چهار پارامتر , ,  و  یک دوران متناهی پیرامون یک محور دلخواه را توصیف می کنند.. پارامترهای اویلری به صورت زیر مشخص می شوند

(که   بردار قائم یکه است)، و در نمایش اسکالر ـ بردار یک چهارگان (quaternion) هستند.

چون قضیه ی دوران اویلر (Euler's rotation theorem) بیان می کند که یک دوران دلخواه تنها با ۳ پارامتر توصیف می شود، لذا رابطه ای مانند زیر بایستی بین این چهار پارامتر وجود داشته باشد

 (Goldstein 1980, p. 153). ارتباط زاویه ی دوران با پارامترهای اویلر توسط رابطه ی زیر داده می شود

و در نهایت

پارامترهای اویلر را می توان بر حسب جملاتی از زوایای اویلری (Euler angles) نیز نمایش داد

 (Goldstein 1980, p. 155).

با استفاده از پارامترهای اویلری فرمول دوران (rotation formula) به دست می آید

و ماتریس دوران (rotation matrix) به شکل زیر حاصل می شود

که عناصر ماتریس عبارت اند از

در اینجا از قاعده ی جمع اینیشتین استفاده شده است و  تابع دلتای کرونکر (i=j آنگاه ۱=  و در غیر این صورت ۰= ) و   تانسور لوی ـ سیویتا (Levi - Civita) یا نماد جایگشت (permutation symbol) می باشد.

عناصر ماتریس هم به شکل زیر رائه می شوند

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 198-200, 1985.

Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1980.

Landau, L. D. and Lifschitz, E. M. Mechanics, 3rd ed. Oxford, England: Pergamon Press, 1976.