X
تبلیغات
رياضيات زيبا - تبدیلات لاپلاس (1)

رياضيات زيبا

ریاضیات عالی و معاصر

تبدیلات لاپلاس (1)

تبدیل لاپلاس (Laplace transform) یک تبدیل انتگرالی (integral transform) است که شاید نسبت به کارکرد تبدیل فوریه (Fourier transform) در حل مسائل فیزیکی در رتبه ی دوم قرار دارد. تبدیل لاپلاس به ویژه در حل معادلات دیفرانسیل معمولی (ordinary differential equations) که در تجزیه و تحلیل مدارهای الکترونیکی مطرح می شوند، دارای کاربرد فراوان است.

تبدیل لاپلاس (یک طرفه)  L، که نبایستی آن را با مشتق لی (Lie derivative) که آن را هم معمولاْ با L نشان می دهند اشتباه گرفته شود، به صورت زیر تعریف می شود:

 L_t[f(t)](s)=int_0^inftyf(t)e^(-st)dt,              

که  f(t) برای t>=0 تعریف می شود (Abramowitz and Stegun 1972). این تبدیل عموماً آن چیزی است که با عنوان تبدیل لاپلاس شناخته می شود، اگر چه یک تبدیل لاپلاس دوطرفه (bilateral Laplace transform) هم داریم که معمولاً به صورت زیر تعریف می شود:

 L_t^((2))[f(t)](s)=int_(-infty)^inftyf(t)e^(-st)dt            

(Oppenheim et al. 1997).

تبدیل لاپلاس معکوس به انتگرال برومویچ (Bromwich integral) معروف است و گاهاً با عنوان انتگرال ملین-فوریه (Fourier-Mellin) نیز شناخته می شود.

جدول زیر، تعدادی از تبدیلات مهم لاپلاس یک طرفه را نشان می دهد:

f L_t[f(t)](s)

شرایط

1 1/s
t 1/(s^2)
t^n (n!)/(s^(n+1)) n in Z>=0
t^a (Gamma(a+1))/(s^(a+1)) R[a]>-1
e^(at) 1/(s-a)
cos(omegat) s/(s^2+omega^2) omega in R
sin(omegat) a/(s^2+omega^2) s>|I[omega]|
cosh(omegat) s/(s^2-omega^2) s>|R[omega]|
sinh(omegat) a/(s^2-omega^2) s>|I[omega]|
e^(at)sin(bt) b/((s-a)^2+b^2) s>a+|I[b]|
e^(at)cos(bt) (s-a)/((s-a)^2+b^2) b in R
delta(t-c) e^(-cs)
H_c(t) {1/s   for c<=0; (e^(-cs))/s   for c>0
J_0(t) 1/(sqrt(s^2+1))
J_n(at) ((sqrt(s^2+a^2)-s)^n)/(a^nsqrt(s^2+a^2)) n in Z>=0

 در جدول بالا،  J_0(t) تابع بسل نوع اول (Bessel function of the first kind) مرتبه ی صفرام، delta(t) تابع دلتا (delta function) و H_c(t) تابع پله ی هوی ساید (Heaviside step function) هستند.

تبدیل لاپلاس خواص بسیار مهمی دارد. قضیه ی وجود تبدیل لاپلاس بیان می کند که اگر f(t) روی هر بازه ی متناهی در [0,infty) تکه ای پیوسته * باشد و برای همه ی t in [0,infty) در

 |f(t)|<=Me^(at)                 

صدق کند، آن گاه  L_t[f(t)](s) برای همه ی s>a موجود است. تبدیل لاپلاس یکتا (unique) است، به این معنی که با داشتن دو تابع  F_1(t) و  F_2(t) با تبدیل یکسان، داریم:

 L_t[F_1(t)](s)=L_t[F_2(t)](s)=f(s),        

آن گاه قضیه ی لرچ (Lerch's theorem) تایید می کند که انتگرال

 int_0^aN(t)dt=0           

برای همه ی a>0 برای یک تابع صفر (پوچ - null function) با معادله ی

 N(t)=F_1(t)-F_2(t).                    

صفر می شود. تبدیل لاپلاس خطی است، زیرا

int_0^infty[af(t)+bg(t)]e^(-st)dt   =   L_t[af(t)+bg(t)]         

aint_0^inftyfe^(-st)dt+bint_0^inftyge^(-st)dt   =                                       

aL_t[f(t)]+bL_t[g(t)].    =                                       

تبدیل لاپلاس کانولوشن (convolution) به صورت زیر تعریف می شود:

 L_t[f(t)*g(t)]=L_t[f(t)]L_t[g(t)] 
L_t^(-1)[FG]=L_t^(-1)[F]*L_t^(-1)[G].                   

مطالب مرتبط: تبدیلات لاپلاس (۲)

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Laplace Transforms." Ch. 29 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 1019-1030, 1972.

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 824-863, 1985.

Churchill, R. V. Operational Mathematics. New York: McGraw-Hill, 1958.

Doetsch, G. Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation. Berlin: Springer-Verlag, 1974.

Franklin, P. An Introduction to Fourier Methods and the Laplace Transformation. New York: Dover, 1958.

Graf, U. Applied Laplace Transforms and z-Transforms for Scientists and Engineers: A Computational Approach using a Mathematica Package. Basel, Switzerland: Birkhäuser, 2004.

Jaeger, J. C. and Newstead, G. H. An Introduction to the Laplace Transformation with Engineering Applications. London: Methuen, 1949.

Henrici, P. Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 2: Special Functions, Integral Transforms, Asymptotics, Continued Fractions. New York: Wiley, pp. 322-350, 1991.

Krantz, S. G. "The Laplace Transform." §15.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 212-214, 1999.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 467-469, 1953.

Oberhettinger, F. Tables of Laplace Transforms. New York: Springer-Verlag, 1973.

Oppenheim, A. V.; Willsky, A. S.; and Nawab, S. H. Signals and Systems, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1997.

Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 4: Direct Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.

Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 5: Inverse Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.

Spiegel, M. R. Theory and Problems of Laplace Transforms. New York: McGraw-Hill, 1965.

Weisstein, E. W. "Books about Laplace Transforms." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/LaplaceTransforms.html.

Widder, D. V. The Laplace Transform. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1941.

Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 231 and 543, 1995


به تابع یا خمی تکه ای پیوسته می گویند که روی همه ولی تعداد متناهی از نقاط پیوسته است، به طوری که در آن ها گاهاً شرایط تنظیم کننده مورد نیاز است.

+ نوشته شده در  ساعت 22:16  توسط علیرضا بهتاش  |