هنگام قضاوت در نظریه ی ریاضی، Tای که با هدف تهیه کردن مدلی برای حوزه ی معینی از اشیا، مثلاً فضای فیزیکی (physical space) یا فرآیندهای فیزیکی یا اقتصادی خاصی ایجاد شده است، تنها موضوع مهم موفقیت است. از آنجا که T تنها تحقق آگاهانه ی انتخاب شده از فرایندی حقیقی را نشان می دهد پرسش از راستی گزاره های واقع در آن در مرحله دوم اهمیت است. اما مسئله راستی (truth problem) برای کل ریاضیات، به عنوان علمی بسته، مسئله ای همچنان مطرح است.

این مطلب در مورد هر شاخه فی المثل، نظریه ی اعداد طبیعی یا نظریه مجموعه ها، که با توجه به خاستگاههای آن، نظریه ای اکسیوماتیک نیست، بلکه توصیفی از حوزه ی امکاناْ مجرد معینی از اشیاستُ نیز صادق است.

با اطمینان می توان گفت که گزاره های ریاضی بسیاری، علی رغم خصیصه ی مجردشان رابطه ای نزدیک با واقعیت دارند. به عنوان مثال قضیه ی زیر را در نظر می گیریم که درستی اش آشکار است:

اگر تقسیمی از مجموعه ی متناهی Sای به n رده ی مجزای C_n . . . C₁  موجود باشند که هر رده ی آن دقیقاْ شامل m عنصر است، آنگاه تقسیمی از S به m رده ی مجزای n عنصری نیز وجود دارد.

وضعیت، نسبت به این گزاره ی وسیعاْ پذیرفته شده ی امروزی، که «رابطه ی خوش ترتیبی بر مجموعه ی اعداد حقیقی موجود است»، و عموماْ در مورد گزاره های وجودی که در آنها چیزی درباره ی روش بنای شیء مورد بحث گفته نشده است، کاملاْ فرق دارد.

اگر U دامنه ی مشخصی از اشیای عالم مثال (uneverse of discourse)، و L زبانی صوری شده (formalized language) روی U باشدُ آنگاه مشخص شده است که می توان در چارچوب فرانظریه ای روی L و U، مفهوم درستی یا راستی گزاره ای از L واقع در U را دقیق ساخت.

اولین پرسش این است که دستگاه اصل موضوعی کدپذیر (codifiable axiom system)، آیا Aای چنان وجود دارد که مجموعه ی گزاره های استخراج پذیر از A با استفاده از قواعد و استدلال صوری شده (rules of formalized reasoning) بر مجموعه ی گزاره های راست روی U منطبق می شوند یا خیر.

این وضعیت، در بعضی از حالات در واقع ممکن است به عنوان مثال، زمانی که U عالم مقالی متناهی (finite universe of discourse) باشد یا هنگامی که زبان L آنچنان فاقد توان معنی کننده ای باشد که حتی تنظیم ویژگی های پیچیده ی U را نیز مجاز نکند.

مطالب زیر به حوزه ی Uای رجوع دارند که شامل اعداد طبیعی است و زبان Lی که حساب اعداد طبیعی در آن معنی دار است.

تحت این مفروضات اولین قضیه ی ناتمامیت گودل (Gödel's first incompleteness theorem) برقرار است. قضیه ای که بنابر آن هر دستگاه اصل موضوعی تنظیم شده در Lی که شامل اکسیوم هایی به تعداد متناهی، یا به طور عمومی تر، مجموعه ی بازگشتی از اکسیوم ها باشد، به این مفهوم ناتمام است که نمی توان جمیع گاره های راست واقع در U را از A استخراج کرد.

دستاورد اساسی دیگر، این قضیه ی تارسکی (A.TARSKI) (متولد ۱۹۰۱ میلادی) است که تحت مفروضاتی معلوم، هیچ محمول (W(x ای در L چنان تعریف پذیر نیست که، به ازای شیء aای از U، گزاره (W(a در U راست باشد اگر و تنها اگر a عدد رمز گزاره ی راستی در U باشد.

برای اثبات هر دو قضیه ی مزبور، رمزی کردن (condification)، نیز موسوم به حسابی کردن (arithmetization) یا گودلی کردن (Gödelization) زبان L با استفاده از اعداد طبیعی انجام گرفته است.

این کار به چنان طریقی انجام می گیرد که اولاْ اعداد طبیعی به نمادهای اصلی (fundamental symbols) مربوطه چنان تخصیص داده می شوند که دنباله های نمادها متناظر با دنباله های متناهی معینی از اعداد طبیعی باشند. در مرحله ی دوم دنباله های متناهی اعداد طبیعی در تناظری یک به یک با اعداد طبیعی قرار داده می شوند. عدد طبیعی یی که به این طریق متناظر عبارت Hای قرار می گیرد عدد رمزی (code) یا عدد گودل (Gödel-number)، عبارت H نامیده و با ^*H نمایش داده می شود.                                                                       

فرض می کنیم L و U و همبستگی معناشناختی شان مشمول در عالم مثال جدید، و زبانی بسنده (کافی) (adequate language) برایباشد. در این صورت L را زبان موضوعی (object language) و U ورا فرا زبان (meta-language) دستگاه می نامیم. (شکل)

رمزبندی L، برنامه ریزی کردن محمولات معینی از U را، که در وهله ی اول تنها از لحاظ ماورای زبان معنی دارند، به زبان موضوعی L امکان پذیر می کند.

مثالی از محمولی واقع در حوزه ی فراموضوعی (metaobject domain)، محمول یک مکانی (one-place predicate) «گزاره ی H از A اثبات پذیر است» می باشد. متناظر با این محمول، محمول حسابی (arithmetical predicate) یک (B(n ای است که به ازای هر n طبیعی راست است اگر و تنها اگر n عدد رمزی گزاره ای اثبات پذیر باشد. اکنون تحت مفروضات در نظر گرفته شده در U، عبارت (Nb(v ای را می توان چنان بنا کرد که گزاره ی (Nb(n با جانشینی عدد طبیعی n به جای متغیر v، بر این باشد که: «گزاره ی با عدد رمزی n (از A) اثبات ناپذیر است.» اکنون به کمک وسیله ی دیگری، موسوم به استدلال قطری (diagonal argument)، عدد طبیعی mای را چنان به دست می آوریم که ^*(m=Nb(m. در این صورت گزاره ی (Nb(m را می توان به عنوان گزاره ای خود-ارجاع (self-referring statment) با عنوان «من اثبات ناپذیرم» ذر نظر گرفت.

(Nb(m در U درست است، در غیر این صورت نقیض آن «من اثبات پذیرم» در U درست خواهد بود، و از آنجا که طبیعتاْ هر گزاره ی اثبات پذیر از A در U نیز درست است، گزاره ی (Nb(n با عدد رمزی m در U هم درست هم نادرست می شود، که البته تناقض است. اما بنا بنا به مفهوم (Nb(m، درستی (Nb(m ، اثبات ناپذیری اش را مقدر می کند. در نتیجه آشکار می شود که دستگاه اصل موضوعی A ناتمام است.

دستاورد تارسکی نیز به طریقی مشابه به دست می آید. در این مورد فرض می کنیم عبارت (W(v با معنای «v راست است» وجود داشته باشد.در این صورت (Nw(v، نقیض این عبارت، محمول «v ناراست است» را نمایش می دهد. بنابراین گزاره ی خود-ارجاع 

 (^*(Nw(m)(m= Nw(m

آن گونه که در بالا بنا شده است، به معنای «گزاره ای نادرستم» می شود. این گزاره راست است اگر دروغ باشد و دروغ است اگر راست باشد. تنها با حذف این فرض می توان از چنگ این تناقض خلاص شد که محمول (v در U راست است) قابل بیان در L است.

این نوع استدلال با تحلیل عمیق پارادکسی سر و کار دارد که در دوران باستان نیز شناخته شده بود و می تواند به صورت زیر بیان شود: «قضیه ای که در صفحه ی n با حروف ایرانیک چاپ شده دروغ است.» این گزاره نیز دروغ است اگر راست باشد و راست است اگر دروغ باشد، و بنابراین اصل طرد تناقض (principle of excluded contradiction) را زیر پا می گذارد.

منابع:

وبلاگ ریاضیات زیبا