ABC Kit. New York: Dover, 1985.

Pappas, T. "Tangram Puzzle." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 212, 1989.

Read, R. C. Tangrams: 330 Puzzles. New York: Dover, 1980.

Slocum, J. The Tangram Book: The Story of the Chinese Puzzle with Over 2000 Puzzles to Solve. New York: Sterling, 2003

دیورژانس

mathnews — Thu, 07 Feb 2008 21:14:18 GMT

دیورژانس (divergence) یک میدان برداری مانند ، نمادگذاری به صورت یا (در اینجا از نمادگذاری نوع دوم بهره خواهیم گرفت)، به وسیله حد انتگرال رویه ای (surface integral)

تعریف می شود که در آن انتگرال رویه ای، مقدار انتگرالگیری شده روی رویه ی مرزی بینهایت کوچک بسته ای در اطراف عنصر حجمی, را نشان می دهد، طوری که این رویه با استفاده از یک عملیات حدی به اندازه ی صفر برده شده است. بنابراین دیورژانس یک میدان برداری (vector field)، یک میدان اسکالر (scalar field) است. اگر ، آنگاه میدان یک میدان فاقد دیورژانس (divergenceless field) است. نماد همچنین با نام عملگرهای "دل" (del) و یا "نابلا" (nabla) نیز شناخته می شود.

مفهوم فیزیکی دیورژانس یک میدان برداری، حاکی از نرخ "چگالی" موجود در یک ناحیه ی مشخص از فضا است. لذا تعریف دیورژانس به طور طبیعی (در غیاب فرض ایجاد شدن یا به زوال رفتن ماده، به طور کلی متغیر بودن ماده) تنها با اتکا بر این فرض قابل حصول است که چگالی داخل یک ناحیه ی فضایی تنها می تواند با داشتن جریان به سمت داخل یا بیرون از ناحیه ی مفروض تغییر کند. با اندازه گیری شار (جریان) کل محتوای ماده ی گذرنده از یک رویه در اطراف ناحیه ی فضایی مربوطه، بلافاصله ممکن خواهد بود تا بگوییم چگونه چگالی داخلی تغییر یافته است. این یک ویژگی بنیادین در فیزیک است که با نام "اصل پیوستگی" (principle of continuity) شناخته می شود. هنگامی که این اصل به صورت یک قضیه رسمی عنوان شد، از آن پس آن را قضیه ی دیورژانس (divergence theorem) و یا همچنین قضیه ی گائوس می نامند. در حقیقت تعریف بکار برده شده در معادله بالا بیانی از قضیه ی دیورژانس است.

ادامه دارد...

منابع:

Arfken, G. "Divergence, " §1.7 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 37-42, 1985.

Kaplan, W. "The Divergence of a Vector Field." §3.4 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 185-186, 1991.

Morse, P. M. and Feshbach, H. "The Divergence." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 34-37, 1953.

Schey, H. M. Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, 3rd ed. New York: W. W. Norton, 1997

قرارداد جمع

mathnews — Fri, 25 Jan 2008 11:15:18 GMT

قرار داد جمع اینیشتین چیست؟

بر طبق اين قرارداد نماد سيگما (علامت جمع در رياضيات) براي شاخص هاي تكراري كه تلويحاً عمل جمع زني روي آنها انجام مي شود، حذف مي شود. اين قرار داد به صورت جالب توجهي از حجم معادلات شامل تانسورها كاسته و آنها را ساده و كوتاه مي كند. براي مثال با استفاده از اين قرار داد داريم

اين قرارداد اولين بار توسط اينيشتين معرفي شد (1916, sec. 5). او من باب شوخي به يكي از دوستانش گفت: "من كشف بزرگي را در رياضيات انجام دادم؛ من هميشه از نوشتن نماد جمع خودداري مي كردم، چون نماد جمع همواره بايستي دوباره براي شاخصي كه تكرار مي شد ابقا شود..."

(Kollros 1956; Pais 1982, p. 216).

منابع:

Einstein, A. ""Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie." Ann. der Physik 49, 769-822, 1916.

Kollros, L. "Albert Einstein en Suisse Souvenirs." Helv. Phys. Acta. Supp. 4, 271-281, 1956.

Pais, A. Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. New York: Oxford University Press, p. 216, 1982

فن وردشی ریتز (Ritz Variational Technique)

mathnews — Fri, 25 Jan 2008 10:52:18 GMT

روشی برای محاسبه ی ویژه توابع (eigenfunctions) ویژه مقدارها (eigenvalues) است. برای توصیف با استناد بر

که برای داشتن ارزش ثابت (*) الزامی است، مشروط به شرط بهنجارش

و شرایط مرزی

که این در نهایت به معادله ی استروم-لیوویل (Sturm-Liouville equation) منجر خواهد شد

که مقادیر ثابت را بدست می دهد

به طوریکه در آن

و ویژه مقادیر (eigenvalues) متناظر با ویژه تابع هستند.

پیوست*:

ارزش ثابت یا مقدار ثابت به مقداری اطلاق می شود که تابع در یک نقطه مانا دارد.

این مقدار می تواند یک نقطه ی عطف (inflection point)، یک نقطه ی مینیمم (minimum) و یک ماکزیمم (maximum) باشد. نقاطی که در آنها همواره مشتق تابع صفر می گردد.

منابع:

Arfken, G. "Rayleigh-Ritz Variational Technique." §17.8 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 957-961, 1985.

Rayleigh, J. W. "In Finding the Correction for the Open End of an Organ-Pipe." Phil. Trans. 161, 77, 1870.

Ritz, W. "Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik." J. reine angew. Math. 135, 1-61, 1908.

Whittaker, E. T. and Robinson, G. "The Rayleigh-Ritz Method for Minimum Problems." §184 in The Calculus of Observations: A Treatise on Numerical Mathematics, 4th ed. New York: Dover, pp. 381-382, 1967

چند تانسور مهم

mathnews — Thu, 24 Jan 2008 10:22:18 GMT

تانسور ریچی

تانسور ریچی یا به صورت مشابه تانسور انحنای ریچی به صورت زیر تعریف می شود

که تانسور ریمان است.

به تعبیر هندسی این تانسور در واقع نرخ رشد حجم توپی وارهای متریکی را در یک چندگونا (در اصطلاح ریاضی آن را خمینه می نامند.) کنترل می کند.

انحنای اسکالر

انحنای اسکالر همچنین با نام اسکالر انحنا نیز شناخته می شود، به این صورت معرفی می شود

که تانسور متریک پادوردا و تانسور ریچی است.

تانسور اینیشتین

این تانسور عبارت است از

که تانسور انحنای ریچی و انحنای اسکالر یا نرده ای و بالاخره تانسور متریک را نشان می دهد. این تانسور تحت عمل دیورژانس هموردا همواره برابر صفر است. یعنی:

که نماد ; بر مشتق هموردا (Covariant Derivative) دلالت دارد.

منابع:

Arfken, G. "Divergence, ." §1.7 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 37-42, 1985

Misner, C. W.; Thorne, K. S.; and Wheeler, J. A. Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman, 1973.

Parker, L. and Christensen, S. M. "The Ricci, Einstein, and Weyl Tensors." §2.7.1 in MathTensor: A System for Doing Tensor Analysis by Computer. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 30-32, 1994.

Wald, R. M. General Relativity. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1984.

تانسور ریمان

mathnews — Fri, 11 Jan 2008 22:04:18 GMT

تانسور ریمان (Riemann tensor) كه همچنين با نام تانسور انحناي ريمان - كريستوفل يا تانسور انحناي ريمان نيز مشهور است، يك تانسور 4 شاخصي بسيار مهم و كاربردي در نسبيت عام است. ديگر تانسورهاي نسبيتي مفيد مانند تانسور انحناي ريچي (Ricci curvature tensor) و تانسور انحناي اسكالر نيز از تانسور نشئت مي گيرند:

كه در آن ضرايب ارتباط (connection coefficients) و علامت كاما "," مشتق معمولی را نسبت به شاخص بعد از خودش نشان می دهد. در یک بعد داریم . در چهار بعد این تانسور ۲۵۶ مولفه دارد. با استفاده از روابط تقارنی،

تعداد مولفه های مستقل به ۳۶ تا کاهش می یابد. با تحمیل شرط

تعداد مختصه ها به ۲۱ عدد تقلیل می یابد. درنهایت با استفاده از

تعداد مولفه های مستقل ۲۰ تا خواهند شد.

به طور کلی تعداد مولفه های مستقل در n بعد توسط رابطه ی زیر داده می شود:

اعداد هرمی چهار - بعدی (four-dimensional pyramidal numbers) از کوچک به ترتیب عبارتند از ۰ و ۱و ۶و ۲۰و ۵۰و ۱۰۵و ۱۹۶و ۳۳۶و ۵۴۰و ... . تعداد اسکالرهای (scalars) ممکن که می توان آنها را از و ساخت، برابرند با

2 " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/RiemannTensor/NumberedEquation6.gif" width=289 border=0>

در جملات تانسور ژاکوبی (Jacobi tensor)

فرض می کنیم که

که کمیت نماد کریستوفل نوع دوم (Christoffel symbol of the second kind) است. بنابراین

به ساده ترین شکل اش در N بعد تجزیه می شود:

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.

Misner, C. W.; Thorne, K. S.; and Wheeler, J. A. "Geodesic Deviation and the Riemann Curvature Tensor." §8.7 in Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman, pp. 218-224, 1973.

Parker, L. and Christensen, S. M. "The Riemann Curvature Tensor." §2.7 in MathTensor: A System for Doing Tensor Analysis by Computer. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 28-32, 1994.

Schutz, B. F. "Riemann Tensor" and "Geometric Interpretation of the Riemann Tensor." §6.8 in A First Course in General Relativity. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 210-214, 1985.

Schmutzer, E. Relativistische Physik (Klassische Theorie). Leipzig, Germany: Akademische Verlagsgesellschaft, 1968.

Sloane, N. J. A. Sequences A002415/M4135 and A050297 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Weinberg, S. "Definition of the Curvature Tensor" and "Uniqueness of the Curvature Tensor." §6.1 and 6.2 in Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. New York: Wiley, pp. 131-135, 1972.

تانسور آفینی (Affine tensor)

mathnews — Thu, 20 Sep 2007 21:10:18 GMT

تانسور آفینی (مستوی)، تانسوری متناظر با تبدیلات مختصات خطی است،، که در آن دترمینان مخالف با صفر است. این تبدیل از دستگاه مختصات راست گوشه به دستگاه مختصات دارای محورهای مایل (oblique axes) صورت می پذیرد. در این روش تانسور آفینی می تواند در قالب یک تانسور دکارتی (*) ظاهر شود.

این تانسورها دارای ژاکوبی های زیر هستند:

قوانین تبدیل تانسورهای (مماس) پادوردای آفینی عبارت اند از

و به همین ترتیب ادامه می یابد. قوانین تبدیل تانسورهای (هم بردار) هموردای آفینی نیز عبارت اند از

و همین روال ادامه خواهد یافت.

قوانین تبدیل تانسورهای مختلط ـ شاخص آفینی نیز به صورت زیر هستند:

(*) تانسور دکارتی: تانسوری در فضای ۳ بعدی اقلیدسی است. برعکس تانسورهای عمومی، هیچ تمایزی میان شاخص های هموردا و پادوردای تانسورهای دکارتی وجود ندارد. با این حال در فضاهای نااقلیدسی (مانند فضاهای لورنتزی)، تانسورها به این تمایز نیازمندند.

منابع:

Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 580, 1980.

Kay, D. Schaum's Outline of Tensor Calculus. New York: McGraw-Hill, 1988.

Lovelock, D. and Rund, H. Tensors, Differential Forms, and Variational Principles. New York: Dover, 1989