رياضيات زيبا

ریاضیات عالی و معاصر

تبدیلات فوریه (1)

تبدیلات فوریه به طور کلی، تعمیم سری فوریه مختلط  در حالتی است که حد L->infty برقرار باشد. این کار را می توان با تعویض سری مجزای A_n با حاصل ضرب یک انتگرالده در دیفرانسیل متغیر آن F(k)dk و نیز فرض n/L->k انجام داد. سپس سری را به شکل یک انتگرال می نویسیم و معادلات برابر خواهند بود با

int_(-infty)^inftyF(k)e^(2piikx)dk   =   f(x)         

int_(-infty)^inftyf(x)e^(-2piikx)dx.   =   F(k)         

 در اینجا

F_x[f(x)](k)   =   F(k)         

int_(-infty)^inftyf(x)e^(-2piikx)dx   =                   

که تبدیل فوریه ی پیشرو (-i) نامیده می شود و

F_k^(-1)[F(k)](x)   =   f(x)          

int_(-infty)^inftyF(k)e^(2piikx)dk   =                   

تبدیل فوریه وارونه (+i) یا وارون تبدیل فوریه نامیده می شود. نماد F_x[f(x)](k) در ترات (M.Trott) معرفی شده است (2004, p. xxxiv)، و  f^^(k) و f^_(x) بعضی اوقات به ترتیب تبدیل فوریه و تبدیل فوریه ی وارونه نامیده می شوند که غالباْ با همین نام ها شناخته و مرسوم هستند (Krantz 1999, p. 202).

برخی از نویسندگان (خصوصاً فیزیکدانان) ترجیحاْ در نوشتار این تبدیل از بسامد زاویه ای omega=2pinu به جای بسامد نوسان nu استفاده می کنند. اگرچه این به تقارن لطمه می که زوج تبدیلاتی زیر را نتیجه می دهد

F[h(t)]   =   H(omega)       

int_(-infty)^inftyh(t)e^(-iomegat)dt    =                  

F^(-1)[H(omega)]   =   h(t)          

1/(2pi)int_(-infty)^inftyH(omega)e^(iomegat)domega.   =                  

برای برگرداندن تقارن تبدیلات، قرارداد

F[f(t)]   =   g(y)         

1/(sqrt(2pi))int_(-infty)^inftyf(t)e^(-iyt)dt   =                    

F^(-1)[g(y)]   =   f(t)           

1/(sqrt(2pi))int_(-infty)^inftyg(y)e^(iyt)dy   =                    

را بکار می گیریم که در برخی منابع از آن ها استفاده شده است (Mathews and Walker 1970, p. 102).

معمولاْ، زوج تبدیل فوریه ممکن است دو ثابت دلخواه و  بکار برده شوند. مانند

          

            

هر تابعی را می توان همانند رابطه ی زیر به دو جزء زوچ  و فرد  تقسیم کرد

           

تبدیل فوریه را می توان همواره به صورت جملاتی از تبدیل cos فوریه (Fourier cosine transform) و تبدیل sin فوریه (Fourier sine transform) نوشت

که تابع  یک تبدیل به جلو و یک تبدیل فوریه ی وارون را در برمی گیرد

           

(for continuous x را بخوانید پیوسته است در x)

۱- انتگرال  وجود داشته باشد.

۲- تعداد ناپیوستگی ها، متناهی باشد. 

۳- تابع در شرایط مرزی صدق می کند. لذا حداقل باید موید شرط کافی و ضعیف لیپ شیتس باشد. بنابر این شرط هر تابع  با ازای هر  در  صادق باشد اگر

برای تمام ، که  و  مستقل باشند و  و . همچنین  به ازای تمامیها یک کران بالا محسوب می شود. در این صورت وجود خواهد داشت ای که متناهی باشد (Ramirez 1985, p. 29). همچنین هموار کننده ی یک تابع (تعداد مشتق های پیوسته ی بزرگتر) توسط تبدیل فوریه، فشرده می شود.

تبدیل فوریه یک تبدیل خطی است، برای اینکه اگر و  به ترتیب تبدیل فوریه   و باشند، آنگاه

                                               

بنابراین

                  

تبدیل فوریه، همچنین متقارن است. زیرا  و .

نماد  به عنوان کانولوشن (convolution)، شناخته می شود. تبدیلات کانولوشن توابع منحصراً تبدیلات زیبا و جالبی هستند

                             

                               

                 

               

جمله ی اول، به عنوان مشتق تبدیل فوریه مرسوم است. زیرا

                   

                                 

                                 

                                 

که .

همچنین یک رابطه ی بسیار مهم و حیرت آور میان رابط خودکار (autocorrelation) و تبدیل فوربه وجود دارد که به قضیه ی وینر ـ خین چن (Wiener-Khinchin theorem) معروف است. فرض کنیم ، و  همیوغ مختلط (complex conjugate باشد. آنگاه تبدیل فوریه مجذور قدرمطلق (absolute square)  برابر است با

                     

منابع:

Arfken, G. "Development of the Fourier Integral," "Fourier Transforms--Inversion Theorem," and "Fourier Transform of Derivatives." §15.2-15.4 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 794-810, 1985.

Blackman, R. B. and Tukey, J. W. The Measurement of Power Spectra, From the Point of View of Communications Engineering. New York: Dover, 1959.

Bracewell, R. The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, 1999.

Brigham, E. O. The Fast Fourier Transform and Applications. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1988.

Folland, G. B. Real Analysis: Modern Techniques and their Applications, 2nd ed. New York: Wiley, 1999.

James, J. F. A Student's Guide to Fourier Transforms with Applications in Physics and Engineering. New York: Cambridge University Press, 1995.

Kammler, D. W. A First Course in Fourier Analysis. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2000.

Körner, T. W. Fourier Analysis. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1988.

Krantz, S. G. "The Fourier Transform." §15.2 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 202-212, 1999.

Mathews, J. and Walker, R. L. Mathematical Methods of Physics, 2nd ed. Reading, MA: W. A. Benjamin/Addison-Wesley, 1970.

Morrison, N. Introduction to Fourier Analysis. New York: Wiley, 1994.

Morse, P. M. and Feshbach, H. "Fourier Transforms." §4.8 in Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 453-471, 1953.

Oberhettinger, F. Fourier Transforms of Distributions and Their Inverses: A Collection of Tables. New York: Academic Press, 1973.

Papoulis, A. The Fourier Integral and Its Applications. New York: McGraw-Hill, 1962.

Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1989.

Ramirez, R. W. The FFT: Fundamentals and Concepts. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1985.

Sansone, G. "The Fourier Transform." §2.13 in Orthogonal Functions, rev. English ed. New York: Dover, pp. 158-168, 1991.

Sneddon, I. N. Fourier Transforms. New York: Dover, 1995.

Sogge, C. D. Fourier Integrals in Classical Analysis. New York: Cambridge University Press, 1993.

Spiegel, M. R. Theory and Problems of Fourier Analysis with Applications to Boundary Value Problems. New York: McGraw-Hill, 1974.

Stein, E. M. and Weiss, G. L. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1971.

Strichartz, R. Fourier Transforms and Distribution Theory. Boca Raton, FL: CRC Press, 1993.

Titchmarsh, E. C. Introduction to the Theory of Fourier Integrals, 3rd ed. Oxford, England: Clarendon Press, 1948.

Tolstov, G. P. Fourier Series. New York: Dover, 1976.

Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, 2004.

Walker, J. S. Fast Fourier Transforms, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 1996.

 می توانید برای دست یابی به منابع بزرگ تر به کتابخانه ی وبلاگ مراجعه کنید.

+ نوشته شده در  ساعت 3:17  توسط علیرضا بهتاش  |