رياضيات زيبا

ریاضیات عالی و معاصر

مختصات قطبی (polar coordinates)

مختصات قطبی  (مختصات شعاعی)، و  (مختصه ی زاویه ای، که اغلب زاویه ی قطبی polar angle نامیده می شود و در شکل فوق مشخص است) به وسیله ی روابط زیر به مختصات دکارتی مربوط می شوند

rcostheta = x          

rsintheta, = y          

که  فاصله ی شعاعی از مبداء مختصات و  زاویه ی پادساعتگرد از محور -ها است. (شکل)  و  نیز برحسب  و ، در جملات زیر خلاصه می شوند

tan^(-1)(y/x). = theta          

sqrt(x^2+y^2) = r          

معادله ی خم، در مختصات قطبی، به صورت یک معادله ی قطبی (polar equation) و رسم خم در همین مختصات بصورت یک رسم قطبی (polar plot) بیان می شوند.

طول یک خم در مختصات قطبی با علم بر اینکه ، به صورت زیر است

                 

که در مختصات دکارتی به شکل زیر داده می شود (رجوع کنید به اینجا)

          

عنصر خط (line element) در اینجا به صورت زیر تعریف می شود

 ds^2=r^2dtheta^2,       

نیز عنصر مساحت به صورت زیر تعریف می شود

                                                         

  (*)            dA=rdrdtheta.      

که مساحت محصور به خم   عبارت است از

 A=1/2int_(theta_1)^(theta_2)r^2dtheta.         

شیب (slope) یک تابع قطبی  در نقطه ی  به صورت

        

می باشد.

زاویه ی بین مماس و شعاع در نقطه ی  نیز برابر است با

        

 یک خم قطبی تقریبا نسبت به محور x-ها متقارن است، تنها اگر با تعویض  به  معادله ی حاصل ناوردا باقی بماند. همچنین متقارن است نسبت به محور y-ها اگر و فقط اگر با تغییر  به  معادله ی حاصل دست نخورده باقی بماند و در نهایت متقارن است نسبت به مبدا مختصات چنانچه تنها با تغییر  به  معادله ی حاصل هم ارز معادله ی اولیه باشد.

 همان طور که می دانیم در مختصات دکارتی، بردار مکان  هست

 r=sqrt(x^2+y^2)r^^,              

که مشتق آن خواهد بود

 r^.=r^^^.sqrt(x^2+y^2)+r^^(x^2+y^2)^(-1/2)(xx^.+yy^.).              

بردار یکه اش (واحد) معادل است با

 r^^=(xx^^+yy^^)/(sqrt(x^2+y^2)),              

مشتق اش را در زیر می بینیم

 r^^^.=((xy^.-yx^.)(xy^^-yx^^))/((x^2+y^2)^(3/2)).              

در مختصات قطبی نیز بردار مکان (position vector) برابر است با

 r=[rcostheta; rsintheta],              

که مشتقات اول و دوم آن به ترتیب برابرند با

[-rsinthetatheta^.+costhetar^.; rcosthetatheta^.+sinthetar^.]=rtheta^.theta^^+r^.r^^ = r^.            

(r^..-rtheta^.^2)r^^+(2r^.theta^.+rtheta^..)theta^^ = r^..            

(r^..-rtheta^.^2)r^^+1/rd/(dt)(r^2theta^.)theta^^. =              

بردارهای یکه (unit vectors) نیز به صورت زیر است

  ((dr)/(dr))/(|(dr)/(dr)|)=[costheta; sintheta] = r^^           

((dr)/(dtheta))/(|(dr)/(dtheta)|)=[-sintheta; costheta],  = theta^^          

و مشتقاتش

[-sinthetatheta^.; costhetatheta^.]=theta^.theta^^  = r^^^.          

[-costhetatheta^.; -sinthetatheta^.]=-theta^.r^^. = theta^^^.         

می باشد.

+ نوشته شده در  ساعت 14:25  توسط علیرضا بهتاش  |