رياضيات زيبا

ریاضیات عالی و معاصر

تبدیلات لاپلاس (2)

جال مشتق گیری را در نظر می گیریم. فرض کنیم  f(t)،  n-1 بار در [0,infty) مشتق پذیر باشد. اگر  |f(t)|<=Me^(at)، آنگاه

 L_t[f^((n))(t)](s)=s^nL_t[f(t)]-s^(n-1)f(0)-s^(n-2)f^'(0)-...-f^((n-1))(0).         

این را میتوان به کمک انتگرال جزء به جزء آشکار ساخت:

lim_(a->infty)int_0^ae^(-st)f^'(t)dt   =   L_t[f^'(t)](s)         

lim_(a->infty){[e^(-st)f(t)]_0^a+sint_0^ae^(-st)f(t)dt}   =                              

lim_(a->infty)[e^(-sa)f(a)-f(0)+sint_0^ae^(-st)f(t)dt]   =                              

sL_t[f(t)]-f(0).  =                              

ادامه ی این روش به مشتقات مرتبه ی بالاتر نتیجه می دهد:

 L_t[f^('')(t)](s)=s^2L_t[f(t)](s)-sf(0)-f^'(0).            

ار این خاصیت تبدیل لاپلاس می توان در تبدیل معادلات دیفرانسیل به معادلاتی جبری استفاده کرد که به حساب هوی ساید (Heaviside calculus) معروف است. آنگاه با انجام تبدیل وارون می توان به پاسخ دست یافت. به عنوان مثال، بکار بردن تبدیل لاپلاس برای معادله ی دیفرانسیلی

 f^('')(t)+a_1f^'(t)+a_0f(t)=0            

خواهیم داشت:

 {s^2L_t[f(t)](s)-sf(0)-f^'(0)}+a_1{sL_t[f(t)](s)-f(0)}+a_0L_t[f(t)](s)=0          

 L_t[f(t)](s)(s^2+a_1s+a_0)-sf(0)-f^'(0)-a_1f(0)=0,        

که آخری را می توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

 L_t[f(t)](s)=(sf(0)+f^'(0)+a_1f(0))/(s^2+a_1s+a_0).        

اگر تبدیل وارون لاپلاس را بتوان بر این معادله اعمال کرد، آن گاه معادله ی دیفرانسیل اصلی حل می شود.

تبدیل لاپلاس در چند خاصیت مهم صدق می کند. نمایی کردن (exponentiation) را در نظر بگیرید. اگر برای  (یعنی  تبدیل لاپلاس f باشد)، آن گاه برای s>a+alpha صحیح است. زیرا

int_0^inftyfe^(-(s-a)t)dt   =       F(s-a)           

int_0^infty[f(t)e^(at)]e^(-st)dt    =                              

L_t[e^(at)f(t)](s).   =                              

همچنین تبدیل لاپلاس خواص زیبایی را برای انتگرال های توابع دارد. اگر  f(t) تکه ای پیوسته (piecewise continuous) بوده و |f(t)|<=Me^(at)، در آن صورت

 L_t[int_0^tf(t^')dt^']=1/sL_t[f(t)](s).       

مطالب مرتبط: تبدیلات لاپلاس (۱)

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Laplace Transforms." Ch. 29 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 1019-1030, 1972.

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 824-863, 1985.

Churchill, R. V. Operational Mathematics. New York: McGraw-Hill, 1958.

Doetsch, G. Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation. Berlin: Springer-Verlag, 1974.

Franklin, P. An Introduction to Fourier Methods and the Laplace Transformation. New York: Dover, 1958.

Graf, U. Applied Laplace Transforms and z-Transforms for Scientists and Engineers: A Computational Approach using a Mathematica Package. Basel, Switzerland: Birkhäuser, 2004.

Jaeger, J. C. and Newstead, G. H. An Introduction to the Laplace Transformation with Engineering Applications. London: Methuen, 1949.

Henrici, P. Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 2: Special Functions, Integral Transforms, Asymptotics, Continued Fractions. New York: Wiley, pp. 322-350, 1991.

Krantz, S. G. "The Laplace Transform." §15.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 212-214, 1999.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 467-469, 1953.

Oberhettinger, F. Tables of Laplace Transforms. New York: Springer-Verlag, 1973.

Oppenheim, A. V.; Willsky, A. S.; and Nawab, S. H. Signals and Systems, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1997.

Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 4: Direct Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.

Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 5: Inverse Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.

Spiegel, M. R. Theory and Problems of Laplace Transforms. New York: McGraw-Hill, 1965.

Weisstein, E. W. "Books about Laplace Transforms." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/LaplaceTransforms.html.

Widder, D. V. The Laplace Transform. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1941.

Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 231 and 543, 1995.

Dated 04/04/2009 

+ نوشته شده در  ساعت 19:7  توسط علیرضا بهتاش  |