http://mathnews.blogfa.com/ ریاضیات عالی و معاصر fa blogfa.com Sat, 04 Apr 2009 15:36:18 GMT http://mathnews.blogfa.com/post-72.aspx <P align=justify>جال مشتق گیری را در نظر می گیریم. فرض کنیم  <IMG class=inlineformula height=14 alt=f(t) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline66.gif" width=23 border=0>،  <IMG class=inlineformula height=14 alt=n-1 src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline67.gif" width=29 border=0> بار در <IMG class=inlineformula height=14 alt=[0,infty) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline68.gif" width=36 border=0> مشتق پذیر باشد. اگر  <IMG class=inlineformula height=16 alt="|f(t)|<=Me^(at)" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline69.gif" width=77 border=0>، آنگاه </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=21 alt=" L_t[f^((n))(t)](s)=s^nL_t[f(t)]-s^(n-1)f(0)-s^(n-2)f^'(0)-...-f^((n-1))(0). " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/NumberedEquation8.gif" width=392 border=0>         </P> <P align=justify>این را میتوان به کمک انتگرال جزء به جزء آشکار ساخت:</P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt="lim_(a->infty)int_0^ae^(-st)f^'(t)dt" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline72.gif" width=112 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline71.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=16 alt="L_t[f^'(t)](s)" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline70.gif" width=70 border=0>          </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt="lim_(a->infty){[e^(-st)f(t)]_0^a+sint_0^ae^(-st)f(t)dt}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline75.gif" width=211 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline74.gif" width=9 border=0>                               </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt="lim_(a->infty)[e^(-sa)f(a)-f(0)+sint_0^ae^(-st)f(t)dt]" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline78.gif" width=235 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline79.gif" width=9 border=0>                               </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=16 alt=sL_t[f(t)]-f(0). src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline81.gif" width=103 border=0>  <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline80.gif" width=9 border=0>                               </P> <P align=justify>ادامه ی این روش به مشتقات مرتبه ی بالاتر نتیجه می دهد:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=19 alt=" L_t[f^('')(t)](s)=s^2L_t[f(t)](s)-sf(0)-f^'(0). " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/NumberedEquation9.gif" width=269 border=0>            </P> <P align=justify>ار این خاصیت تبدیل لاپلاس می توان در تبدیل معادلات دیفرانسیل به معادلاتی جبری استفاده کرد که به حساب هوی ساید (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/HeavisideCalculus.html">Heaviside calculus</A>) معروف است. آنگاه با انجام تبدیل وارون می توان به پاسخ دست یافت. به عنوان مثال، بکار بردن تبدیل لاپلاس برای معادله ی دیفرانسیلی </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=16 alt=" f^('')(t)+a_1f^'(t)+a_0f(t)=0 " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/NumberedEquation10.gif" width=167 border=0>            </P> <P align=justify>خواهیم داشت:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=21 alt=" {s^2L_t[f(t)](s)-sf(0)-f^'(0)}+a_1{sL_t[f(t)](s)-f(0)}+a_0L_t[f(t)](s)=0 " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/NumberedEquation11.gif" width=466 border=0>        </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=21 alt=" L_t[f(t)](s)(s^2+a_1s+a_0)-sf(0)-f^'(0)-a_1f(0)=0, " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/NumberedEquation12.gif" width=331 border=0>        </P> <P align=justify>که آخری را می توان به شکل زیر بازنویسی کرد:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=42 alt=" L_t[f(t)](s)=(sf(0)+f^'(0)+a_1f(0))/(s^2+a_1s+a_0). " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/NumberedEquation13.gif" width=228 border=0>        </P> <P align=justify>اگر تبدیل وارون لاپلاس را بتوان بر این معادله اعمال کرد، آن گاه معادله ی دیفرانسیل اصلی حل می شود.</P> <P align=justify>تبدیل لاپلاس در چند خاصیت مهم صدق می کند. نمایی کردن (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/ExponentialFunction.html">exponentiation</A>) را در نظر بگیرید. اگر<IMG alt="" hspace=0 src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline86.gif" align=baseline border=0> برای <IMG alt="" hspace=0 src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline87.gif" align=baseline border=0> (یعنی <IMG alt="" hspace=0 src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline88.gif" align=baseline border=0> تبدیل لاپلاس <IMG class=inlineformula height=14 alt=f src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline85.gif" width=8 border=0> باشد)، آن گاه<IMG alt="" hspace=0 src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline90.gif" align=baseline border=0> برای <IMG class=inlineformula height=14 alt="s>a+alpha" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline87.gif" width=50 border=0> صحیح است. زیرا</P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt=int_0^inftyfe^(-(s-a)t)dt src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline90.gif" width=90 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline99.gif" width=9 border=0>       <IMG class=displayformula height=14 alt=F(s-a) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline88.gif" width=47 border=0>            </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt=int_0^infty[f(t)e^(at)]e^(-st)dt src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline93.gif" width=118 border=0>    <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline99.gif" width=9 border=0>                               </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=20 alt=L_t[e^(at)f(t)](s). src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline100.gif" width=90 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline99.gif" width=9 border=0>                              </P> <P align=justify>همچنین تبدیل لاپلاس خواص زیبایی را برای انتگرال های توابع دارد. اگر  <IMG class=inlineformula height=14 alt=f(t) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline101.gif" width=23 border=0> تکه ای پیوسته (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/PiecewiseContinuous.html">piecewise continuous</A>) بوده و <IMG class=inlineformula height=16 alt="|f(t)|<=Me^(at)" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline102.gif" width=77 border=0>، در آن صورت</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=38 alt=" L_t[int_0^tf(t^')dt^']=1/sL_t[f(t)](s). " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/NumberedEquation14.gif" width=195 border=0>       </P> <P align=justify>مطالب مرتبط: <A href="http://mathnews.blogfa.com/post-70.aspx">تبدیلات لاپلاس (۱)</A></P> <P align=justify>منابع: </P> <P class=Reference align=left>Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Laplace Transforms." Ch. 29 in <I>Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing.</I> New York: Dover, pp. 1019-1030, 1972. </P> <P class=Reference align=left>Arfken, G. <I>Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed.</I> Orlando, FL: Academic Press, pp. 824-863, 1985. </P> <P class=Reference align=left>Churchill, R. V. <I>Operational Mathematics.</I> New York: McGraw-Hill, 1958. </P> <P class=Reference align=left>Doetsch, G. <I>Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation.</I> Berlin: Springer-Verlag, 1974. </P> <P class=Reference align=left>Franklin, P. <I>An Introduction to Fourier Methods and the Laplace Transformation.</I> New York: Dover, 1958. </P> <P class=Reference align=left>Graf, U. <SPAN class=Reference>Applied Laplace Transforms and <I>z</I>-Transforms for Scientists and Engineers: A Computational Approach using <I>a</I> <I>Mathematica</I> Package.</SPAN> Basel, Switzerland: Birkhäuser, 2004. </P> <P class=Reference align=left>Jaeger, J. C. and Newstead, G. H. <I>An Introduction to the Laplace Transformation with Engineering Applications.</I> London: Methuen, 1949. </P> <P class=Reference align=left>Henrici, P. <I>Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 2: Special Functions, Integral Transforms, Asymptotics, Continued Fractions.</I> New York: Wiley, pp. 322-350, 1991. </P> <P class=Reference align=left>Krantz, S. G. "The Laplace Transform." §15.3 in <I>Handbook of Complex Variables.</I> Boston, MA: Birkhäuser, pp. 212-214, 1999. </P> <P class=Reference align=left>Morse, P. M. and Feshbach, H. <I>Methods of Theoretical Physics, Part I.</I> New York: McGraw-Hill, pp. 467-469, 1953. </P> <P class=Reference align=left>Oberhettinger, F. <I>Tables of Laplace Transforms.</I> New York: Springer-Verlag, 1973. </P> <P class=Reference align=left>Oppenheim, A. V.; Willsky, A. S.; and Nawab, S. H. <I>Signals and Systems, 2nd ed.</I> Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1997. </P> <P class=Reference align=left>Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. <I>Integrals and Series, Vol. 4: Direct Laplace Transforms.</I> New York: Gordon and Breach, 1992. </P> <P class=Reference align=left>Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. <I>Integrals and Series, Vol. 5: Inverse Laplace Transforms.</I> New York: Gordon and Breach, 1992. </P> <P class=Reference align=left>Spiegel, M. R. <I>Theory and Problems of Laplace Transforms.</I> New York: McGraw-Hill, 1965. </P> <P class=Reference align=left>Weisstein, E. W. "Books about Laplace Transforms." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/LaplaceTransforms.html. </P> <P class=Reference align=left>Widder, D. V. <I>The Laplace Transform.</I> Princeton, NJ: Princeton University Press, 1941. </P> <P class=Reference align=left>Zwillinger, D. (Ed.). <I>CRC Standard Mathematical Tables and Formulae.</I> Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 231 and 543, 1995.</P> <P dir=rtl align=left><FONT color=#ff0000>Dated 04/04/2009</FONT> </P><!-- End References --><!-- Begin CiteAs --> Sat, 04 Apr 2009 15:36:18 GMT http://commenting.blogfa.com/?blogid=mathnews&postid=72 mathnews http://mathnews.blogfa.com/post-72.aspx http://mathnews.blogfa.com/post-71.aspx <FONT lang=JA><FONT lang=JA> <P dir=ltr align=justify><FONT face="Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif">Abstract. Here we prove a theorem for the Legendre transformatiom of some specific derivative-like sequence as is chosen to be the argument of the Legendre transform \(f^{\star}\) of a function \(f\) using  theory of convex functions and the mean value theorem in one-dimensional space and with the help of some program that is established to provide some conditions of the local convexity that may be incompatible with the existence of the Legendre transformation. Also the useful results of this theorem together with some examples will be given. The results aim at providing a new set of the Legendre transformations that is generated by a given convex function and the change in the variable of function which is regarded as an interval length. This generation is actually based on an appropriate modification of variables. </FONT></P> <P dir=ltr align=justify><FONT face=Verdana><STRONG> Key words: </STRONG><EM>Legendre transformation, Local convexity, quasiconvexity, pseudoconvexity,  pseudo-mean value. </EM></FONT></P> <P dir=ltr align=justify><FONT face="Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif">Author: Alireza Behtash</FONT><FONT face=Verdana><FONT lang=JA face=cmr8 size=1><FONT lang=JA face=cmr8 size=1></P></FONT></FONT></FONT> <P dir=rtl align=justify><FONT face=Verdana></FONT>در مقاله ی زیر که شما خلاصه ی آن را در بالا می بینید، من ابتدا پس از توضیحاتی راجع به تبدیلات لژاندر یک قضیه ی ساده در این زمینه را اثبات کرده ام که می توان آنرا تعمیم نامعادله ی یانگ روی بازه های بسته پنداشت که این اجازه را می دهد تا بتوان نوع جدیدی از تبدیلات لژاندر را تولید کرد که در آنها نیازی به ماکزیمم کزدن تبدیل لژاندر نیست. این اثبات به کمک قضیه مقدار میانی و شرط محدب بودن تابع صورت می پذیرد. همچنین در بخش دوم، به مرور یک برنامه ی جامع پیرامون شرایط محدب و شبه محدب بودن یک تابع بر روی یک بازه بسته می پردازیم که در آن از مفهوم مقدار میانی بهره برده ایم. این برنامه شامل آن دسته از توابع <EM>مطلقاْ پیوسته</EM> می شود که دستکم سه بار مشتق پذیرند و یا بر روی بازه ی بسته ای از دامنه مشتق پذیر نیستند (یا به اصطلاح تکه ای مشتق پذیرند - piecewise differentiable). در بخش آخر نیز به بررسی نتایج قضیه و ذکر یک مثال از سیطره ی فیزیک در رابطه با این نتایج بسنده کرده ایم. </P> <P dir=rtl align=left>Download the article here: <A href="http://arbehtash.persiangig.com/document/Arbehtash_AIFTLT_March_08.PDF">An Inequality for the Legendre Transformation</A></P></FONT></FONT> Sat, 07 Mar 2009 22:10:18 GMT http://commenting.blogfa.com/?blogid=mathnews&postid=71 mathnews http://mathnews.blogfa.com/post-71.aspx http://mathnews.blogfa.com/post-70.aspx <P align=justify>تبدیل لاپلاس (Laplace transform) یک تبدیل انتگرالی (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/IntegralTransform.html">integral transform</A>) است که شاید نسبت به کارکرد تبدیل فوریه (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html">Fourier transform</A>) در حل مسائل فیزیکی در رتبه ی دوم قرار دارد. تبدیل لاپلاس به ویژه در حل معادلات دیفرانسیل معمولی (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquation.html">ordinary differential equations</A>) که در تجزیه و تحلیل مدارهای الکترونیکی مطرح می شوند، دارای کاربرد فراوان است.</P> <P align=justify>تبدیل لاپلاس (یک طرفه)  <IMG class=inlineformula height=14 alt=L src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline1.gif" width=10 border=0>، که نبایستی آن را با مشتق لی (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/LieDerivative.html">Lie derivative</A>) که آن را هم معمولاْ با <IMG class=inlineformula height=14 alt=L src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline1.gif" width=10 border=0> نشان می دهند اشتباه گرفته شود، به صورت زیر تعریف می شود:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=36 alt=" L_t[f(t)](s)=int_0^inftyf(t)e^(-st)dt, " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/NumberedEquation1.gif" width=173 border=0>             </P> <P align=justify>که  <IMG class=inlineformula height=14 alt=f(t) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline3.gif" width=23 border=0> برای <IMG class=inlineformula height=14 alt="t>=0" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline4.gif" width=26 border=0> تعریف می شود (Abramowitz and Stegun 1972). این تبدیل عموماً آن چیزی است که با عنوان تبدیل لاپلاس شناخته می شود، اگر چه یک تبدیل لاپلاس دوطرفه (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/BilateralLaplaceTransform.html">bilateral Laplace transform</A>) هم داریم که معمولاً به صورت زیر تعریف می شود:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=35 alt=" L_t^((2))[f(t)](s)=int_(-infty)^inftyf(t)e^(-st)dt " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/NumberedEquation2.gif" width=179 border=0>           </P>(Oppenheim <I>et al. </I>1997). <P align=justify>تبدیل لاپلاس معکوس به انتگرال برومویچ (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/BromwichIntegral.html">Bromwich integral</A>) معروف است و گاهاً با عنوان انتگرال ملین-فوریه (Fourier-Mellin) نیز شناخته می شود. </P> <P align=justify>جدول زیر، تعدادی از تبدیلات مهم لاپلاس یک طرفه را نشان می دهد:</P> <P align=center> <TABLE class=mathworldtable align=center> <TBODY> <TR> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt=f src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline6.gif" width=8 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=16 alt=L_t[f(t)](s) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline7.gif" width=66 border=0></TD> <TD align=left> <P align=center><FONT size=2><STRONG>شرایط</STRONG></FONT></P></TD></TR> <TR> <TD align=left>1</TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=24 alt=1/s src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline8.gif" width=10 border=0></TD> <TD align=left></TD> <TR> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt=t src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline9.gif" width=4 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=26 alt=1/(s^2) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline10.gif" width=15 border=0></TD> <TD align=left></TD> <TR> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt=t^n src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline11.gif" width=10 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=26 alt=(n!)/(s^(n+1)) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline12.gif" width=26 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt="n in Z>=0" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline13.gif" width=55 border=0></TD></TR> <TR> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt=t^a src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline14.gif" width=10 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=26 alt=(Gamma(a+1))/(s^(a+1)) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline15.gif" width=35 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt="R[a]>-1" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline16.gif" width=62 border=0></TD></TR> <TR> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=16 alt=e^(at) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline17.gif" width=17 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=24 alt=1/(s-a) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline18.gif" width=20 border=0></TD> <TD align=left></TD> <TR> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt=cos(omegat) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline19.gif" width=47 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=24 alt=s/(s^2+omega^2) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline20.gif" width=34 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt="omega in R" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline21.gif" width=35 border=0></TD></TR> <TR> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt=sin(omegat) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline22.gif" width=44 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=24 alt=a/(s^2+omega^2) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline23.gif" width=34 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt="s>|I[omega]|" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline24.gif" width=53 border=0></TD></TR> <TR> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt=cosh(omegat) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline25.gif" width=54 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=24 alt=s/(s^2-omega^2) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline26.gif" width=34 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt="s>|R[omega]|" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline27.gif" width=59 border=0></TD></TR> <TR> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt=sinh(omegat) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline28.gif" width=51 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=24 alt=a/(s^2-omega^2) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline29.gif" width=34 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt="s>|I[omega]|" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline30.gif" width=53 border=0></TD></TR> <TR> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=16 alt=e^(at)sin(bt) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline31.gif" width=61 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=27 alt=b/((s-a)^2+b^2) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline32.gif" width=49 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt="s>a+|I[b]|" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline33.gif" width=72 border=0></TD></TR> <TR> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=16 alt=e^(at)cos(bt) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline34.gif" width=64 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=25 alt=(s-a)/((s-a)^2+b^2) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline35.gif" width=49 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt="b in R" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline36.gif" width=32 border=0></TD></TR> <TR> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt=delta(t-c) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline37.gif" width=43 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt=e^(-cs) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline38.gif" width=23 border=0></TD> <TD align=left></TD> <TR> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=16 alt=H_c(t) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline39.gif" width=30 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=62 alt="{1/s for c<=0; (e^(-cs))/s for c>0" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline40.gif" width=109 border=0></TD> <TD align=left></TD> <TR> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=16 alt=J_0(t) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline41.gif" width=27 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=31 alt=1/(sqrt(s^2+1)) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline42.gif" width=39 border=0></TD> <TD align=left></TD> <TR> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=16 alt=J_n(at) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline43.gif" width=37 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=48 alt=((sqrt(s^2+a^2)-s)^n)/(a^nsqrt(s^2+a^2)) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline44.gif" width=69 border=0></TD> <TD align=left><IMG class=inlineformula height=14 alt="n in Z>=0" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline45.gif" width=55 border=0></TD></TR></TBODY></TABLE></P> <P align=justify> در جدول بالا،  <IMG class=inlineformula height=16 alt=J_0(t) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline46.gif" width=27 border=0> تابع بسل نوع اول (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheFirstKind.html">Bessel function of the first kind</A>) مرتبه ی صفرام، <IMG class=inlineformula height=14 alt=delta(t) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline47.gif" width=22 border=0> تابع دلتا (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html">delta function</A>) و <IMG class=inlineformula height=16 alt=H_c(t) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline48.gif" width=30 border=0> تابع پله ی هوی ساید (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/HeavisideStepFunction.html">Heaviside step function</A>) هستند.</P> <P align=justify>تبدیل لاپلاس خواص بسیار مهمی دارد. قضیه ی وجود تبدیل لاپلاس بیان می کند که اگر <IMG class=inlineformula height=14 alt=f(t) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline49.gif" width=23 border=0> روی هر بازه ی متناهی در <IMG class=inlineformula height=14 alt=[0,infty) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline50.gif" width=36 border=0> تکه ای پیوسته <FONT color=#ff0000>*</FONT> باشد و برای همه ی <IMG class=inlineformula height=14 alt="t in [0,infty)" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline51.gif" width=55 border=0> در</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=16 alt=" |f(t)|<=Me^(at) " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/NumberedEquation3.gif" width=77 border=0>                 </P> <P align=justify>صدق کند، آن گاه  <IMG class=inlineformula height=16 alt=L_t[f(t)](s) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline52.gif" width=66 border=0> برای همه ی <IMG class=inlineformula height=14 alt="s>a" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline53.gif" width=27 border=0> موجود است. تبدیل لاپلاس یکتا (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/Unique.html">unique</A>) است، به این معنی که با داشتن دو تابع  <IMG class=inlineformula height=14 alt=F_1(t) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline54.gif" width=30 border=0> و  <IMG class=inlineformula height=14 alt=F_2(t) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline55.gif" width=30 border=0> با تبدیل یکسان، داریم:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=16 alt=" L_t[F_1(t)](s)=L_t[F_2(t)](s)=f(s), " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/NumberedEquation4.gif" width=206 border=0>        </P> <P align=justify>آن گاه قضیه ی لرچ (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/LerchsTheorem.html">Lerch's theorem</A>) تایید می کند که انتگرال </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=36 alt=" int_0^aN(t)dt=0 " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/NumberedEquation5.gif" width=86 border=0>           </P> <P align=justify>برای همه ی <IMG class=inlineformula height=14 alt="a>0" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline56.gif" width=29 border=0> برای یک تابع صفر (پوچ - <A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/NullFunction.html">null function</A>) با معادله ی </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=14 alt=" N(t)=F_1(t)-F_2(t). " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/NumberedEquation6.gif" width=119 border=0>                   </P> <P align=justify>صفر می شود. تبدیل لاپلاس خطی است، زیرا</P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt=int_0^infty[af(t)+bg(t)]e^(-st)dt src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline59.gif" width=155 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline58.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=16 alt=L_t[af(t)+bg(t)] src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline57.gif" width=107 border=0>          </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt=aint_0^inftyfe^(-st)dt+bint_0^inftyge^(-st)dt src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline62.gif" width=180 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline61.gif" width=9 border=0>                                        </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=16 alt=aL_t[f(t)]+bL_t[g(t)]. src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline65.gif" width=138 border=0>    <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/Inline64.gif" width=9 border=0>                                        </P> <P align=justify>تبدیل لاپلاس کانولوشن (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/Convolution.html">convolution</A>) به صورت زیر تعریف می شود:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=39 alt=" L_t[f(t)*g(t)]=L_t[f(t)]L_t[g(t)] L_t^(-1)[FG]=L_t^(-1)[F]*L_t^(-1)[G]. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplaceTransform/NumberedEquation7.gif" width=205 border=0>                  </P> <P align=justify>مطالب مرتبط: <A href="http://mathnews.blogfa.com/post-72.aspx">تبدیلات لاپلاس (۲)</A></P> <P align=justify>منابع:</P> <P class=Reference align=left>Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Laplace Transforms." Ch. 29 in <I>Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing.</I> New York: Dover, pp. 1019-1030, 1972. </P> <P class=Reference align=left>Arfken, G. <I>Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed.</I> Orlando, FL: Academic Press, pp. 824-863, 1985. </P> <P class=Reference align=left>Churchill, R. V. <I>Operational Mathematics.</I> New York: McGraw-Hill, 1958. </P> <P class=Reference align=left>Doetsch, G. <I>Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation.</I> Berlin: Springer-Verlag, 1974. </P> <P class=Reference align=left>Franklin, P. <I>An Introduction to Fourier Methods and the Laplace Transformation.</I> New York: Dover, 1958. </P> <P class=Reference align=left>Graf, U. <SPAN class=Reference>Applied Laplace Transforms and <I>z</I>-Transforms for Scientists and Engineers: A Computational Approach using <I>a</I> <I>Mathematica</I> Package.</SPAN> Basel, Switzerland: Birkhäuser, 2004. </P> <P class=Reference align=left>Jaeger, J. C. and Newstead, G. H. <I>An Introduction to the Laplace Transformation with Engineering Applications.</I> London: Methuen, 1949. </P> <P class=Reference align=left>Henrici, P. <I>Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 2: Special Functions, Integral Transforms, Asymptotics, Continued Fractions.</I> New York: Wiley, pp. 322-350, 1991. </P> <P class=Reference align=left>Krantz, S. G. "The Laplace Transform." §15.3 in <I>Handbook of Complex Variables.</I> Boston, MA: Birkhäuser, pp. 212-214, 1999. </P> <P class=Reference align=left>Morse, P. M. and Feshbach, H. <I>Methods of Theoretical Physics, Part I.</I> New York: McGraw-Hill, pp. 467-469, 1953. </P> <P class=Reference align=left>Oberhettinger, F. <I>Tables of Laplace Transforms.</I> New York: Springer-Verlag, 1973. </P> <P class=Reference align=left>Oppenheim, A. V.; Willsky, A. S.; and Nawab, S. H. <I>Signals and Systems, 2nd ed.</I> Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1997. </P> <P class=Reference align=left>Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. <I>Integrals and Series, Vol. 4: Direct Laplace Transforms.</I> New York: Gordon and Breach, 1992. </P> <P class=Reference align=left>Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. <I>Integrals and Series, Vol. 5: Inverse Laplace Transforms.</I> New York: Gordon and Breach, 1992. </P> <P class=Reference align=left>Spiegel, M. R. <I>Theory and Problems of Laplace Transforms.</I> New York: McGraw-Hill, 1965. </P> <P class=Reference align=left>Weisstein, E. W. "Books about Laplace Transforms." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/LaplaceTransforms.html. </P> <P class=Reference align=left>Widder, D. V. <I>The Laplace Transform.</I> Princeton, NJ: Princeton University Press, 1941. </P> <P class=Reference align=left>Zwillinger, D. (Ed.). <I>CRC Standard Mathematical Tables and Formulae.</I> Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 231 and 543, 1995</P> <P align=justify> <HR> <P></P> <P align=justify><FONT color=#ff0000>* </FONT><FONT color=#000000>به تابع یا خمی تکه ای پیوسته می گویند که روی همه ولی تعداد متناهی از نقاط پیوسته است، به طوری که در آن ها گاهاً شرایط تنظیم کننده مورد نیاز است.</FONT></P> Sat, 31 Jan 2009 18:45:18 GMT http://commenting.blogfa.com/?blogid=mathnews&postid=70 mathnews http://mathnews.blogfa.com/post-70.aspx http://mathnews.blogfa.com/post-69.aspx <P align=center><IMG height=253 alt=GammaFunction src="http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/GammaFunction_1000.gif" width=410> </P> <P align=justify>مسئله یافتن تابعی که مقادیرش به ازای آرگومان های صحیح و مثبت فاکتوریل های ۱=!۱و ۲=!۲ و ۶=!۳ و ... و 1.2.3...n!= n باشند توسط اویلر (Euler) به کمک انتگرال ناسره حل شد. </P> <P align=justify>تابع گاما (کامل) <IMG class=inlineformula height=14 alt=Gamma(n) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline1.gif" width=26 border=0> به صورت بسط فاکتوریل (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html">factorial</A>) به آرگومان های عددی مختلط و حقیقی است. این تابع با معادله ی زیر به فاکتوریل مرتبط می شود:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=14 alt=" Gamma(n)=(n-1)!, " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/NumberedEquation1.gif" width=90 border=0>                 </P> <P align=justify>که این نماد مرسوم با توجه به گفته ی لژاندر به طور مختصری مشکل تر از نماد ساده تر معرفی شده توسط گائوس <IMG class=inlineformula height=14 alt=Pi(n)=n! src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline2.gif" width=58 border=0> است (Gauss 1812; Edwards 2001, p. 8). </P> <P align=justify>این تابع در همه جا به جز در ..., <IMG class=inlineformula height=14 alt=-1 src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline4.gif" width=17 border=0>, <IMG class=inlineformula height=14 alt=-2 src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline5.gif" width=17 border=0><IMG class=inlineformula height=14 alt=z=0 src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline3.gif" width=30 border=0> تحلیلی (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/AnalyticFunction.html">analytic</A>) است، و باقیمانده ی آن در <IMG class=inlineformula height=14 alt=z=-k src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline6.gif" width=39 border=0> عبارت است از </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=40 alt=" Res_(z=-k)Gamma(z)=((-1)^k)/(k!). " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/NumberedEquation2.gif" width=108 border=0>                </P> <P align=justify>هیچ نقطه ی  <IMG class=inlineformula height=14 alt=z src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline7.gif" width=6 border=0> ای را نمی توان یافت که در آن <IMG class=inlineformula height=14 alt=Gamma(z)=0 src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline8.gif" width=49 border=0>.</P> <P align=justify>در استفاده ی مرسوم برای نمایش سری توانی از یک تابع گاما، یک قرارداد نمادگذ‌اری وجود دارد. در حالیکه مولفانی همچون (Watson (1939 بر استفاده از <IMG class=inlineformula height=14 alt=Gamma^n(z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline9.gif" width=31 border=0> (یعنی بکارگیری از یک قرارداد تابع مثلثاتی-گون) تاکید دارند، طبق سنت نمادگذاری <IMG class=inlineformula height=14 alt=[Gamma(z)]^n src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline10.gif" width=41 border=0> استفاده می شود.</P> <P align=justify>تابع گاما را می توان به صورت یک انتگرال معین (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/DefiniteIntegral.html">definite integral</A>) برای <IMG class=inlineformula height=14 alt="R[z]>0" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline11.gif" width=51 border=0> تعریف کرد (شکل تعریف شده توسط اویلر)</P> <P align=left>               <FONT color=#ff0000> (*)</FONT>           <IMG class=displayformula height=36 alt=int_0^inftyt^(z-1)e^(-t)dt src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline14.gif" width=79 border=0>    <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline13.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt=Gamma(z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline12.gif" width=25 border=0>                    </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt=2int_0^inftye^(-t^2)t^(2z-1)dt, src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline17.gif" width=106 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline16.gif" width=9 border=0>                            </P> <P align=justify>یا</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=39 alt=" Gamma(z)=int_0^1[ln(1/t)]^(z-1)dt. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/NumberedEquation3.gif" width=144 border=0>                      </P> <P align=justify>تابع گامای کامل را می توان همچنین به تابع گامای ناتمام (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/IncompleteGammaFunction.html">incomplete gamma function</A>) بالایی <IMG class=inlineformula height=14 alt=Gamma(a,x) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline19.gif" width=41 border=0> و تابع گامای ناتمام پایینی <IMG class=inlineformula height=14 alt=gamma(a,x) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline20.gif" width=40 border=0> بسط داد.</P> <P align=center><IMG alt="" hspace=0 src="http://mathworld.wolfram.com/images/interactive/GammaReImAbs.gif" border=0></P> <P align=justify>نمودار قسمت های حقیقی و موهومی  <IMG class=inlineformula height=14 alt=Gamma(z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline21.gif" width=25 border=0> در صفحه ی مختلط در شکل بالا نشان داده شده است.</P> <P align=justify>با انتگرال گیری جز به جز از معادله <FONT color=#ff0000>(*) </FONT><FONT color=#000000>برای یک آرگومان حقیقی، مشاهده می شود که</FONT></P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt=int_0^inftyt^(x-1)e^(-t)dt src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline24.gif" width=80 border=0>      <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline23.gif" width=9 border=0>     <IMG class=displayformula height=14 alt=Gamma(x) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline22.gif" width=26 border=0>                   </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt=[-t^(x-1)e^(-t)]_0^infty+int_0^infty(x-1)t^(x-2)e^(-t)dt src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline27.gif" width=204 border=0>      <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline26.gif" width=9 border=0>                              </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt=(x-1)int_0^inftyt^(x-2)e^(-t)dt src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline30.gif" width=120 border=0>     <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline29.gif" width=9 border=0>                             </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=14 alt=(x-1)Gamma(x-1). src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline33.gif" width=92 border=0>     <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline32.gif" width=9 border=0>                              </P> <P align=justify>چنانچه <IMG class=inlineformula height=14 alt=x src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline34.gif" width=7 border=0> یک عدد صحیح باشد، آنگاه</P> <P align=left><IMG class=displayformula height=14 alt=(n-1)Gamma(n-1) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline38.gif" width=88 border=0>      <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline37.gif" width=9 border=0>     <IMG class=displayformula height=14 alt=Gamma(n) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline36.gif" width=26 border=0>                  </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=14 alt=(n-1)(n-2)Gamma(n-2) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline41.gif" width=128 border=0>     <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline40.gif" width=9 border=0>                             </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=14 alt=(n-1)(n-2)...1 src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline44.gif" width=104 border=0>     <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline43.gif" width=9 border=0>                             </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=14 alt=(n-1)!, src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline47.gif" width=47 border=0>     <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline46.gif" width=9 border=0>                              </P> <P align=justify>بنابراین تابع گاما به ازای آرگومان های صحیح مثبت (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/PositiveInteger.html">positive integer</A>) به فاکتوریل تقلیل می یابد.</P> <P align=justify>یک رابطه ی زیبا مابین <IMG class=inlineformula height=14 alt=Gamma(z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline48.gif" width=25 border=0> و تابع زتای ریمان (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html">Riemann zeta function</A>) <IMG class=inlineformula height=14 alt=zeta(z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline49.gif" width=24 border=0> به صورت زیر است</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=41 alt=" zeta(z)Gamma(z)=int_0^infty(u^(z-1))/(e^u-1)du " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/NumberedEquation4.gif" width=151 border=0>                 </P> <P align=justify>برای <IMG class=inlineformula height=14 alt="R[z]>1" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline50.gif" width=51 border=0> (Havil 2003, p. 60). </P> <P align=justify>تابع گاما همچنین می تواند به صورت یک حاصلضرب نامتناهی (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/InfiniteProduct.html">infinite product</A>) یعنی صورت ویراشتراوس (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassForm.html">Weierstrass form</A>) تعریف شود:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=47 alt=" Gamma(z)=[ze^(gammaz)product_(r=1)^infty(1+z/r)e^(-z/r)]^(-1), " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/NumberedEquation5.gif" width=184 border=0>                      </P> <P align=justify>که <IMG class=inlineformula height=14 alt=gamma src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline51.gif" width=7 border=0> ثابت اویلر ـ ماشرونی (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html">Euler-Mascheroni constant</A>) است (Krantz 1999, p. 157; Havil 2003, p. 57). با لگاریتم گرفتن از طرفین معادله ی اخیر داریم:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=46 alt=" -ln[Gamma(z)]=lnz+gammaz+sum_(n=1)^infty[ln(1+z/n)-z/n]. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/NumberedEquation6.gif" width=260 border=0>            </P> <P align=justify>با مشتق گیری از این رابطه بدست می آوریم:</P> <P align=left><IMG class=displayformula height=52 alt=1/z+gamma+sum_(n=1)^(infty)((1/n)/(1+z/n)-1/n) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline54.gif" width=142 border=0>     <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline53.gif" width=9 border=0>    <IMG class=displayformula height=38 alt="-(Gamma^'(z))/(Gamma(z))" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline52.gif" width=44 border=0>              </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=46 alt=1/z+gamma+sum_(n=1)^(infty)(1/(n+z)-1/n) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline57.gif" width=139 border=0>     <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline56.gif" width=9 border=0>                             </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=47 alt=-Gamma(z)[1/z+gamma+sum_(n=1)^(infty)(1/(n+z)-1/n)] src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline60.gif" width=187 border=0>    <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline59.gif" width=9 border=0>     <IMG class=displayformula height=14 alt="Gamma^'(z)" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline58.gif" width=29 border=0>            </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=14 alt=Gamma(z)Psi(z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline63.gif" width=54 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline62.gif" width=9 border=0>                       </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=16 alt=Gamma(z)psi_0(z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline66.gif" width=60 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline65.gif" width=9 border=0>                        </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt=-Gamma(1){1+gamma+[(1/2-1)+(1/3-1/2)+...+(1/(n+1)-1/n)+...]} src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline69.gif" width=351 border=0>    <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline68.gif" width=9 border=0>    <IMG class=displayformula height=14 alt="Gamma^'(1)" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline67.gif" width=30 border=0>             </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=14 alt=-(1+gamma-1) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline72.gif" width=69 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline71.gif" width=9 border=0>                         </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=14 alt=-gamma src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline75.gif" width=17 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline74.gif" width=9 border=0>                        </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt=-Gamma(n){1/n+gamma+[(1/(1+n)-1)+(1/(2+n)-1/2)+(1/(3+n)-1/3)+...]} src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline78.gif" width=382 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline77.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt="Gamma^'(n)" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline76.gif" width=30 border=0>             </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=47 alt=-(n-1)!(1/n+gamma-sum_(k=1)^(n)1/k), src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline81.gif" width=152 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline80.gif" width=9 border=0>                        </P> <P align=justify>که  <IMG class=inlineformula height=14 alt=Psi(z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline82.gif" width=26 border=0> تابع دی گاما (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/DigammaFunction.html">digamma function</A>) و  <IMG class=inlineformula height=16 alt=psi_0(z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline83.gif" width=32 border=0> تابع چند گامایی (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/PolygammaFunction.html">polygamma function</A>) هستند.  <IMG class=inlineformula height=14 alt=n src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline84.gif" width=7 border=0>امین مشتق ها برحسب توابع چند گامایی (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/PolygammaFunction.html">polygamma functions</A>) <IMG class=inlineformula height=16 alt=psi_n src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline85.gif" width=15 border=0>, <IMG class=inlineformula height=16 alt=psi_(n-1) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline86.gif" width=26 border=0>, ..., <IMG class=inlineformula height=16 alt=psi_0 src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline87.gif" width=15 border=0> داده می شوند.</P> <P align=justify>ادامه دارد...</P> <P align=justify>منابع:</P> <P class=Reference align=left>Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Gamma (Factorial) Function" and "Incomplete Gamma Function." §6.1 and 6.5 in <I>Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing.</I> New York: Dover, pp. 255-258 and 260-263, 1972. </P> <P class=Reference align=left>Arfken, G. "The Gamma Function (Factorial Function)." Ch. 10 in <I>Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed.</I> Orlando, FL: Academic Press, pp. 339-341 and 539-572, 1985. </P> <P class=Reference align=left>Artin, E. <I>The Gamma Function.</I> New York: Holt, Rinehart, and Winston, 1964. </P> <P class=Reference align=left>Bailey, W. N. <I>Generalised Hypergeometric Series.</I> Cambridge, England: Cambridge University Press, 1935. </P> <P class=Reference align=left>Berndt, B. C. <I>Ramanujan's Notebooks, Part IV.</I> New York: Springer-Verlag, pp. 334-342, 1994. </P> <P class=Reference align=left>Beyer, W. H. <I>CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed.</I> Boca Raton, FL: CRC Press, p. 218, 1987. </P> <P class=Reference align=left>Borwein, J. and Bailey, D. <I>Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century.</I> Wellesley, MA: A K Peters, 2003. </P> <P class=Reference align=left>Borwein, J. and Borwein, P. B. <I>Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity.</I> New York: Wiley, p. 6, 1987. </P> <P class=Reference align=left>Borwein, J. M. and Zucker, I. J. "Fast Evaluation of the Gamma Function for Small Rational Fractions Using Complete Elliptic Integrals of the First Kind." <I>IMA J. Numerical Analysis</I> <B>12</B>, 519-526, 1992. </P> <P class=Reference align=left>Bourguet, L. "Sur les intégrales Eulériennes et quelques autres fonctions uniformes." <I>Acta Math.</I> <B>2</B>, 261-295, 1883. </P> <P class=Reference align=left>Campbell, R. <I>Les intégrales eulériennes et leurs applications.</I> Paris: Dunod, 1966. </P> <P class=Reference align=left>Davis, H. T. <I>Tables of the Higher Mathematical Functions.</I> Bloomington, IN: Principia Press, 1933. </P> <P class=Reference align=left>Davis, P. J. "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function." <I>Amer. Math. Monthly</I> <B>66</B>, 849-869, 1959. </P> <P class=Reference align=left>Edwards, H. M. <I>Riemann's Zeta Function.</I> New York: Dover, 2001. </P> <P class=Reference align=left>Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "The Gamma Function." Ch. 1 in <I>Higher Transcendental Functions, Vol. 1.</I> New York: Krieger, pp. 1-55, 1981. </P> <P class=Reference align=left>Finch, S. R. "Euler-Mascheroni Constant." §1.5 in <I>Mathematical Constants.</I> Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 28-40, 2003. </P> <P class=Reference align=left>Gauss, C. F. "Disquisitiones Generales Circa Seriem Infinitam <IMG class=inlineformula height=28 alt=[(alphabeta)/(1·gamma)]x+[(alpha(alpha+1)beta(beta+1))/(1·2·gamma(gamma+1))]x^2 src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline291.gif" width=146 border=0> <IMG class=inlineformula height=28 alt=+[(alpha(alpha+1)(alpha+2)beta(beta+1)(beta+2))/(1·2·3·gamma(gamma+1)(gamma+2))]x^3+ src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline292.gif" width=167 border=0> etc. Pars Prior." <I>Commentationes Societiones Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores, Vol. II.</I> 1812. Reprinted in <I>Gesammelte Werke, Bd. 3</I>, pp. 123-163 and 207-229, 1866. </P> <P class=Reference align=left>Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Answer to Problem 9.60 in <I>Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed.</I> Reading, MA: Addison-Wesley, 1994. </P> <P class=Reference align=left>Hardy, G. H. "A Chapter from Ramanujan's Note-Book." <I>Proc. Cambridge Philos. Soc.</I> <B>21</B>, 492-503, 1923. </P> <P class=Reference align=left>Hardy, G. H. "Some Formulae of Ramanujan." <I>Proc. London Math. Soc.</I> (Records of Proceedings at Meetings) <B>22</B>, xii-xiii, 1924. </P> <P class=Reference align=left>Hardy, G. H. <I>Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed.</I> New York: Chelsea, 1999. </P> <P class=Reference align=left>Havil, J. "The Gamma Function." Ch. 6 in <I>Gamma: Exploring Euler's Constant.</I> Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 53-60, 2003. </P> <P class=Reference align=left>Isaacson, E. and Salzer, H. E. "Mathematical Tables--Errata: 19. J. P. L. Bourget, 'Sur les intégrales Eulériennes et quelques autres fonctions uniformes,' <I>Acta <I>Mathematica</I></I>, v. 2, 1883, pp. 261-295.' " <I>Math. Tab. Aids Comput.</I> <B>1</B>, 124, 1943. </P> <P class=Reference align=left>Koepf, W. "The Gamma Function." Ch. 1 in <I>Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities.</I> Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 4-10, 1998. </P> <P class=Reference align=left>Krantz, S. G. "The Gamma and Beta Functions." §13.1 in <I>Handbook of Complex Variables.</I> Boston, MA: Birkhäuser, pp. 155-158, 1999. </P> <P class=Reference align=left>Le Lionnais, F. <I>Les nombres remarquables.</I> Paris: Hermann, p. 46, 1983. </P> <P class=Reference align=left>Magnus, W. and Oberhettinger, F. <I>Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics.</I> New York: Chelsea, 1949. </P> <P class=Reference align=left>Nielsen, N. "Handbuch der Theorie der Gammafunktion." Part I in <I>Die Gammafunktion.</I> New York: Chelsea, 1965. </P> <P class=Reference align=left>Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Gamma Function, Beta Function, Factorials, Binomial Coefficients" and "Incomplete Gamma Function, Error Function, Chi-Square Probability Function, Cumulative Poisson Function." §6.1 and 6.2 in <I>Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed.</I> Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 206-209 and 209-214, 1992. </P> <P class=Reference align=left>Sloane, N. J. A. Sequences A000079/M1129, A000142/M1675, A001147/M3002, A030169, A030170, A030171, A030172, A061549, A068466, and A143503 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences." </P> <P class=Reference align=left>Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Gamma Function <IMG class=inlineformula height=14 alt=Gamma(x) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline293.gif" width=26 border=0>" and "The Incomplete Gamma <IMG class=inlineformula height=14 alt=gamma(nu;x) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GammaFunction/Inline294.gif" width=39 border=0> and Related Functions." Chs. 43 and 45 in <I>An Atlas of Functions.</I> Washington, DC: Hemisphere, pp. 411-421 and 435-443, 1987. </P> <P class=Reference align=left>Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (XI)." <I>J. London Math. Soc.</I> <B>6</B>, 59-65, 1931. </P> <P class=Reference align=left>Watson, G. N. "Three Triple Integrals." <I>Quart. J. Math., Oxford Ser. 2</I> <B>10</B>, 266-276, 1939. </P> <P class=Reference align=left>Wells, D. <I>The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers.</I> Middlesex, England: Penguin Books, p. 40, 1986. </P> <P class=Reference align=left>Whipple, F. J. W. "A Fundamental Relation between Generalised Hypergeometric Series." <I>J. London Math. Soc.</I> <B>1</B>, 138-145, 1926. </P> <P class=Reference align=left>Whittaker, E. T. and Watson, G. N. <I>A Course in Modern Analysis, 4th ed.</I> Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990. </P> <P class=Reference align=left>Wrench, J. W. Jr. "Concerning Two Series for the Gamma Function." <I>Math. Comput.</I> <B>22</B>, 617-626, 1968. </P> Mon, 24 Nov 2008 09:56:18 GMT http://commenting.blogfa.com/?blogid=mathnews&postid=69 mathnews http://mathnews.blogfa.com/post-69.aspx http://mathnews.blogfa.com/post-68.aspx <P align=justify>برای مثال، معادله ی پیوستگی مکانیک سیالات بیان می کند که نرخی که بر اساس آن چگالی <IMG class=inlineformula height=14 alt=rho src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline9.gif" width=8 border=0> در هر عنصر حجمی بینهایت کوچک سیال کاهش می یابد، متناسب با شار جرم (تغییرات پی در پی جرم) بخش های متفاوت سیال که در حال دور شدن از عنصر هستند می باشد و با قاعده ی زیر نشان داده می شود:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=35 alt=" del ·(rhou)=-(partialrho)/(partialt), " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/NumberedEquation2.gif" width=97 border=0>                  </P> <P align=justify>که  <IMG class=inlineformula height=14 alt=u src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline10.gif" width=8 border=0> میدان برداری سرعت سیال است. در موردی معمول که درآن چگالی سیال ثابت است، این رابطه به یک معادله زیبا و موجز تقلیل می یابد</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=14 alt=" del ·u=0, " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/NumberedEquation3.gif" width=55 border=0>                 </P> <P align=justify>که به آسانی می گوید برای اینکه چگالی در سرتاسر سیال ثابت بماند، <EM>نبایستی بخش های حاوی ماده سیال در هیچ نقطه ای تشکیل یک گره یا انباشتگی دهند</EM> و لذا میدان برداری سرعت های بخش های بوجود آورنده ی سیال برای هر سیستم مادی لازم است که میدانی فاقد دیورژانس (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/DivergencelessField.html">divergenceless field</A>) یا به اصطلاح میدانی بدون واگرایی باشد.  </P> <P align=justify>دیورژانس در نظریه ی الکترومغناطیس نیز در دو معادله از چهار معادله ماکسول حضور دارد</P> <P align=left><IMG class=displayformula height=34 alt=rho/(epsilon_0) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline13.gif" width=15 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline12.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt="del ·E" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline11.gif" width=28 border=0>            </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=14 alt=0, src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline16.gif" width=11 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline15.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt="del ·B" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline14.gif" width=28 border=0>             </P> <P align=justify>که از واحدهای <A href="http://scienceworld.wolfram.com/physics/MKS.html">MKS</A> در اینجا استفاده کرده ایم: <IMG class=inlineformula height=14 alt=E src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline17.gif" width=10 border=0> میدان الکتریکی، <IMG class=inlineformula height=14 alt=rho src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline18.gif" width=8 border=0> اکنون نماینگر چگالی بار الکتریکی، <IMG class=inlineformula height=16 alt=epsilon_0 src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline19.gif" width=11 border=0> ثابت تناسب که موسوم به ثابت گذردهی الکترون از خلا و در نهایت <IMG class=inlineformula height=14 alt=B src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline20.gif" width=10 border=0> معرف میدان مغناطیسی است.</P> <P align=justify>بعلاوه ی ۲ معادله ی دیگر از مجموعه معادلات ماکسول، اینها قوانینی هستند که به طور بالقوه ویژگی های نسبیتی و کلاسیکی الکترومغناطیس را توصیف می کنند.</P> <P align=justify>فرمولی که برای پیدا کردن دیورژانس یک میدان برداری کاربرد دارد، را می توان سریعاً با ایجاد کردن یک شش ضلعی بینهایت کوچک فرضی که در امتداد محور مختصات حول یک ناحیه ی بینهایت کوچک از فضا جهت گیری شده است، بدست آورد. بنابراین "حجم" خالص این شش ضلعی را می توان به راحتی با جمع زدن تفاضل های مقادیر میدان برداری در امتداد ۳ مجموعه ی اضلاع موازی با هم (اضلاع متقابل) محاسبه کرد. با نوشتن  <IMG class=inlineformula height=21 alt=F=(F_x,F_y,F_z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline21.gif" width=94 border=0> بلافاصله بدست می آید:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=40 alt=" del ·F=(partialF_x)/(partialx)+(partialF_y)/(partialy)+(partialF_z)/(partialz). " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/NumberedEquation4.gif" width=158 border=0>              </P> <P align=justify>این فرمول را می توان دلیلی برای توجیه انگیزه ی انتخاب نماد <IMG class=inlineformula height=14 alt="del ·" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline22.gif" width=15 border=0> برای دیورژانس دانست. تعبیر کردن از <IMG class=inlineformula height=14 alt="del " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline23.gif" width=9 border=0>  به عنوان عملگر گرادیان (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/Gradient.html">gradient</A>) <IMG class=inlineformula height=14 alt="del =(partial/partialx,partial/partialy,partial/partialz)" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline24.gif" width=144 border=0>، "حاصلضرب نقطه ای" (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html">dot product</A>) این عملگر با میدان برداری اصلی <IMG class=inlineformula height=21 alt=F=(F_x,F_y,F_z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline25.gif" width=94 border=0> دقیقا معادل رابطه ی اخیر است.</P> <P align=justify>درحالیکه این عملگر به نوعی به نظر می رشد که در مختصات دکارتی است، تعریف عمومی به کلی به مختصات خاصی ربط ندارد. در حقیقت با تعریف </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=18 alt=" F=F_1u_1^^+F_2u_2^^+F_3u_3^^, " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/NumberedEquation5.gif" width=154 border=0>                </P> <P align=justify>دیورژانس در هر محتصات منحنی الخط دلخواه (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/CurvilinearCoordinates.html">curvilinear coordinates</A>) به صورت زیر داده می شود:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=39 alt=" del ·F=1/(h_1h_2h_3)[partial/(partialu_1)(h_2h_3F_1)+partial/(partialu_2)(h_3h_1F_2)+partial/(partialu_3)(h_1h_2F_3)]. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/NumberedEquation6.gif" width=381 border=0>             </P> <P align=justify>دیورژانس تبدیل خطی یک بردار یکه (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/UnitVector.html">unit vector</A>) که با ماتریس <IMG class=inlineformula height=14 alt=A src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline26.gif" width=9 border=0> نمایش داده می شود، به وسیله فرمول زیبای ذیل توصیف می شود:</P> <P align=left> <IMG class=numberedequation height=43 alt=" del ·(Ax)/(|x|)=(Tr(A))/(|x|)-(x^(T)(Ax))/(|x|^3), " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/NumberedEquation7.gif" width=162 border=0>       </P> <P align=justify>که  <IMG class=inlineformula height=14 alt=Tr(A) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline27.gif" width=33 border=0> رد ماتریس (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/MatrixTrace.html">matrix trace</A>) یا همان مجموع درایه های قطر اصلی و <IMG class=inlineformula height=17 alt=x^(T) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline28.gif" width=14 border=0> ترانهاده ماتریس را نشان می دهد.</P> <P align=justify>مفهوم دیورژانس را می توان به میدان های تانسوری نیز بسط داد، به طوری که در این مورد دیورژانس تنجش مشتق هموردای (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/CovariantDerivative.html">covariant derivative</A>) میدان تانسوری است:</P> <P align=left> <TABLE style="PADDING-LEFT: 50px" cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" align=center> <TBODY> <TR> <TD align=left><IMG class=numberedequation height=18 alt=" del ·A=A_(;alpha)^alpha. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/NumberedEquation8.gif" width=64 border=0></TD></TR></TBODY></TABLE></P> <P align=justify>لینک مربوطه: <A href="http://mathnews.blogfa.com/post-53.aspx">دیورژانس ۱</A></P> <P align=justify>منابع:</P> <P class=Reference align=left>Arfken, G. "Divergence, <IMG class=inlineformula height=14 alt="del ·" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Divergence/Inline29.gif" width=16 border=0>." §1.7 in <I>Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed.</I> Orlando, FL: Academic Press, pp. 37-42, 1985. </P> <P class=Reference align=left>Kaplan, W. "The Divergence of a Vector Field." §3.4 in <I>Advanced Calculus, 4th ed.</I> Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 185-186, 1991. </P> <P class=Reference align=left>Morse, P. M. and Feshbach, H. "The Divergence." In <I>Methods of Theoretical Physics, Part I.</I> New York: McGraw-Hill, pp. 34-37, 1953. </P> <P class=Reference align=left>Schey, H. M. <I>Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, 3rd ed.</I> New York: W. W. Norton, 1997.</P> Sun, 02 Nov 2008 11:28:18 GMT http://commenting.blogfa.com/?blogid=mathnews&postid=68 mathnews http://mathnews.blogfa.com/post-68.aspx http://mathnews.blogfa.com/post-67.aspx <P align=justify>دیگر اتحاد های دربرگیرنده ی مشتق تابع دلتا عبارت اند از</P> <P align=left> <TABLE style="PADDING-LEFT: 50px" cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" align=center> <TBODY> <TR> <TD align=left><IMG class=numberedequation height=14 alt=" delta^'(-x)=-delta^'(x) " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation13.gif" width=95 border=0>  </TD></TR></TBODY></TABLE></P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=34 alt=" int_(-infty)^inftyf(x)delta^'(x-a)dx=-f^'(a) " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation14.gif" width=180 border=0>           </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=34 alt=" (delta^'*f)(a)=int_(-infty)^inftydelta^'(a-x)f(x)dx=f^'(a) " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation15.gif" width=244 border=0>           </P> <P align=justify>که در آن <IMG class=inlineformula height=14 alt=* src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline41.gif" width=7 border=0> علامت کانولوشن (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/Convolution.html">convolution</A>) است،</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=34 alt=" int_(-infty)^infty|delta^'(x)|dx=infty, " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation16.gif" width=111 border=0>     </P> <P align=justify>و</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=17 alt=" x^2delta^'(x)=0. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation17.gif" width=72 border=0>                  </P> <P align=justify>یک رابطه ی انتگرالی که با استفاده از <IMG class=inlineformula height=14 alt=delta(1/x) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline42.gif" width=41 border=0> نوشته می شود نیز وجود دارد:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=36 alt=" int_(-1)^1delta(1/x)dx=0. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation18.gif" width=99 border=0>          </P> <P align=justify>تابع دلتا، همچنین از به اصطلاح خاصیت غربالگری (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/SiftingProperty.html">sifting property</A>) نیز تبعیت می کند:</P> <P align=left> <TABLE style="PADDING-LEFT: 50px" cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" align=center> <TBODY> <TR> <TD align=left> <P dir=ltr align=left> </P></TD> <TD align=right width=3> <P dir=ltr align=left><IMG class=numberedequation height=34 alt=" intf(x)delta(x-x_0)dx=f(x_0) " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation19.gif" width=165 border=0></P></TD></TR></TBODY></TABLE>          </P> <P align=justify>(Bracewell 1999, pp. 74-75).</P> <P align=justify>بسط سری فوریه ی تابع دلتای <IMG class=inlineformula height=14 alt=delta(x-a) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline43.gif" width=47 border=0> بدست می دهد</P> <P align=left><IMG class=displayformula height=38 alt=1/piint_(-pi)^pidelta(x-a)cos(nx)dx src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline46.gif" width=152 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline45.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=16 alt=a_n src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline44.gif" width=13 border=0>               </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt=1/picos(na) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline49.gif" width=62 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline48.gif" width=9 border=0>                     </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=38 alt=1/piint_(-pi)^pidelta(x-a)sin(nx)dx src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline52.gif" width=149 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline51.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=16 alt=b_n src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline50.gif" width=13 border=0>               </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt=1/pisin(na), src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline55.gif" width=63 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline54.gif" width=9 border=0>                     </P> <P align=justify>بنابراین</P> <P align=left><IMG class=displayformula height=46 alt=1/(2pi)+1/pisum_(n=1)^(infty)[cos(na)cos(nx)+sin(na)sin(nx)] src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline58.gif" width=284 border=0>    <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline57.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt=delta(x-a) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline56.gif" width=47 border=0>        </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=46 alt=1/(2pi)+1/pisum_(n=1)^(infty)cos[n(x-a)]. src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline61.gif" width=154 border=0>    <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline57.gif" width=9 border=0>                       </P> <P align=justify>تابع دلتا را می توان به صورت یک تبدیل فوریه (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html">Fourier transform</A>) به شکل زیر نوشت </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=35 alt=" delta(x)=F_k[1](x)=int_(-infty)^inftye^(-2piikx)dk. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation20.gif" width=202 border=0>              </P> <P align=justify>و به طور یکسان،</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=35 alt=" F_x^(-1)[delta(x)](k)=int_(-infty)^inftydelta(x)e^(2piikx)dx=1 " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation21.gif" width=229 border=0>              </P> <P align=justify>(Bracewell 1999, p. 95). به طور کلی تر تبدیل فوریه ی تابع دلتا عبارت است از</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=34 alt=" F_x[delta(x-x_0)](k)=int_(-infty)^inftye^(-2piikx)delta(x-x_0)dx=e^(-2piikx_0). " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation22.gif" width=322 border=0>         </P> <P align=center><IMG alt="" hspace=0 src="http://xs137.xs.to/xs137/09131/epsil_del208.jpg" align=baseline border=0></P> <P align=justify>تابع دلتا در قالب حد های زیر که در آنها  <IMG class=inlineformula height=14 alt="epsilon->0" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline62.gif" width=30 border=0> هم گاهاْ تعریف می شود</P> <P align=left><IMG class=displayformula height=38 alt="1/pilim_(epsilon->0)epsilon/(x^2+epsilon^2)," src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline65.gif" width=83 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline66.gif" width=9 border=0><IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline82.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt=delta(x) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline63.gif" width=25 border=0>        </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=29 alt="lim_(epsilon->0)1/2epsilon|x|^(epsilon-1)" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline68.gif" width=71 border=0>      <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline82.gif" width=9 border=0>                  </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=39 alt="lim_(epsilon->0^+)1/(2sqrt(piepsilon))e^(-x^2/(4epsilon))" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline71.gif" width=119 border=0>     <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline82.gif" width=9 border=0>                  </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt="lim_(epsilon->0)1/(pix)sin(x/epsilon)" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline74.gif" width=86 border=0>  <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline75.gif" width=9 border=0>  <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline82.gif" width=9 border=0>                 </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt="lim_(epsilon->0)1/epsilonAi(x/epsilon)" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline77.gif" width=74 border=0> <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline78.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline82.gif" width=9 border=0>                  </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt="lim_(epsilon->0)1/epsilonJ_(1/epsilon)((x+1)/epsilon)" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline80.gif" width=103 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline81.gif" width=9 border=0> <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline82.gif" width=9 border=0>                 </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt="lim_(epsilon->0)|1/epsilone^(-x^2/epsilon)L_n((2x)/epsilon)|," src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline83.gif" width=132 border=0>     <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline82.gif" width=9 border=0>                 </P> <P align=justify>که  <IMG class=inlineformula height=14 alt=Ai(x) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline84.gif" width=32 border=0> تابع هوایی (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/AiryFunctions.html">Airy function</A>)،  <IMG class=inlineformula height=16 alt=J_n(x) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline85.gif" width=30 border=0> تابع بسل نوع اول (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheFirstKind.html">Bessel function of the first kind</A>) و   <IMG class=inlineformula height=16 alt=L_n(x) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline86.gif" width=32 border=0> یک چندجمله ای لاگر (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/LaguerrePolynomial.html">Laguerre polynomial</A>) از مرتبه ی صحیح مثبت دلخواه است. </P> <P align=center><IMG height=226 alt=DeltaFunctionN src="http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/DeltaFunctionN_1000.gif" width=366>  </P> <P align=justify>این تابع را همانطور که در شکل بالا قابل مشاهده است، می توان به صورت تابع حدی ذیل تعریف کرد</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=51 alt=" delta(x)=lim_(n->infty)1/(2pi)(sin[(n+1/2)x])/(sin(1/2x)). " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation23.gif" width=176 border=0>                 </P> <P align=justify>تابع دلتا در ۲ بعد نیز تعریف می شود، به صورتی که در مختصات دکارتی (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/CartesianCoordinates.html">Cartesian coordinates</A>) دو بعدی داریم:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=46 alt=" delta^2(x,y)={0 x^2+y^2!=0; infty x^2+y^2=0, " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation24.gif" width=171 border=0>           </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=34 alt=" int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftydelta^2(x,y)dxdy=1 " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation25.gif" width=155 border=0>          </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=36 alt=" delta^2(ax,by)=1/(|ab|)delta^2(x,y), " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation26.gif" width=159 border=0>         </P> <P align=justify>و </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=36 alt=" delta^2(ax,by)=1/(|ab|)delta^2(x,y), " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation26.gif" width=159 border=0>        </P> <P align=justify>در مختصات قطبی (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html">polar coordinates</A>) نیز داریم</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=36 alt=" delta^2(x,y)=(delta(r))/(pi|r|) " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation28.gif" width=91 border=0>             </P> <P align=justify>(Bracewell 1999, p. 85). </P> <P align=justify>در مختصات ۳ بعدی دکارتی هم اوضاع به همان شرایط بالا است</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=47 alt=" delta^3(x,y,z)=delta^3(x)={0 x^2+y^2+z^2!=0; infty x^2+y^2+z^2=0 " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation29.gif" width=252 border=0>             </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=34 alt=" int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftydelta^3(x,y,z)dxdydz=1 " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation30.gif" width=210 border=0>            </P> <P align=justify>و</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=17 alt=" delta^3(x,y,z)=delta(x)delta(y)delta(z). " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation31.gif" width=161 border=0>           </P> <P align=justify>در مختصات استوانه ای (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinates.html">cylindrical coordinates</A>) <IMG class=inlineformula height=14 alt=(r,theta,z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline88.gif" width=41 border=0>،</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=36 alt=" delta^3(r,theta,z)=(delta(r)delta(z))/(pir). " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation32.gif" width=133 border=0>             </P> <P align=justify>در مختصات کروی (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html">spherical coordinates</A>) <IMG class=inlineformula height=14 alt=(r,theta,z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline88.gif" width=41 border=0>،</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=38 alt=" delta^3(r,theta,phi)=(delta(r))/(2pir^2) " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation33.gif" width=112 border=0>            </P> <P align=justify>تعریف می شود. (Bracewell 1999, p. 85).   </P> <P align=justify>یک بسط سری وار از این تابع در مختصات استوانه بدست می دهد</P> <P align=left><IMG class=displayformula height=38 alt=1/(r_1)delta(r_1-r_2)delta(theta_1-theta_2)delta(z_1-z_2) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline92.gif" width=194 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline94.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=17 alt=delta^3(r_1-r_2) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline90.gif" width=63 border=0>             </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=45 alt=1/(r_1)delta(r_1-r_2)1/(2pi)sum_(m=-infty)^(infty)e^(im(theta_1-theta_2))1/(2pi)int_(-infty)^inftye^(ik(z_1-z_2))dk. src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline95.gif" width=305 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline94.gif" width=9 border=0>                               </P> <P align=right>پاسخ به برخی معادلات دیفرانسیلی معمولی را می توان برحسب مشتقات <IMG class=inlineformula height=14 alt=delta(x) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline96.gif" width=25 border=0> نوشت (Kanwal 1998). برای مثال، تابع دیفرانسیلی</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=14 alt=" x(1-x)y^('')+(4-6x)y^'-6y=0 " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation34.gif" width=193 border=0>              </P> <P align=justify>دارای پاسخ کلاسیکی </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=42 alt=" y(x)=(C_1)/(x^3)+(x^2-x-1+2(x-2)ln(x-1))/(x^3(x-1))C_2, " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation35.gif" width=276 border=0>              </P> <P align=justify>و پاسخ توزیعی زیر است</P> <P align=left> <TABLE style="PADDING-LEFT: 50px" cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" align=center> <TBODY> <TR> <TD align=left><IMG class=numberedequation height=14 alt=" y(x)=C_1delta^('')(x) " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation36.gif" width=93 border=0></TD></TR></TBODY></TABLE></P> <P align=justify> <TABLE style="PADDING-LEFT: 50px" cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" align=center> <TBODY> <TR> <TD align=left> <P dir=rtl align=justify><FONT size=2>(M. Trott, pers. comm., Jan. 19, 2006). توجه داشته باشید که برخلاف پاسخ های کلاسیکی، یک پاسخ توزیعی به یک معادله ی دیفرانسیلی معمولی مرتبه ی <IMG class=inlineformula height=14 alt=n src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline99.gif" width=7 border=0>ام احتیاجی به داشتن <IMG class=inlineformula height=14 alt=n src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline99.gif" width=7 border=0> ثابت انتگرالگیری متمایز از هم ندارد.</FONT></P> <P dir=rtl align=justify><FONT size=2>لینک مربوطه: <A href="http://mathnews.blogfa.com/post-61.aspx">تابع دلتا ۱ (Delta Function)</A></FONT></P> <P align=justify><FONT size=2>منابع:</FONT></P> <P class=Reference align=left><FONT size=2>Arfken, G. <I>Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed.</I> Orlando, FL: Academic Press, pp. 481-485, 1985. </FONT></P> <P class=Reference align=left><FONT size=2>Bracewell, R. "The Impulse Symbol." Ch. 5 in <I>The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed.</I> New York: McGraw-Hill, pp. 69-97, 1999. </FONT></P> <P class=Reference align=left><FONT size=2>Dirac, P. A. M. <I>Quantum Mechanics, 4th ed.</I> London: Oxford University Press, 1958. </FONT></P> <P class=Reference align=left><FONT size=2>Gasiorowicz, S. <I>Quantum Physics.</I> New York: Wiley, pp. 491-494, 1974. </FONT></P> <P class=Reference align=left><FONT size=2>Kanwal, R. P. "Applications to Ordinary Differential Equations." Ch. 6 in <I>Generalized Functions, Theory and Technique, 2nd ed.</I> Boston, MA: Birkhäuser, pp. 291-255, 1998. </FONT></P> <P class=Reference align=left><FONT size=2>Papoulis, A. <I>Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed.</I> New York: McGraw-Hill, pp. 97-98, 1984. </FONT></P> <P class=Reference align=left><FONT size=2>Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Dirac Delta Function <IMG class=inlineformula height=14 alt=delta(x-a) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline101.gif" width=47 border=0>." Ch. 10 in <I>An Atlas of Functions.</I> Washington, DC: Hemisphere, pp. 79-82, 1987. </FONT></P> <P class=Reference dir=ltr align=left><FONT size=2>van der Pol, B. and Bremmer, H. <I>Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral.</I> Cambridge, England: Cambridge University Press, 1955.</FONT> </P><!-- End References --><!-- Begin CiteAs --></TD></TR></TBODY></TABLE></P> Sat, 01 Nov 2008 18:44:18 GMT http://commenting.blogfa.com/?blogid=mathnews&postid=67 mathnews http://mathnews.blogfa.com/post-67.aspx http://mathnews.blogfa.com/post-66.aspx <P align=justify>"سری فاکس ترات" یک جمع ریاضی است که دوم ژوئن ۱۹۹۶ در کارتون <EM>فاکس ترات</EM> ساخته ی بیل ایمند (Bill Amend) نمایش داده شد (Amend 1998, p. 19; Mitchell 2006/2007). این سری از یک مساله ی آزمون همگرایی در کتاب حساب دیفرانسیل آنتون ناشی شد، اما به طور غیر عمدی تبدیل به یک مساله ی جمع زنی در به اصطلاح کارتون فاکس ترات گشت:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=45 alt=" F=sum_(n=1)^infty((-1)^(n+1)n^2)/(n^3+1)=.... " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FoxTrotSeries/NumberedEquation1.gif" width=144 border=0>              </P> <P align=justify>محاسبه ی این جمع به طور خارق العاده ای یک عبارت خیلی پیچیده ای که شامل جمع ۴ تابع دی گاما (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/DigammaFunction.html">digamma functions</A>) را بدست می دهد، اما می توان این کار را به طور بسیار زیباتری با چند ساده سازی در نمادها انجام داد. علی الخصوص، تجزیه ی پاره کسری این سری بدست می دهد</P> <P align=left><IMG class=displayformula height=45 alt=-1/3sum_(n=1)^(infty)((-1)^n)/(1+n)+1/3sum_(n=1)^(infty)((-1)^n(1-2n))/(1-n+n^2) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FoxTrotSeries/Inline3.gif" width=211 border=0>    <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FoxTrotSeries/Inline2.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt=F src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FoxTrotSeries/Inline1.gif" width=9 border=0></P> <P align=left><IMG class=displayformula height=45 alt=1/3(1-ln2)+(zeta^2)/3sum_(n=1)^(infty)(-1)^n(1-2n)×[1/((1+zeta)(zeta-n))+1/((1+zeta)(zeta^2+n))] src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FoxTrotSeries/Inline6.gif" width=402 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FoxTrotSeries/Inline5.gif" width=9 border=0>     </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=25 alt=1/3[1-ln2+pisech(1/2sqrt(3)pi)] src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FoxTrotSeries/Inline9.gif" width=169 border=0>    <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FoxTrotSeries/Inline8.gif" width=9 border=0>      </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=14 alt=0.239560747... src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FoxTrotSeries/Inline12.gif" width=91 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FoxTrotSeries/Inline8.gif" width=9 border=0>      </P> <P align=justify>(Sloane's A127198)، که در آن <IMG class=inlineformula height=23 alt=zeta=(-1)^(1/3)=(1+isqrt(3))/2 src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FoxTrotSeries/Inline13.gif" width=159 border=0> و جمع های آخر برحسب تابع دی گاما (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/DigammaFunction.html">digamma function</A>) و برخی ساده سازی های نمادی انجام شده اند.</P> <P align=center><IMG alt="" hspace=0 src="http://arbehtash.persiangig.com/image/FoxTrotMathTest.jpg" align=baseline border=0></P> <P align=justify> </P> <P align=justify>منابع:</P> <P class=Reference align=left>Amend, B. <I>Camp FoxTrot.</I> Kansas City, MO: Andrews McMeel, p. 19, 1998. </P> <P class=Reference align=left>Mitchell, C. W. Jr. In "Media Clips" (Ed. M Cibes and J. Greenwood). <I>Math. Teacher</I> <B>100</B>, 339, Dec. 2006/Jan. 2007. Sloane, N. J. A. Sequence A127198 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."  </P> Wed, 15 Oct 2008 10:57:18 GMT http://commenting.blogfa.com/?blogid=mathnews&postid=66 mathnews http://mathnews.blogfa.com/post-66.aspx http://mathnews.blogfa.com/post-65.aspx <P align=center><IMG height=179 alt=Digamma src="http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/Digamma_700.gif" width=289></P> <DIV align=left></DIV> <P align=center><IMG id=DigammaReImAbs alt=DigammaReImAbs src="http://mathworld.wolfram.com/webMathematica/ComplexPlots.jsp?name=Digamma&zMin=-5%2B-5*I&zMax=10%2B11*I&nt=2" name=DigammaReImAbs></P> <P align=justify>یک تابع خاص است که به واسطه ی مشتق لگاریتمی (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicDerivative.html">logarithmic derivative</A>) تابع گاما (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html">gamma function</A>) داده می شود (یا، بنابر اقتضای تعریف، مشتق لگاریتمی فاکتوریل).</P> <P align=justify>به خاطر این ابهام و گنگی در تعریف، دو نوع نمادگذاری متفاوت غالباْ (نه همیشه) مورد استفاده قرار می </P> <P align=justify>گیرد، اولی</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=36 alt=" Psi(z)=d/(dz)lnGamma(z)=(Gamma^'(z))/(Gamma(z)) " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/NumberedEquation1.gif" width=154 border=0>               </P> <P align=justify>به صورت مشتق لگاریتمی تابع گاما <IMG class=inlineformula height=14 alt=Gamma(z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline1.gif" width=26 border=0> و دومی به شکل</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=36 alt=" F(z)=d/(dz)lnz! " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/NumberedEquation2.gif" width=90 border=0>               </P> <P align=justify>مشتق لگاریتمی تابع فاکتوریل تعریف می شود. این دو به وسیله ی رابطه ی </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=14 alt=" F(z)=Psi(z+1). " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/NumberedEquation3.gif" width=95 border=0>             </P> <P align=justify>به هم مرتبط می شوند.</P> <P align=justify> <IMG class=inlineformula height=14 alt=n src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline2.gif" width=7 border=0>امین مشتق <IMG class=inlineformula height=14 alt=Psi(z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline3.gif" width=26 border=0> تابع چندگاما (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/PolygammaFunction.html">polygamma function</A>) نامیده و با  <IMG class=inlineformula height=16 alt=psi_n(z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline4.gif" width=32 border=0> نشان داده می شود. لذا نمادگذاری</P> <P align=left> <TABLE style="PADDING-LEFT: 50px" cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" align=center> <TBODY> <TR> <TD align=left><IMG class=numberedequation height=16 alt=" psi_0(z)=Psi(z) " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/NumberedEquation4.gif" width=73 border=0></TD></TR></TBODY></TABLE></P> <P align=justify>به طور رایج برای خود تابع دی گاما بکار می رود و (Erdélyi <I>et al. </I>(1981 از <IMG class=inlineformula height=14 alt=psi(z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline5.gif" width=26 border=0> برای <IMG class=inlineformula height=14 alt=Psi(z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline6.gif" width=26 border=0> استفاده می کند.</P> <P align=justify> تابع دی گاما <IMG class=inlineformula height=16 alt=psi_0(z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline7.gif" width=32 border=0> در سری های ساده ای مانند زیر ظاهر می شود:</P> <P align=left><IMG class=displayformula height=40 alt=(Phi(-1,-1,z^(-1)))/z src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline11.gif" width=91 border=0>    <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline10.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=45 alt=sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(zk+1) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline9.gif" width=60 border=0>             </P> <P align=left> <TABLE style="PADDING-LEFT: 50px" cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" align=center border=0> <TBODY> <TR> <TD align=middle width=14></TD> <TD align=left><IMG class=displayformula height=36 alt=1/(2z)[psi_0((z+1)/(2z))-psi_0(1/(2z))], src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline14.gif" width=156 border=0>    <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline10.gif" width=9 border=0>               </TD></TR></TBODY></TABLE></P> <P align=justify>که <IMG class=inlineformula height=14 alt=Phi(z,s,a) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline15.gif" width=54 border=0>در آن مافوق لرچ (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/LerchTranscendent.html">Lerch transcendent</A>) است.</P> <P align=justify>موارد خاص عبارت اند از</P> <P align=left><IMG class=displayformula height=14 alt=ln2 src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline18.gif" width=21 border=0>  <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline17.gif" width=9 border=0>  <IMG class=displayformula height=45 alt=sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(k+1) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline16.gif" width=55 border=0>              </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=23 alt=1/4pi src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline21.gif" width=19 border=0>  <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline20.gif" width=9 border=0>  <IMG class=displayformula height=45 alt=sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(2k+1) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline19.gif" width=61 border=0>            </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=25 alt=1/9(sqrt(3)pi+3ln2) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline24.gif" width=99 border=0>  <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline23.gif" width=9 border=0>  <IMG class=displayformula height=45 alt=sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(3k+1) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline22.gif" width=61 border=0>            </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=46 alt=(pi+2coth^(-1)(sqrt(2)))/(4sqrt(2)). src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline27.gif" width=110 border=0>  <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline26.gif" width=9 border=0> <IMG class=displayformula height=45 alt=sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(4k+1) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline25.gif" width=61 border=0>            </P> <P align=justify>قضیه ی دی گامای گائوس (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/GausssDigammaTheorem.html">Gauss's digamma theorem</A>) می گوید که</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=44 alt=" (Gamma^'(p/q))/(Gamma(p/q))=-gamma-ln(2q)-1/2picot((pip)/q)+2sum_(0<n<q/2)cos((2pipn)/q)ln[sin((pin)/q)] " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/NumberedEquation5.gif" width=442 border=0>       </P> <P align=justify>(Allouche 1992, Knuth 1997, p. 94). </P> <P align=justify>بسط مجانبی (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/AsymptoticExpansion.html">asymptotic expansion</A>) برای تابع دی گاما به صورت زیر ارائه می شود:</P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt="d/(dz)lim_(n->infty)[lnn!+zlnn-ln(z+1)-ln(z+2)-...-ln(z+n)]" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline30.gif" width=345 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt=∼ src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline29.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=16 alt=psi_0(z+1) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline28.gif" width=53 border=0>     </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=36 alt="lim_(n->infty)(lnn-1/(z+1)-1/(z+2)-...-1/(z+n))" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline33.gif" width=221 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline32.gif" width=9 border=0>                     </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=45 alt=-gamma-sum_(n=1)^(infty)(1/(z+n)-1/n) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline36.gif" width=120 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline35.gif" width=9 border=0>                     </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=45 alt=-gamma+sum_(n=1)^(infty)z/(n(n+z)) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline39.gif" width=101 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline38.gif" width=9 border=0>                     </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=45 alt=lnz+1/(2z)-sum_(n=1)^(infty)(B_(2n))/(2nz^(2n)), src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline42.gif" width=132 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline41.gif" width=9 border=0>                   </P> <P align=justify>که <IMG class=inlineformula height=14 alt=gamma src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline43.gif" width=8 border=0> ثابت اویلر ماشرونی (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html">Euler-Mascheroni constant</A>) و <IMG class=inlineformula height=16 alt=B_(2n) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline44.gif" width=21 border=0> اعداد برنولی (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/BernoulliNumber.html">Bernoulli numbers</A>) هستند. </P> <P align=justify>تابع دی گاما در رابطه ی مهم زیر صدق می کند:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=38 alt=" psi_0(z)=int_0^infty((e^(-t))/t-(e^(-zt))/(1-e^(-t)))dt. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/NumberedEquation6.gif" width=180 border=0>           </P> <P align=justify>که برای عدد صحیح <IMG class=inlineformula height=14 alt=z=n src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline45.gif" width=29 border=0>،</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=47 alt=" psi_0(n)=-gamma+sum_(k=1)^(n-1)1/k=-gamma+H_(n-1), " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/NumberedEquation7.gif" width=193 border=0>          </P> <P align=justify>که <IMG class=inlineformula height=14 alt=gamma src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline43.gif" width=8 border=0> ثابت اویلر ماشرونی (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html">Euler-Mascheroni constant</A>) و  <IMG class=inlineformula height=16 alt=H_n src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline47.gif" width=16 border=0> یک عدد هارمونیک یا همساز (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html">harmonic number</A>) است.</P> <P align=justify>دیگر اتحادهایی که این تابع در آنها شرکت دارد، عبارت اند از:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=45 alt=" (dpsi_0)/(dz)=sum_(n=0)^infty1/((z+n)^2) " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/NumberedEquation8.gif" width=112 border=0>        </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=16 alt=" psi_0(1-z)-psi_0(z)=picot(piz) " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/NumberedEquation9.gif" width=170 border=0>       </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=36 alt=" psi_0(z+1)=psi_0(z)+1/z " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/NumberedEquation10.gif" width=128 border=0>        </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=23 alt=" psi_0(2z)=1/2psi_0(z)+1/2psi_0(z+1/2)+ln2. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/NumberedEquation11.gif" width=221 border=0>        </P> <P align=justify>مقادیر ویژه برابراند با</P> <P align=left><IMG class=displayformula height=14 alt=-gamma-2ln2 src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline50.gif" width=62 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline49.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=23 alt=psi_0(1/2) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline48.gif" width=35 border=0>       </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=14 alt=-gamma. src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline53.gif" width=21 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline52.gif" width=9 border=0>  <IMG class=displayformula height=16 alt=psi_0(1) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline51.gif" width=33 border=0>       </P> <P align=justify>در مقادیر صحیح،</P> <P align=left><IMG class=displayformula height=47 alt=-gamma+sum_(k=1)^(n-1)1/k src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline56.gif" width=63 border=0>    <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline55.gif" width=9 border=0>  <IMG class=displayformula height=16 alt=psi_0(n) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline54.gif" width=33 border=0>      </P> <P align=left><IMG class=displayformula height=16 alt=-gamma+H_(n-1) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline59.gif" width=59 border=0>    <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline58.gif" width=9 border=0>                </P> <P align=justify>Derbyshire 2003, p. 58). و در مقادیر نیمه انتگرالی داریم:</P> <P align=left><IMG class=displayformula height=45 alt=-gamma-2ln2+2sum_(k=1)^(n)1/(2k-1) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline62.gif" width=147 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline61.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=23 alt=psi_0(1/2+n) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline60.gif" width=56 border=0></P> <P align=left><IMG class=displayformula height=16 alt=-gamma+H_(n-1/2), src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline65.gif" width=71 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline64.gif" width=9 border=0>                  </P> <P align=justify>که در آن  <IMG class=inlineformula height=16 alt=H_n src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline47.gif" width=16 border=0> یک عدد هارمونیک یا همساز (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html">harmonic number</A>) است.</P> <P align=justify>با استفاده از انتگرال مربع واحد (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/UnitSquareIntegral.html">unit square integral</A>) برای <IMG class=inlineformula height=14 alt="u>0" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline67.gif" width=30 border=0> نیز می توان این تابع را ظاهر کرد:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=37 alt=" psi_0(u)=lnu-int_0^1int_0^1(1-x)/((1-xy)(-lnxy))(xy)^(u-1)dxdy " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/NumberedEquation12.gif" width=309 border=0>        </P> <P align=justify>(Guillera and Sondow 2005). وارد کردن <IMG class=inlineformula height=14 alt=u=1 src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline68.gif" width=32 border=0>  در این معادله حالت خاص شامل ثابت اویلر ماشرونی (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html">Euler-Mascheroni constant</A>) را بدست می دهد. </P> <P align=justify>سری منتسب به <IMG class=inlineformula height=16 alt=psi_0(z) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline69.gif" width=32 border=0> به شکل زیر است:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=45 alt=" psi_0(z)=-1/z+sum_(n=0)^infty(psi_n(1))/(n!)z^n. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/NumberedEquation13.gif" width=158 border=0>        </P> <P align=justify>یک سری لگاریتمی از تابع اخیر داریم که صورت زیر را داراست:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=45 alt=" psi_0(z)=sum_(n=0)^infty1/(n+1)sum_(k=0)^n(-1)^k(n; k)ln(z+k) " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/NumberedEquation14.gif" width=232 border=0>       </P> <P align=justify>(Guillera and Sondow 2005). یک اتحاد شگفت انگیز که از سری فاکس ترات (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/FoxTrotSeries.html">FoxTrot series</A>) ناشی می شود عبارت است از</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=24 alt=" -psi_0(1/2(-1)^(1/3))-psi_0(-1/2(-1)^(2/3))+psi_0(1/2(1+(-1)^(1/3)))+psi_0(1/2(1-1(-1)^(2/3)))=2pisech(1/2sqrt(3)pi). " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/NumberedEquation15.gif" width=565 border=0></P> <P align=justify>منابع:</P> <P class=Reference align=left>Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in <I>Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing.</I> New York: Dover, pp. 258-259, 1972. </P> <P class=Reference align=left>Allouche, J.-P. "Series and Infinite Products related to Binary Expansions of Integers." 1992. http://algo.inria.fr/seminars/sem92-93/allouche.ps. </P> <P class=Reference align=left>Arfken, G. "Digamma and Polygamma Functions." §10.2 in <I>Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed.</I> Orlando, FL: Academic Press, pp. 549-555, 1985. </P> <P class=Reference align=left>Boros, G. and Moll, V. "The Psi Function." §10.11 in <I>Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals.</I> Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 212-215, 2004. </P> <P class=Reference align=left>Derbyshire, J. <I>Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics.</I> New York: Penguin, 2004. </P> <P class=Reference align=left>Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "The <IMG class=inlineformula height=14 alt=psi src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline70.gif" width=9 border=0> Function." §1.7 in <I>Higher Transcendental Functions, Vol. 1.</I> New York: Krieger, pp. 15-20, 1981. </P> <P class=Reference align=left>Guillera, J. and Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch's Transcendent." 16 June 2005 http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319. </P> <P class=Reference align=left>Havil, J. <I>Gamma: Exploring Euler's Constant.</I> Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003. </P> <P class=Reference align=left>Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "The Digamma (<IMG class=inlineformula height=14 alt=F src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline71.gif" width=12 border=0>) and Trigamma (<IMG class=inlineformula height=14 alt="F^'" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline72.gif" width=16 border=0>) Functions." <I>Methods of Mathematical Physics, 3rd ed.</I> Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 465-466, 1988. </P> <P class=Reference align=left>Knuth, D. E. <I>The Art of Computer Programming, Vol. 1: Fundamental Algorithms, 3rd ed.</I> Reading, MA: Addison-Wesley, 1997. </P> <P class=Reference align=left>Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Digamma Function <IMG class=inlineformula height=14 alt=psi(x) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline73.gif" width=27 border=0>." Ch. 44 in <I>An Atlas of Functions.</I> Washington, DC: Hemisphere, pp. 423-434, 1987</P> Tue, 07 Oct 2008 09:22:18 GMT http://commenting.blogfa.com/?blogid=mathnews&postid=65 mathnews http://mathnews.blogfa.com/post-65.aspx http://mathnews.blogfa.com/post-64.aspx یکی از دوستان* در سوالی از ما خواسته بودند که ارتباط تابع <P></P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=35 alt=" (3sinx)/(2+cosx)=x-1/(180)x^5-1/(1512)x^7-1/(25920)x^9+1/(3991680)x^(11)+... " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/IdentityFunction/NumberedEquation1.gif" width=343 border=0>             </P> <P align=justify>با تابع همانی <IMG class=inlineformula height=14 alt=id(x)=x src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/IdentityFunction/Inline2.gif" width=54 border=0> را که در حدود دو پست پیش راجع به آن صحبت شد، توضیح دهیم. </P> <P align=justify>در حقیقت ارتباط میان این دو تابع را می توان به وضوح در شکل زیر مشاهده کرد:</P> <P align=center><IMG alt="" hspace=0 src="http://xs537.xs.to/xs537/09131/2l9k5yv759.jpg" align=baseline border=0></P> <P align=justify>می بینیم که برای xهای کوچک در بازه [0,1] هر دو تابع بر هم منطبق هستند. (همین شرایط در بازه ی[1,0-] نیز برقرار است.) برای x=1 تابع فوق جوابی معادل 0.9937450941 را بدست می دهد که در حدود 0.0062549059 با ۱ فاصله دارد. لذا این تابع می تواند برای xهای کوچک در حکم تابع همانی باشد.</P> <P>سوال دیگری که مطرح شده بود، در رابطه با توضیح قضیه ناتمامی گودل بود که در این باره باید عرض کنم که این اثبات بسیار ساده ولی خیلی زیرکانه است. شما می توانید مقاله ی کوتاهی از نحوه ی اثبات او را در این <A href="http://www.4shared.com/file/66117145/8a6a27d8/Godel_Proof.html">لینک</A> (زبان انگلیسی) ببنید. </P> <P> <HR> <P></P>* <A href="http://mshj.blogfa.com/">محمد اسماعیل حسنی</A> Mon, 06 Oct 2008 09:33:18 GMT http://commenting.blogfa.com/?blogid=mathnews&postid=64 mathnews http://mathnews.blogfa.com/post-64.aspx http://mathnews.blogfa.com/post-61.aspx <P align=justify>تابع دلتا یک تابع تعمیم یافته (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedFunction.html">generalized function</A>) است که می تواند در قالب حد یک دسته از دنباله های دلتا (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/DeltaSequence.html">delta sequences</A>) تعریف شود. تابع دلتا معمولا "تابع دلتای دیراک" یا "نماد ضربه" خوانده می شود (Bracewell 1999). </P> <P align=justify>به طور مرسوم، <IMG class=inlineformula height=14 alt=delta src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline1.gif" width=7 border=0> تابعی خطی از یک فضای (عموماْ به صورت یک فضای شوارتز <IMG class=inlineformula height=14 alt=S src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline2.gif" width=8 border=0> (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/SchwartzSpace.html">Schwartz space</A>) یا فضای همه ی توابع مسطح محمل های فشرده <IMG class=inlineformula height=14 alt=D src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline3.gif" width=11 border=0> در نظر گرفته می شود) توابع آزمون <IMG class=inlineformula height=14 alt=f src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline4.gif" width=8 border=0> است. کنش دلتا روی <IMG class=inlineformula height=14 alt=f src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline4.gif" width=8 border=0> معمولا با <IMG class=inlineformula height=14 alt=delta[f] src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline7.gif" width=27 border=0> یا <IMG class=inlineformula height=14 alt="<delta,f>" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline8.gif" width=33 border=0> نشان داده می شود که برای هر تابع <IMG class=inlineformula height=14 alt=f src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline10.gif" width=8 border=0>. مقدار آن را در نقطه ی صفر بدست می دهد. در متون مهندسی، خصیصه ی تابعی تابع دلتا غالباْ نادیده گرفته می شود.</P> <P align=justify>تابع دلتا را می توان به صورت مشتق تابع یکه ی هوی ساید (<A class=Hyperlink href="http://mathworld.wolfram.com/HeavisideStepFunction.html">Heaviside step function</A>) نشان داد:</P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=35 alt=" d/(dx)[H(x)]=delta(x) " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation1.gif" width=105 border=0>                      </P> <P class=Text>(Bracewell 1999, p. 94). </P> <P class=Text>تابع دلتا دارای ویژگی بنیادین زیر است:</P> <P class=Text align=left><IMG class=numberedequation height=34 alt=" int_(-infty)^inftyf(x)delta(x-a)dx=f(a) " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation2.gif" width=162 border=0>        </P> <P class=Text align=justify>و، در واقع، </P> <P class=Text align=left><IMG class=numberedequation height=36 alt=" int_(a-epsilon)^(a+epsilon)f(x)delta(x-a)dx=f(a) " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation3.gif" width=169 border=0>     </P> <P class=Text align=justify>برای <IMG class=inlineformula height=14 alt="epsilon>0" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline11.gif" width=29 border=0>. </P> <P class=Text align=justify>اتحادهای دیگر، شامل</P> <P class=Text align=left><IMG class=numberedequation height=14 alt=" delta(x-a)=0 " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation4.gif" width=71 border=0>                </P> <P class=Text align=justify>برای <IMG class=inlineformula height=14 alt=x!=a src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline12.gif" width=30 border=0> و بعلاوه </P> <P class=Text align=left><IMG class=displayformula height=36 alt=1/(|a|)delta(x) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline15.gif" width=45 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline14.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=14 alt=delta(ax) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline13.gif" width=35 border=0>                 </P> <P class=Text align=left><IMG class=displayformula height=36 alt=1/(2|a|)[delta(x+a)+delta(x-a)] src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline18.gif" width=146 border=0>  <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline17.gif" width=9 border=0>  <IMG class=displayformula height=21 alt=delta(x^2-a^2) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline16.gif" width=57 border=0>            </P> <P class=Text align=justify>می شوند.</P> <P class=Text align=justify>به طور کلی تر، تابع دلتای تابعی از متغیر  <IMG class=inlineformula height=14 alt=x src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline19.gif" width=7 border=0> به صورت زیر داده می شود:</P> <P class=Text align=left><IMG class=numberedequation height=42 alt=" delta[g(x)]=sum_(i)(delta(x-x_i))/(|g^'(x_i)|), " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation5.gif" width=137 border=0>               </P> <P class=Text align=justify>که در آن، <IMG class=inlineformula height=16 alt=x_i src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline20.gif" width=10 border=0>ها ریشه های <IMG class=inlineformula height=14 alt=g src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline21.gif" width=7 border=0> هستند. به عنوان مثال، برای تابع </P> <P class=Text align=left><IMG class=numberedequation height=21 alt=" delta(x^2+x-2)=delta[(x-1)(x+2)]. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation6.gif" width=189 border=0>                </P> <P class=Text align=justify>داریم <IMG class=inlineformula height=14 alt="g^'(x)=2x+1" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline22.gif" width=85 border=0> که بنابراین <IMG class=inlineformula height=14 alt="g^'(x_1)=g^'(1)=3" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline23.gif" width=107 border=0> و  <IMG class=inlineformula height=14 alt="g^'(x_2)=g^'(-2)=-3" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline24.gif" width=126 border=0> بدست می دهند:</P> <P class=Text align=left><IMG class=numberedequation height=24 alt=" delta(x^2+x-2)=1/3delta(x-1)+1/3delta(x+2). " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation7.gif" width=224 border=0>                 </P> <P class=Text align=justify>تابع اصلی که مشتقات تابع دلتا <IMG class=inlineformula height=14 alt=delta(x) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline25.gif" width=25 border=0> مشخص می کند، عبارت است از </P> <P align=left><IMG class=numberedequation height=35 alt=" intf(x)delta^((n))(x)dx=-int(partialf)/(partialx)delta^((n-1))(x)dx. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation8.gif" width=233 border=0>          </P> <P class=Text align=justify>با فرض <IMG class=inlineformula height=14 alt=f(x)=xg(x) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline26.gif" width=79 border=0>، در این تعریف، نتیجه می دهد:</P> <P class=Text align=left><IMG class=displayformula height=35 alt=-intdelta(x)partial/(partialx)[xg(x)]dx src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline29.gif" width=137 border=0>    <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline28.gif" width=9 border=0>   <IMG class=displayformula height=33 alt="intxg(x)delta^'(x)dx" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline27.gif" width=100 border=0>       </P> <P class=Text align=left><IMG class=displayformula height=33 alt="-intdelta(x)[g(x)+xg^'(x)]dx" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline32.gif" width=158 border=0>    <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline31.gif" width=9 border=0>                                   </P> <P class=Text align=left><IMG class=displayformula height=33 alt=-intg(x)delta(x)dx, src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline35.gif" width=100 border=0>     <IMG class=displayformula height=14 alt== src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline34.gif" width=9 border=0>                                  </P> <P class=Text align=justify>که در آن جمله ی دوم به این دلیل از قلم افتاد که  <IMG class=inlineformula height=21 alt="intxg^'(x)delta(x)dx=0" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline36.gif" width=119 border=0>، در نتیجه روابط بالا تساوی زیر را محقق می سازند:</P> <P class=Text align=left><IMG class=numberedequation height=14 alt=" xdelta^'(x)=-delta(x). " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation9.gif" width=94 border=0>                         </P> <P class=Text align=justify>در کل، رویه ای مشابه آنچه در بالا آمد، ما را به نتیجه ی بهتری می رساند</P> <P class=Text align=left><IMG class=numberedequation height=35 alt=" int[x^nf(x)]delta^((n))(x)dx=(-1)^nint(partial^n[x^nf(x)])/(partialx^n)delta(x)dx, " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation10.gif" width=307 border=0>                </P> <P class=Text align=justify>اما چون هر توان <IMG class=inlineformula height=14 alt=x src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline37.gif" width=7 border=0> ضربدر  <IMG class=inlineformula height=14 alt=delta(x) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline38.gif" width=25 border=0> در انتگرالگیری به صفر ختم می شود، لذا تنها جمله ی ثابت در انتگرالگیری شرکت می کند. از اینرو، همه ی جملات ضرب شده در مشتقات <IMG class=inlineformula height=14 alt=f(x) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline39.gif" width=26 border=0> صفر می شوند، و  تنها <IMG class=inlineformula height=14 alt=n!f(x) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline40.gif" width=42 border=0> باقی می ماند که آن هم به معادله ی زیر می انجامد:</P> <P class=Text align=left><IMG class=numberedequation height=33 alt=" int[x^nf(x)]delta^((n))(x)dx=(-1)^nn!intf(x)delta(x)dx, " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation11.gif" width=281 border=0>                </P> <P class=Text align=justify>که بر رابطه ی زیر دلالت می کند:</P> <P class=Text align=left><IMG class=numberedequation height=17 alt=" x^ndelta^((n))(x)=(-1)^nn!delta(x). " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/NumberedEquation12.gif" width=147 border=0>               </P> <P class=Text align=justify>لینک مربوطه: <A href="http://mathnews.blogfa.com/post-67.aspx">تابع دلتا ۲ (Delta Function 2)</A></P> <P class=Text align=justify>منابع:</P> <P class=Reference align=left>Arfken, G. <I>Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed.</I> Orlando, FL: Academic Press, pp. 481-485, 1985. </P> <P class=Reference align=left>Bracewell, R. "The Impulse Symbol." Ch. 5 in <I>The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed.</I> New York: McGraw-Hill, pp. 69-97, 1999. </P> <P class=Reference align=left>Dirac, P. A. M. <I>Quantum Mechanics, 4th ed.</I> London: Oxford University Press, 1958. </P> <P class=Reference align=left>Gasiorowicz, S. <I>Quantum Physics.</I> New York: Wiley, pp. 491-494, 1974. </P> <P class=Reference align=left>Kanwal, R. P. "Applications to Ordinary Differential Equations." Ch. 6 in <I>Generalized Functions, Theory and Technique, 2nd ed.</I> Boston, MA: Birkhäuser, pp. 291-255, 1998. </P> <P class=Reference align=left>Papoulis, A. <I>Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed.</I> New York: McGraw-Hill, pp. 97-98, 1984. </P> <P class=Reference align=left>Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Dirac Delta Function <IMG class=inlineformula height=14 alt=delta(x-a) src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline101.gif" width=47 border=0>." Ch. 10 in <I>An Atlas of Functions.</I> Washington, DC: Hemisphere, pp. 79-82, 1987. </P> <P class=Reference align=left>van der Pol, B. and Bremmer, H. <I>Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral.</I> Cambridge, England: Cambridge University Press, 1955.    </P> Sun, 05 Oct 2008 17:24:18 GMT http://commenting.blogfa.com/?blogid=mathnews&postid=61 mathnews http://mathnews.blogfa.com/post-61.aspx