یکی از شاخه های وسیع ریاضیات، نوع خاصی از تعمیم حساب در آن است. حساب تغییرات (وردشها) در جستجوی یافتن مجموعه ای از مسیرها، خم ها، خمینه ها و ... است که به عنوان توابعی پیوسته و مشتق پذیر دارای اکسترم طولی هستند (که اغلب در مسائل فیزیکی از آن به عنوان کمینه یا بیشینه نیز یاد می شود). در ریاضیات، مقدار این اکسترمم بوسیله ی انتگرال معین زیر نمایش داده می شود:

که در آن

در مسئله ی کوتاه ترین خم زمانی (brachystochrone problem) که توسط یوهان برنولی (Johann BERNOULLI) به سال ۱۶۹۶ علناْ مطرح شد یافتن y ای در انتگرال فوق مطرح است که در آن بتوانیم تعریف ذیل را نمایان سازیم:

اگر دو نقطه ی p1 و p2 در ارتفاعات متفاوت اما نه واقع بر بالای یکدیگر، مفروض باشند، می خواهیم از جمیع خم های ممکن واصل آنها، خمی را بیابیم که یک نقطه ی مادی (material point) از p1 به p2 در امتداد آن و تحت تاثیر گرانی یا ثقل (صرفنظر از اصطکاک) در کوتاهترین زمان ممکن بلغزد.

مسئله ی فوق در آن زمان، ذهن ریاضیدانان پیشرو تمام اروپا، از قبیل: نیوتون، لایب نیتز، یاکوب برنولی، لوپیتال، هود (HUDDE)، فاتیو (FATIO) و ... را به خود مشغول کرد. از این زمان به بعد حساب تغییرات به عنوان عنوان دستگاه ریاضی خاصی توسعه یافته است.

مسئله ی بالا منجر به پیدایش تابع (y(x ای شد که بازای آن مقدار اکسترمم را برای تابع f مطرح کردیم. اما تابع لازم در این مسئله نوع خاصی از جوابی بود که باید در یک معادله ی دیفرانسیل کلی ترصادق باشد. اویلر به همراه لاگرانژ در تحویل مسئله ی تغییرات به معادلات دیفرانسیل توفیق یافت.  معادله ی اویلر ـ لاگرانژ (Euler-Lagrange differential equation) یکی از فرمول های بنیادی حساب تغییرات یا وردش هاست.

وقتی  در انتگرال اول مقدار ثابتی داشته باشد، در این صورت می گوییم معادله ی اویلر ـ لاگرانژ

برقرار است. اگر مشتق نسبت به مولفه ی زمانی تابع y یعنی  را با مشتق مکانی  تعویض کنیم، معادله به شکل زیر تبدیل خواهد شد:

در بسیاری از مسائل فیزیکی،   (مشتق جزئی  نسبت به  ) معلوم می شود که برابر صفر است، بنابراین در موارد خاصی از این قبیل معادله ی اویلر به معادله ی ساده شده و دارای شکل انتگرالی می انجامد که به اتحاد بلترامی (Beltrami identity) موسوم است:

برای سه متغیر مستقل (Arfken 1985, pp. 924-944) رابطه ی اویلر به شکل زیر تعمیم می یابد:

مسائلی که در حساب تغییرات مطرح می شود، اغلب با معادله ی اویلر به سادگی قابل حل هستند. برای اثبات این معادله،  ابتدا مشتق انتگرال اکسترمم را با شرایط زیر و نسبت به q در نظر می گیریم:

که . نماد دلتا به پیشنهاد لاگرانژ به عنوان وردش نوع اول مطرح شدکه مشتق نسبت به اکسترمال یا تابع y (در اینجا q) را نشان می دهد.

با انتگرال گیری جزء به جزء از جمله ی دوم و استفاده از

داریم:

با ترکیب انتگرال اول و انتگرال سوم از معادله ی فوق داریم:

اما ما تنها مسیر را تغییر می دهیم، یعنی نقاط ابتدا و انتها ثابت می مانند. لذا . درنتیجه معادله ی اخیر به شکل زیر تقلیل خواهد یافت:

در این رابطه ما به دنبال مقادیر ثابت نظیر  هستیم. اگر شرط اکسترمال را در نظر بگیریم باید به دنبال نقاطی نظیر مینیمم، ماکزیمم و عطف بگردیم که این نقاط برای تغیر کوچک  بایستی صفر شوند. پس

که این همان معادله ی اویلر ـ لاگرانژ است.

همچنین وردش در  می تواند برحسب پارامتر   به صورت زیر نوشته شود:

که

مشتقات دوم و سوم و ... به همین صورت خواهند بود و وردش ها نیز عبارت اند از

وردش دوم را می توان با اعمال تغییر

به صورت زیر مجددا توصیف کرد:

اما

حال  را به شکلی انتخاب می کنیم که

با معرفی  به صورت

و تصدیق معادله ی

نهایتا خواهیم داشت:

برای دسترسی به کتاب هایی در زمینه ی حساب تغییرات به بخش کتاب خانه وبلاگ مراجعه کنید.

Dated 2008/06/29

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.

Forsyth, A. R. Calculus of Variations. New York: Dover, pp. 17-20 and 29, 1960.

Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 44, 1980.

Lanczos, C. The Variational Principles of Mechanics, 4th ed. New York: Dover, pp. 53 and 61, 1986.

Morse, P. M. and Feshbach, H. "The Variational Integral and the Euler Equations." §3.1 in Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 276-280, 1953.