نظریه ی T را نسبت به نظریه ی 'T نسبی ـ سازگار (relatively - consistent) می نامیم اگر بتوانیم مفاهیم اصلی T را در زبان 'T چنان تعریف کنیم که اکسیوم های T متناظر با گزاره های معینی در 'T باشند، در این صورت نظریه ی T را تعبیر شده (interpreted) در نظریه ی 'T می گوییم.

تعاریف هم اکنون داده شده از ماهیتی فرانظری (metatheoretical nature) برخوردارند. اغلب اثبات تعبیر پذیری مزبور را می توان به طور کامل در زبان 'T اجرا کرد، گرچه استدلال های مدل ـ نظری درباره ی T و 'T سریعتر به موفقیت می انجامد.

در این مورد، این حالت خاص که 'T توسیعی از T در همان زبان L است، از اهمیت مخصوصی برخوردار است.

به خصوص، گزاره ی A از L را نسبت به T سازگار می نامیم اگر نظریه ی {T U {A نسبت به T نسبی ـ سازگار باشد. به عنوان مثال، می توان نشان داد که هندسه ی اقلیدسی و نااقلیدسی نسبت به هندسه ی مطلق (absolute geometry) نسبی ـ سازگارند، یعنی اصل موضوع یا اکسیوم توازی نیز نقیضش نسبت به اصل موضوع های هندسی دیگر سازگارند، به طور مختصر، اصل موضوع توازی از سایر اصل موضوع ها مستقل است.

این واقعیت که اثبات این مطلب را می توان به طور کامل در هندسه ی مطلق انجام داد به هیچ وجه پیش پا افتاده نیست، اما با استانداردهای جدید اثبات استقلال کاری تقریباْ آسان است، البته اگر با استفاده از ابزارهای مدل ـ نظری، و در این حالت با ابزارهای هندسه ی تحلیلی انجام شود.

در سال ۱۹۳۸ میلادی، گودل نشان داد که فرض پیوستار و اکسیوم انتخاب (axiom of choice) نسبت به اکسیوم های دیگر نظریه ی مجموعه ها نسبی ـ سازگارند. بیست و پنج سال بعد کوهن (P. COHEN) اثبات کرد که نقیض فرض پیوستار نیز نسبت به اکسیوم های دیگر سازگار است.

گرچه این دستاوردها شباهتی صوری (formal analogy) با هندسه دارند، وضعیت در آن ها کاملاْ متفاوت است، زیرا می شود از نظرگاهی متحد (unified standpoint)، یعنی نظریه ی عمومی مجموعه ها، انواع هندسه ها را تنظیم کرد. اما اصل متحدی برای تشکیل دستگاه هایی متفاوت، و دو به دو ناسازگار (mutually exclusive) از نظریه ی مجموعه ها وجود ندارد.

بنا به اوضاع کنونی، حتی به نظر نمی رسد که چنین اصول با ماهیت ریاضی ای (mathematical nutute) موجود باشند. زیارا تجرید ریاضی ای (mathematical abstraction) بالاتر از از مورد نظریه ی مجوعه ها مطلقاْ غیرقابل تصور است.

خود گودل این نظر را بیان کرد که گسترش نظریه ی مجموعه ها به اکسیوم های جدیدی منجر می شود که باعث رد اصل پیوستار خواهند شد. اکسیوم هایی که تاکنون برای توسیع محدودیت های معمول نظریه ی مجموعه ها مورد بحث قرار گرفته اند. فی المثل، اکسیوم تارسکی راجع به وجود اعداد دست نیافتنی (inaccessible cardinal numbers) احتمالاْ برای این کار بسنده نیستند.

اکسیوم تارسکس مثالی از اکسیومی است که وجود مجموعه های دیگری، ماورای حوزه ی تعیین شده با اصول مجموعه سازی (set formation) و انتخاب را تضمین می کند. پذیرش چنین اکسیوم هایی را می توان به عنوان توسیع نامحدودی از ریاضیات توصیف کرد. اما باید خاطر نشان کرد که رشد اکسیوم های تازه ی با خصیصه ی نامحدود، خواسته ای مستدل نیست و موجب مشکلات جدی در امر سازگاری می شود. راه های محدود معینی برای حفظ امکان توسیع فوق الذکر وجود دارند، و میان ان ها جمیع گزاره های تاسیسی ـ جهتدار (constructivistically oriented statements).

یک نوع محدودیت نیم تاسیسی بر ساخت نامحدود مجموعه ها پذیرش اکسیوم تاسیس پذیری گودل ( Gödel's constructability axiom)است که مستلزم درستی فرض پیوستار است.

به عنوان نتیجه می توان گفت که دستاورد تحقیق در مبانی ریاضیات سهم اساسی در توضیح برد و مرزهای گزاره های کلاسیک مربوط به مبنای ریاضیات داشته و علاوه بر این، کاربردهای علمی بسیاری در نظریه ی الگوریتم ها (theory of algorithm) و نظریه دستگاههای صوری (theory of formal ystems) است.

پایان

منبع:

وبلاگ ریاضیات زیبا