مسئله یافتن تابعی که مقادیرش به ازای آرگومان های صحیح و مثبت فاکتوریل های ۱=!۱و ۲=!۲ و ۶=!۳ و ... و 1.2.3...n!= n باشند توسط اویلر (Euler) به کمک انتگرال ناسره حل شد.

این تابع به صورت

معرفی میشود. در آنالیز مختلط هر جایی که در آن , ...,2-, 1-  و قسمت حقیقی   (تابع گاما) به شکل  معرفی می شود. تابع گامای اویلر از انتگرالگیری ناسره برای  به صورت

یا

ناشی می شود.

تابع کامل گامای اویلر  از تابع ناکامل (incomplete gamma function)  و تابع ناکامل کوچکتر بدست می آید. این از دیدگاه تفکیک قسمت های مختلط و حقیقی در آنالیز مختلط ما را به تابع گاما که تابعی مستقل است می رساند. به عبارت دیگر تابع گامای اویلر حاصل آنالیز قسمت های مختلط مقدار و حقیقی تابع معرفی شده در بالاست. در توجیه این امر شکل زیر گویای این امر است:

که نمودارهای حقیقی و موهومی از به خوبی گویای امر هستند. معادله ی انتگرالی از قسمت حقیقی به خوبی نشان می دهد

که در آن x عدد طبیعی دلخواه است. بنابراین تابع فاکتوریل تابعی از آرگومان های صحیح مثبت است. یک رابطه ی بسیار زیبا و جالب مابین و  (تابع زتای ریمان) به شکل

برای هر . همچنین این تابع از حاصلضرب نامتناهی (infinite product) جملات به صورت

معرفی می شود. جایی که در آن  ثابت اویلر - ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) است. این رابطه را می توان نوشت:

که  =  و  =.

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Gamma (Factorial) Function" and "Incomplete Gamma Function." §6.1 and 6.5 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 255-258 and 260-263, 1972.

Arfken, G. "The Gamma Function (Factorial Function)." Ch. 10 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 339-341 and 539-572, 1985.

Artin, E. The Gamma Function. New York: Holt, Rinehart, and Winston, 1964.

Bailey, W. N. Generalised Hypergeometric Series. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1935.

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 334-342, 1994.

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 218, 1987.

Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.

Borwein, J. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, p. 6, 1987.

Borwein, J. M. and Zucker, I. J. "Fast Evaluation of the Gamma Function for Small Rational Fractions Using Complete Elliptic Integrals of the First Kind." IMA J. Numerical Analysis 12, 519-526, 1992.

Bourguet, L. "Sur les intégrales Eulériennes et quelques autres fonctions uniformes." Acta Math. 2, 261-295, 1883.

Campbell, R. Les intégrales eulériennes et leurs applications. Paris: Dunod, 1966.

Davis, H. T. Tables of the Higher Mathematical Functions. Bloomington, IN: Principia Press, 1933.

Davis, P. J. "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function." Amer. Math. Monthly 66, 849-869, 1959.

Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "The Gamma Function." Ch. 1 in Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 1-55, 1981.

Finch, S. R. "Euler-Mascheroni Constant." §1.5 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 28-40, 2003.

Gauss, C. F. "Disquisitiones Generales Circa Seriem Infinitam etc. Pars Prior." Commentationes Societiones Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores, Vol. II. 1812. Reprinted in Gesammelte Werke, Bd. 3, pp. 123-163 and 207-229, 1866.

Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Answer to Problem 9.60 in Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

Hardy, G. H. "A Chapter from Ramanujan's Note-Book." Proc. Cambridge Philos. Soc. 21, 492-503, 1923.

Hardy, G. H. "Some Formulae of Ramanujan." Proc. London Math. Soc. (Records of Proceedings at Meetings) 22, xii-xiii, 1924.

Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.

Havil, J. "The Gamma Function." Ch. 6 in Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 53-60, 2003.

Isaacson, E. and Salzer, H. E. "Mathematical Tables--Errata: 19. J. P. L. Bourget, 'Sur les intégrales Eulériennes et quelques autres fonctions uniformes,' Acta Mathematica, v. 2, 1883, pp. 261-295.' " Math. Tab. Aids Comput. 1, 124, 1943.

Koepf, W. "The Gamma Function." Ch. 1 in Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 4-10, 1998.

Krantz, S. G. "The Gamma and Beta Functions." §13.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 155-158, 1999.

Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 46, 1983.

Magnus, W. and Oberhettinger, F. Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics. New York: Chelsea, 1949.

Nielsen, N. "Handbuch der Theorie der Gammafunktion." Part I in Die Gammafunktion. New York: Chelsea, 1965.

Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Gamma Function, Beta Function, Factorials, Binomial Coefficients" and "Incomplete Gamma Function, Error Function, Chi-Square Probability Function, Cumulative Poisson Function." §6.1 and 6.2 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 206-209 and 209-214, 1992.

Sloane, N. J. A. Sequences A000079/M1129, A000142/M1675, A001147/M3002, A030169, A030170, A030171, A030172, and A068466 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Gamma Function " and "The Incomplete Gamma and Related Functions." Chs. 43 and 45 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 411-421 and 435-443, 1987.

Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (XI)." J. London Math. Soc. 6, 59-65, 1931.

Watson, G. N. "Three Triple Integrals." Quart. J. Math., Oxford Ser. 2 10, 266-276, 1939.

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, p. 40, 1986.

Whipple, F. J. W. "A Fundamental Relation between Generalised Hypergeometric Series." J. London Math. Soc. 1, 138-145, 1926.

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

Wrench, J. W. Jr. "Concerning Two Series for the Gamma Function." Math. Comput. 22, 617-626, 1968.