جال مشتق گیری را در نظر می گیریم. فرض کنیم  ،   بار در  مشتق پذیر باشد. اگر  ، آنگاه

این را میتوان به کمک انتگرال جزء به جزء آشکار ساخت:

ادامه ی این روش به مشتقات مرتبه ی بالاتر نتیجه می دهد:

ار این خاصیت تبدیل لاپلاس می توان در تبدیل معادلات دیفرانسیل به معادلاتی جبری استفاده کرد که به حساب هوی ساید (Heaviside calculus) معروف است. آنگاه با انجام تبدیل وارون می توان به پاسخ دست یافت. به عنوان مثال، بکار بردن تبدیل لاپلاس برای معادله ی دیفرانسیلی

خواهیم داشت:

که آخری را می توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

اگر تبدیل وارون لاپلاس را بتوان بر این معادله اعمال کرد، آن گاه معادله ی دیفرانسیل اصلی حل می شود.

تبدیل لاپلاس در چند خاصیت مهم صدق می کند. نمایی کردن (exponentiation) را در نظر بگیرید. اگر برای  (یعنی  تبدیل لاپلاس  باشد)، آن گاه برای  صحیح است. زیرا

همچنین تبدیل لاپلاس خواص زیبایی را برای انتگرال های توابع دارد. اگر   تکه ای پیوسته (piecewise continuous) بوده و ، در آن صورت

مطالب مرتبط: تبدیلات لاپلاس (۱)

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Laplace Transforms." Ch. 29 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 1019-1030, 1972.

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 824-863, 1985.

Churchill, R. V. Operational Mathematics. New York: McGraw-Hill, 1958.

Doetsch, G. Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation. Berlin: Springer-Verlag, 1974.

Franklin, P. An Introduction to Fourier Methods and the Laplace Transformation. New York: Dover, 1958.

Graf, U. Applied Laplace Transforms and z-Transforms for Scientists and Engineers: A Computational Approach using a Mathematica Package. Basel, Switzerland: Birkhäuser, 2004.

Jaeger, J. C. and Newstead, G. H. An Introduction to the Laplace Transformation with Engineering Applications. London: Methuen, 1949.

Henrici, P. Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 2: Special Functions, Integral Transforms, Asymptotics, Continued Fractions. New York: Wiley, pp. 322-350, 1991.

Krantz, S. G. "The Laplace Transform." §15.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 212-214, 1999.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 467-469, 1953.

Oberhettinger, F. Tables of Laplace Transforms. New York: Springer-Verlag, 1973.

Oppenheim, A. V.; Willsky, A. S.; and Nawab, S. H. Signals and Systems, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1997.

Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 4: Direct Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.

Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 5: Inverse Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.

Spiegel, M. R. Theory and Problems of Laplace Transforms. New York: McGraw-Hill, 1965.

Weisstein, E. W. "Books about Laplace Transforms." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/LaplaceTransforms.html.

Widder, D. V. The Laplace Transform. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1941.

Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 231 and 543, 1995.

Dated 04/04/2009 

تبدیل لاپلاس (Laplace transform) یک تبدیل انتگرالی (integral transform) است که شاید نسبت به کارکرد تبدیل فوریه (Fourier transform) در حل مسائل فیزیکی در رتبه ی دوم قرار دارد. تبدیل لاپلاس به ویژه در حل معادلات دیفرانسیل معمولی (ordinary differential equations) که در تجزیه و تحلیل مدارهای الکترونیکی مطرح می شوند، دارای کاربرد فراوان است.

تبدیل لاپلاس (یک طرفه)  ، که نبایستی آن را با مشتق لی (Lie derivative) که آن را هم معمولاْ با  نشان می دهند اشتباه گرفته شود، به صورت زیر تعریف می شود:

که   برای  تعریف می شود (Abramowitz and Stegun 1972). این تبدیل عموماً آن چیزی است که با عنوان تبدیل لاپلاس شناخته می شود، اگر چه یک تبدیل لاپلاس دوطرفه (bilateral Laplace transform) هم داریم که معمولاً به صورت زیر تعریف می شود:

تبدیل لاپلاس معکوس به انتگرال برومویچ (Bromwich integral) معروف است و گاهاً با عنوان انتگرال ملین-فوریه (Fourier-Mellin) نیز شناخته می شود.

جدول زیر، تعدادی از تبدیلات مهم لاپلاس یک طرفه را نشان می دهد:

		شرایط
1

 در جدول بالا،   تابع بسل نوع اول (Bessel function of the first kind) مرتبه ی صفرام،  تابع دلتا (delta function) و تابع پله ی هوی ساید (Heaviside step function) هستند.

تبدیل لاپلاس خواص بسیار مهمی دارد. قضیه ی وجود تبدیل لاپلاس بیان می کند که اگر  روی هر بازه ی متناهی در  تکه ای پیوسته * باشد و برای همه ی  در

صدق کند، آن گاه   برای همه ی  موجود است. تبدیل لاپلاس یکتا (unique) است، به این معنی که با داشتن دو تابع  و   با تبدیل یکسان، داریم:

آن گاه قضیه ی لرچ (Lerch's theorem) تایید می کند که انتگرال

برای همه ی  برای یک تابع صفر (پوچ - null function) با معادله ی

صفر می شود. تبدیل لاپلاس خطی است، زیرا

تبدیل لاپلاس کانولوشن (convolution) به صورت زیر تعریف می شود:

مطالب مرتبط: تبدیلات لاپلاس (۲)

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Laplace Transforms." Ch. 29 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 1019-1030, 1972.

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 824-863, 1985.

Churchill, R. V. Operational Mathematics. New York: McGraw-Hill, 1958.

Doetsch, G. Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation. Berlin: Springer-Verlag, 1974.

Franklin, P. An Introduction to Fourier Methods and the Laplace Transformation. New York: Dover, 1958.

Graf, U. Applied Laplace Transforms and z-Transforms for Scientists and Engineers: A Computational Approach using a Mathematica Package. Basel, Switzerland: Birkhäuser, 2004.

Jaeger, J. C. and Newstead, G. H. An Introduction to the Laplace Transformation with Engineering Applications. London: Methuen, 1949.

Henrici, P. Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 2: Special Functions, Integral Transforms, Asymptotics, Continued Fractions. New York: Wiley, pp. 322-350, 1991.

Krantz, S. G. "The Laplace Transform." §15.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 212-214, 1999.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 467-469, 1953.

Oberhettinger, F. Tables of Laplace Transforms. New York: Springer-Verlag, 1973.

Oppenheim, A. V.; Willsky, A. S.; and Nawab, S. H. Signals and Systems, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1997.

Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 4: Direct Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.

Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 5: Inverse Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.

Spiegel, M. R. Theory and Problems of Laplace Transforms. New York: McGraw-Hill, 1965.

Weisstein, E. W. "Books about Laplace Transforms." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/LaplaceTransforms.html.

Widder, D. V. The Laplace Transform. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1941.

Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 231 and 543, 1995

* به تابع یا خمی تکه ای پیوسته می گویند که روی همه ولی تعداد متناهی از نقاط پیوسته است، به طوری که در آن ها گاهاً شرایط تنظیم کننده مورد نیاز است.

مسئله یافتن تابعی که مقادیرش به ازای آرگومان های صحیح و مثبت فاکتوریل های ۱=!۱و ۲=!۲ و ۶=!۳ و ... و 1.2.3...n!= n باشند توسط اویلر (Euler) به کمک انتگرال ناسره حل شد.

تابع گاما (کامل)  به صورت بسط فاکتوریل (factorial) به آرگومان های عددی مختلط و حقیقی است. این تابع با معادله ی زیر به فاکتوریل مرتبط می شود:

که این نماد مرسوم با توجه به گفته ی لژاندر به طور مختصری مشکل تر از نماد ساده تر معرفی شده توسط گائوس  است (Gauss 1812; Edwards 2001, p. 8).

این تابع در همه جا به جز در ..., ,  تحلیلی (analytic) است، و باقیمانده ی آن در  عبارت است از

هیچ نقطه ی  ای را نمی توان یافت که در آن .

در استفاده ی مرسوم برای نمایش سری توانی از یک تابع گاما، یک قرارداد نمادگذ‌اری وجود دارد. در حالیکه مولفانی همچون (Watson (1939 بر استفاده از  (یعنی بکارگیری از یک قرارداد تابع مثلثاتی-گون) تاکید دارند، طبق سنت نمادگذاری  استفاده می شود.

تابع گاما را می توان به صورت یک انتگرال معین (definite integral) برای  تعریف کرد (شکل تعریف شده توسط اویلر)

                (*)                                     

یا

تابع گامای کامل را می توان همچنین به تابع گامای ناتمام (incomplete gamma function) بالایی و تابع گامای ناتمام پایینی  بسط داد.

نمودار قسمت های حقیقی و موهومی   در صفحه ی مختلط در شکل بالا نشان داده شده است.

با انتگرال گیری جز به جز از معادله (*) برای یک آرگومان حقیقی، مشاهده می شود که

چنانچه یک عدد صحیح باشد، آنگاه

بنابراین تابع گاما به ازای آرگومان های صحیح مثبت (positive integer) به فاکتوریل تقلیل می یابد.

یک رابطه ی زیبا مابین  و تابع زتای ریمان (Riemann zeta function)  به صورت زیر است

برای  (Havil 2003, p. 60).

تابع گاما همچنین می تواند به صورت یک حاصلضرب نامتناهی (infinite product) یعنی صورت ویراشتراوس (Weierstrass form) تعریف شود:

که  ثابت اویلر ـ ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) است (Krantz 1999, p. 157; Havil 2003, p. 57). با لگاریتم گرفتن از طرفین معادله ی اخیر داریم:

با مشتق گیری از این رابطه بدست می آوریم:

که   تابع دی گاما (digamma function) و   تابع چند گامایی (polygamma function) هستند.  امین مشتق ها برحسب توابع چند گامایی (polygamma functions) , , ...,  داده می شوند.

ادامه دارد...

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Gamma (Factorial) Function" and "Incomplete Gamma Function." §6.1 and 6.5 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 255-258 and 260-263, 1972.

Arfken, G. "The Gamma Function (Factorial Function)." Ch. 10 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 339-341 and 539-572, 1985.

Artin, E. The Gamma Function. New York: Holt, Rinehart, and Winston, 1964.

Bailey, W. N. Generalised Hypergeometric Series. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1935.

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 334-342, 1994.

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 218, 1987.

Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.

Borwein, J. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, p. 6, 1987.

Borwein, J. M. and Zucker, I. J. "Fast Evaluation of the Gamma Function for Small Rational Fractions Using Complete Elliptic Integrals of the First Kind." IMA J. Numerical Analysis 12, 519-526, 1992.

Bourguet, L. "Sur les intégrales Eulériennes et quelques autres fonctions uniformes." Acta Math. 2, 261-295, 1883.

Campbell, R. Les intégrales eulériennes et leurs applications. Paris: Dunod, 1966.

Davis, H. T. Tables of the Higher Mathematical Functions. Bloomington, IN: Principia Press, 1933.

Davis, P. J. "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function." Amer. Math. Monthly 66, 849-869, 1959.

Edwards, H. M. Riemann's Zeta Function. New York: Dover, 2001.

Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "The Gamma Function." Ch. 1 in Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 1-55, 1981.

Finch, S. R. "Euler-Mascheroni Constant." §1.5 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 28-40, 2003.

Gauss, C. F. "Disquisitiones Generales Circa Seriem Infinitam etc. Pars Prior." Commentationes Societiones Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores, Vol. II. 1812. Reprinted in Gesammelte Werke, Bd. 3, pp. 123-163 and 207-229, 1866.

Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Answer to Problem 9.60 in Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

Hardy, G. H. "A Chapter from Ramanujan's Note-Book." Proc. Cambridge Philos. Soc. 21, 492-503, 1923.

Hardy, G. H. "Some Formulae of Ramanujan." Proc. London Math. Soc. (Records of Proceedings at Meetings) 22, xii-xiii, 1924.

Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.

Havil, J. "The Gamma Function." Ch. 6 in Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 53-60, 2003.

Isaacson, E. and Salzer, H. E. "Mathematical Tables--Errata: 19. J. P. L. Bourget, 'Sur les intégrales Eulériennes et quelques autres fonctions uniformes,' Acta Mathematica, v. 2, 1883, pp. 261-295.' " Math. Tab. Aids Comput. 1, 124, 1943.

Koepf, W. "The Gamma Function." Ch. 1 in Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 4-10, 1998.

Krantz, S. G. "The Gamma and Beta Functions." §13.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 155-158, 1999.

Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 46, 1983.

Magnus, W. and Oberhettinger, F. Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics. New York: Chelsea, 1949.

Nielsen, N. "Handbuch der Theorie der Gammafunktion." Part I in Die Gammafunktion. New York: Chelsea, 1965.

Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Gamma Function, Beta Function, Factorials, Binomial Coefficients" and "Incomplete Gamma Function, Error Function, Chi-Square Probability Function, Cumulative Poisson Function." §6.1 and 6.2 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 206-209 and 209-214, 1992.

Sloane, N. J. A. Sequences A000079/M1129, A000142/M1675, A001147/M3002, A030169, A030170, A030171, A030172, A061549, A068466, and A143503 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Gamma Function " and "The Incomplete Gamma and Related Functions." Chs. 43 and 45 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 411-421 and 435-443, 1987.

Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (XI)." J. London Math. Soc. 6, 59-65, 1931.

Watson, G. N. "Three Triple Integrals." Quart. J. Math., Oxford Ser. 2 10, 266-276, 1939.

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, p. 40, 1986.

Whipple, F. J. W. "A Fundamental Relation between Generalised Hypergeometric Series." J. London Math. Soc. 1, 138-145, 1926.

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

Wrench, J. W. Jr. "Concerning Two Series for the Gamma Function." Math. Comput. 22, 617-626, 1968. 

برای مثال، معادله ی پیوستگی مکانیک سیالات بیان می کند که نرخی که بر اساس آن چگالی در هر عنصر حجمی بینهایت کوچک سیال کاهش می یابد، متناسب با شار جرم (تغییرات پی در پی جرم) بخش های متفاوت سیال که در حال دور شدن از عنصر هستند می باشد و با قاعده ی زیر نشان داده می شود:

که   میدان برداری سرعت سیال است. در موردی معمول که درآن چگالی سیال ثابت است، این رابطه به یک معادله زیبا و موجز تقلیل می یابد

که به آسانی می گوید برای اینکه چگالی در سرتاسر سیال ثابت بماند، نبایستی بخش های حاوی ماده سیال در هیچ نقطه ای تشکیل یک گره یا انباشتگی دهند و لذا میدان برداری سرعت های بخش های بوجود آورنده ی سیال برای هر سیستم مادی لازم است که میدانی فاقد دیورژانس (divergenceless field) یا به اصطلاح میدانی بدون واگرایی باشد. 

دیورژانس در نظریه ی الکترومغناطیس نیز در دو معادله از چهار معادله ماکسول حضور دارد

که از واحدهای MKS در اینجا استفاده کرده ایم:  میدان الکتریکی،  اکنون نماینگر چگالی بار الکتریکی،  ثابت تناسب که موسوم به ثابت گذردهی الکترون از خلا و در نهایت  معرف میدان مغناطیسی است.

بعلاوه ی ۲ معادله ی دیگر از مجموعه معادلات ماکسول، اینها قوانینی هستند که به طور بالقوه ویژگی های نسبیتی و کلاسیکی الکترومغناطیس را توصیف می کنند.

فرمولی که برای پیدا کردن دیورژانس یک میدان برداری کاربرد دارد، را می توان سریعاً با ایجاد کردن یک شش ضلعی بینهایت کوچک فرضی که در امتداد محور مختصات حول یک ناحیه ی بینهایت کوچک از فضا جهت گیری شده است، بدست آورد. بنابراین "حجم" خالص این شش ضلعی را می توان به راحتی با جمع زدن تفاضل های مقادیر میدان برداری در امتداد ۳ مجموعه ی اضلاع موازی با هم (اضلاع متقابل) محاسبه کرد. با نوشتن   بلافاصله بدست می آید:

این فرمول را می توان دلیلی برای توجیه انگیزه ی انتخاب نماد  برای دیورژانس دانست. تعبیر کردن از   به عنوان عملگر گرادیان (gradient) ، "حاصلضرب نقطه ای" (dot product) این عملگر با میدان برداری اصلی دقیقا معادل رابطه ی اخیر است.

درحالیکه این عملگر به نوعی به نظر می رشد که در مختصات دکارتی است، تعریف عمومی به کلی به مختصات خاصی ربط ندارد. در حقیقت با تعریف

دیورژانس در هر محتصات منحنی الخط دلخواه (curvilinear coordinates) به صورت زیر داده می شود:

دیورژانس تبدیل خطی یک بردار یکه (unit vector) که با ماتریس  نمایش داده می شود، به وسیله فرمول زیبای ذیل توصیف می شود:

که   رد ماتریس (matrix trace) یا همان مجموع درایه های قطر اصلی و  ترانهاده ماتریس را نشان می دهد.

مفهوم دیورژانس را می توان به میدان های تانسوری نیز بسط داد، به طوری که در این مورد دیورژانس تنجش مشتق هموردای (covariant derivative) میدان تانسوری است:

لینک مربوطه: دیورژانس ۱

منابع:

Arfken, G. "Divergence, ." §1.7 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 37-42, 1985.

Kaplan, W. "The Divergence of a Vector Field." §3.4 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 185-186, 1991.

Morse, P. M. and Feshbach, H. "The Divergence." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 34-37, 1953.

Schey, H. M. Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, 3rd ed. New York: W. W. Norton, 1997.

دیگر اتحاد های دربرگیرنده ی مشتق تابع دلتا عبارت اند از

که در آن علامت کانولوشن (convolution) است،

و

یک رابطه ی انتگرالی که با استفاده از  نوشته می شود نیز وجود دارد:

تابع دلتا، همچنین از به اصطلاح خاصیت غربالگری (sifting property) نیز تبعیت می کند:

(Bracewell 1999, pp. 74-75).

بسط سری فوریه ی تابع دلتای  بدست می دهد

بنابراین

تابع دلتا را می توان به صورت یک تبدیل فوریه (Fourier transform) به شکل زیر نوشت

و به طور یکسان،

(Bracewell 1999, p. 95). به طور کلی تر تبدیل فوریه ی تابع دلتا عبارت است از

تابع دلتا در قالب حد های زیر که در آنها   هم گاهاْ تعریف می شود

که   تابع هوایی (Airy function)،   تابع بسل نوع اول (Bessel function of the first kind) و    یک چندجمله ای لاگر (Laguerre polynomial) از مرتبه ی صحیح مثبت دلخواه است. 

این تابع را همانطور که در شکل بالا قابل مشاهده است، می توان به صورت تابع حدی ذیل تعریف کرد

تابع دلتا در ۲ بعد نیز تعریف می شود، به صورتی که در مختصات دکارتی (Cartesian coordinates) دو بعدی داریم:

و

در مختصات قطبی (polar coordinates) نیز داریم

(Bracewell 1999, p. 85).

در مختصات ۳ بعدی دکارتی هم اوضاع به همان شرایط بالا است

و

در مختصات استوانه ای (cylindrical coordinates) ،

در مختصات کروی (spherical coordinates) ،

تعریف می شود. (Bracewell 1999, p. 85).   

یک بسط سری وار از این تابع در مختصات استوانه بدست می دهد

پاسخ به برخی معادلات دیفرانسیلی معمولی را می توان برحسب مشتقات  نوشت (Kanwal 1998). برای مثال، تابع دیفرانسیلی

دارای پاسخ کلاسیکی

و پاسخ توزیعی زیر است

(M. Trott, pers. comm., Jan. 19, 2006). توجه داشته باشید که برخلاف پاسخ های کلاسیکی، یک پاسخ توزیعی به یک معادله ی دیفرانسیلی معمولی مرتبه ی ام احتیاجی به داشتن  ثابت انتگرالگیری متمایز از هم ندارد. لینک مربوطه: تابع دلتا ۱ (Delta Function) منابع: Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 481-485, 1985. Bracewell, R. "The Impulse Symbol." Ch. 5 in The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 69-97, 1999. Dirac, P. A. M. Quantum Mechanics, 4th ed. London: Oxford University Press, 1958. Gasiorowicz, S. Quantum Physics. New York: Wiley, pp. 491-494, 1974. Kanwal, R. P. "Applications to Ordinary Differential Equations." Ch. 6 in Generalized Functions, Theory and Technique, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 291-255, 1998. Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 97-98, 1984. Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Dirac Delta Function ." Ch. 10 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 79-82, 1987. van der Pol, B. and Bremmer, H. Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1955.

"سری فاکس ترات" یک جمع ریاضی است که دوم ژوئن ۱۹۹۶ در کارتون فاکس ترات ساخته ی بیل ایمند (Bill Amend) نمایش داده شد (Amend 1998, p. 19; Mitchell 2006/2007). این سری از یک مساله ی آزمون همگرایی در کتاب حساب دیفرانسیل آنتون ناشی شد، اما به طور غیر عمدی تبدیل به یک مساله ی جمع زنی در به اصطلاح کارتون فاکس ترات گشت:

محاسبه ی این جمع به طور خارق العاده ای یک عبارت خیلی پیچیده ای که شامل جمع ۴ تابع دی گاما (digamma functions) را بدست می دهد، اما می توان این کار را به طور بسیار زیباتری با چند ساده سازی در نمادها انجام داد. علی الخصوص، تجزیه ی پاره کسری این سری بدست می دهد

(Sloane's A127198)، که در آن  و جمع های آخر برحسب تابع دی گاما (digamma function) و برخی ساده سازی های نمادی انجام شده اند.

منابع:

Amend, B. Camp FoxTrot. Kansas City, MO: Andrews McMeel, p. 19, 1998.

Mitchell, C. W. Jr. In "Media Clips" (Ed. M Cibes and J. Greenwood). Math. Teacher 100, 339, Dec. 2006/Jan. 2007. Sloane, N. J. A. Sequence A127198 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."  

یک تابع خاص است که به واسطه ی مشتق لگاریتمی (logarithmic derivative) تابع گاما (gamma function) داده می شود (یا، بنابر اقتضای تعریف، مشتق لگاریتمی فاکتوریل).

به خاطر این ابهام و گنگی در تعریف، دو نوع نمادگذاری متفاوت غالباْ (نه همیشه) مورد استفاده قرار می

گیرد، اولی

به صورت مشتق لگاریتمی تابع گاما  و دومی به شکل

مشتق لگاریتمی تابع فاکتوریل تعریف می شود. این دو به وسیله ی رابطه ی

به هم مرتبط می شوند.

 امین مشتق تابع چندگاما (polygamma function) نامیده و با   نشان داده می شود. لذا نمادگذاری

به طور رایج برای خود تابع دی گاما بکار می رود و (Erdélyi et al. (1981 از برای  استفاده می کند.

 تابع دی گاما  در سری های ساده ای مانند زیر ظاهر می شود:

که در آن مافوق لرچ (Lerch transcendent) است.

موارد خاص عبارت اند از

قضیه ی دی گامای گائوس (Gauss's digamma theorem) می گوید که

(Allouche 1992, Knuth 1997, p. 94).

بسط مجانبی (asymptotic expansion) برای تابع دی گاما به صورت زیر ارائه می شود:

که ثابت اویلر ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) و  اعداد برنولی (Bernoulli numbers) هستند.

تابع دی گاما در رابطه ی مهم زیر صدق می کند:

که برای عدد صحیح ،

که ثابت اویلر ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) و   یک عدد هارمونیک یا همساز (harmonic number) است.

دیگر اتحادهایی که این تابع در آنها شرکت دارد، عبارت اند از:

مقادیر ویژه برابراند با

در مقادیر صحیح،

Derbyshire 2003, p. 58). و در مقادیر نیمه انتگرالی داریم:

که در آن   یک عدد هارمونیک یا همساز (harmonic number) است.

با استفاده از انتگرال مربع واحد (unit square integral) برای  نیز می توان این تابع را ظاهر کرد:

(Guillera and Sondow 2005). وارد کردن   در این معادله حالت خاص شامل ثابت اویلر ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) را بدست می دهد.

سری منتسب به  به شکل زیر است:

یک سری لگاریتمی از تابع اخیر داریم که صورت زیر را داراست:

(Guillera and Sondow 2005). یک اتحاد شگفت انگیز که از سری فاکس ترات (FoxTrot series) ناشی می شود عبارت است از

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972.

Allouche, J.-P. "Series and Infinite Products related to Binary Expansions of Integers." 1992. http://algo.inria.fr/seminars/sem92-93/allouche.ps.

Arfken, G. "Digamma and Polygamma Functions." §10.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 549-555, 1985.

Boros, G. and Moll, V. "The Psi Function." §10.11 in Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 212-215, 2004.

Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.

Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "The Function." §1.7 in Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 15-20, 1981.

Guillera, J. and Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch's Transcendent." 16 June 2005 http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.

Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.

Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "The Digamma () and Trigamma () Functions." Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 465-466, 1988.

Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, Vol. 1: Fundamental Algorithms, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1997.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Digamma Function ." Ch. 44 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 423-434, 1987

تابع دلتا یک تابع تعمیم یافته (generalized function) است که می تواند در قالب حد یک دسته از دنباله های دلتا (delta sequences) تعریف شود. تابع دلتا معمولا "تابع دلتای دیراک" یا "نماد ضربه" خوانده می شود (Bracewell 1999).

به طور مرسوم، تابعی خطی از یک فضای (عموماْ به صورت یک فضای شوارتز (Schwartz space) یا فضای همه ی توابع مسطح محمل های فشرده  در نظر گرفته می شود) توابع آزمون  است. کنش دلتا روی  معمولا با  یا  نشان داده می شود که برای هر تابع . مقدار آن را در نقطه ی صفر بدست می دهد. در متون مهندسی، خصیصه ی تابعی تابع دلتا غالباْ نادیده گرفته می شود.

تابع دلتا را می توان به صورت مشتق تابع یکه ی هوی ساید (Heaviside step function) نشان داد:

(Bracewell 1999, p. 94).

تابع دلتا دارای ویژگی بنیادین زیر است:

و، در واقع،

برای .

اتحادهای دیگر، شامل

برای  و بعلاوه

می شوند.

به طور کلی تر، تابع دلتای تابعی از متغیر   به صورت زیر داده می شود:

که در آن، ها ریشه های  هستند. به عنوان مثال، برای تابع

داریم  که بنابراین  و   بدست می دهند:

تابع اصلی که مشتقات تابع دلتا  مشخص می کند، عبارت است از

با فرض ، در این تعریف، نتیجه می دهد:

که در آن جمله ی دوم به این دلیل از قلم افتاد که  ، در نتیجه روابط بالا تساوی زیر را محقق می سازند:

در کل، رویه ای مشابه آنچه در بالا آمد، ما را به نتیجه ی بهتری می رساند

اما چون هر توان ضربدر   در انتگرالگیری به صفر ختم می شود، لذا تنها جمله ی ثابت در انتگرالگیری شرکت می کند. از اینرو، همه ی جملات ضرب شده در مشتقات صفر می شوند، و  تنها  باقی می ماند که آن هم به معادله ی زیر می انجامد:

که بر رابطه ی زیر دلالت می کند:

لینک مربوطه: تابع دلتا ۲ (Delta Function 2)

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 481-485, 1985.

Bracewell, R. "The Impulse Symbol." Ch. 5 in The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 69-97, 1999.

Dirac, P. A. M. Quantum Mechanics, 4th ed. London: Oxford University Press, 1958.

Gasiorowicz, S. Quantum Physics. New York: Wiley, pp. 491-494, 1974.

Kanwal, R. P. "Applications to Ordinary Differential Equations." Ch. 6 in Generalized Functions, Theory and Technique, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 291-255, 1998.

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 97-98, 1984.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Dirac Delta Function ." Ch. 10 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 79-82, 1987.

van der Pol, B. and Bremmer, H. Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1955.   

تابع همانی  تابع  است که هر عدد حقیقی را به همان عدد حقیقی  نگاشت می دهد.

تابع همانی بدیهی است که خودتوان (idempotent) است، یعنی .

تابع همانی   در صفحه ی مختلط در بالا ترسیم شده است.

تابعی که به طور تقریبی تابع همانی را برای  های کوچک به جملاتی از مرتبه ی  تحویل می دهد، به صورت زیر داده می شود:

          

یکی از شاخه های وسیع ریاضیات، نوع خاصی از تعمیم حساب در آن است. حساب تغییرات (وردشها) در جستجوی یافتن مجموعه ای از مسیرها، خم ها، خمینه ها و ... است که به عنوان توابعی پیوسته و مشتق پذیر دارای اکسترم طولی هستند (که اغلب در مسائل فیزیکی از آن به عنوان کمینه یا بیشینه نیز یاد می شود). در ریاضیات، مقدار این اکسترمم بوسیله ی انتگرال معین زیر نمایش داده می شود:

که در آن

در مسئله ی کوتاه ترین خم زمانی (brachystochrone problem) که توسط یوهان برنولی (Johann BERNOULLI) به سال ۱۶۹۶ علناْ مطرح شد یافتن y ای در انتگرال فوق مطرح است که در آن بتوانیم تعریف ذیل را نمایان سازیم:

اگر دو نقطه ی p1 و p2 در ارتفاعات متفاوت اما نه واقع بر بالای یکدیگر، مفروض باشند، می خواهیم از جمیع خم های ممکن واصل آنها، خمی را بیابیم که یک نقطه ی مادی (material point) از p1 به p2 در امتداد آن و تحت تاثیر گرانی یا ثقل (صرفنظر از اصطکاک) در کوتاهترین زمان ممکن بلغزد.

مسئله ی فوق در آن زمان، ذهن ریاضیدانان پیشرو تمام اروپا، از قبیل: نیوتون، لایب نیتز، یاکوب برنولی، لوپیتال، هود (HUDDE)، فاتیو (FATIO) و ... را به خود مشغول کرد. از این زمان به بعد حساب تغییرات به عنوان عنوان دستگاه ریاضی خاصی توسعه یافته است.

مسئله ی بالا منجر به پیدایش تابع (y(x ای شد که بازای آن مقدار اکسترمم را برای تابع f مطرح کردیم. اما تابع لازم در این مسئله نوع خاصی از جوابی بود که باید در یک معادله ی دیفرانسیل کلی ترصادق باشد. اویلر به همراه لاگرانژ در تحویل مسئله ی تغییرات به معادلات دیفرانسیل توفیق یافت.  معادله ی اویلر ـ لاگرانژ (Euler-Lagrange differential equation) یکی از فرمول های بنیادی حساب تغییرات یا وردش هاست.

به زبان ساده تنگرام (Tangram) عبارت است از یک معمای چینی که می گوید یک مربع را می توان به ۵ مثلث، یک مربع و یک لوزی چنان کاهش داد، طوری که طرز آرایش این اشکال در کنار هم می تواند متفاوت از هم باشد، ولی در کل شکل نهایی یک مربع است. این تعریف کمی گنگ است، لذا به سراغ جستار فنی تر می رویم:

تنگرام، ترکیبی از قطعات چندضلعی صفحه مانندی است به نحوی که اضلاع این چندضلعی ها منطبق بر همدیگر هستند. در کل ۱۳ تنگرام محدب وجود دارد (یک تنگرام محدب شامل یک مجموعه از قطعات تنگرام است که در یک چند ضلعی محدب (convex polygon) مانند مربع چیده شده اند).

جالب است بدانید که شکل راست در زیر (مربوط به یک تنگرام با اجزای رنگ شده) علامت ویژه یا به اصطلاح لوگوی شرکت خدمات آب و برق ... Illinois Power در آمریکا است.

منابع:

Cundy, H. and Rollett, A. Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 19-20, 1989.

Gardner, M. "Tangrams, Part 1" and "Tangrams, Part 2." Chs. 3-4 in Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H. Freeman, pp. 27-54, 1988.

Illinois Power. "Illinois Power Home Page." http://www.illinoispower.com

Johnston, S. The Fun with Tangrams Kit: 120 Puzzles with Two Complete Sets of Tangram Pieces. New York: Dover, 1977.

Johnston, S. Tangrams ABC Kit. New York: Dover, 1985.

Pappas, T. "Tangram Puzzle." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 212, 1989.

Read, R. C. Tangrams: 330 Puzzles. New York: Dover, 1980.

Slocum, J. The Tangram Book: The Story of the Chinese Puzzle with Over 2000 Puzzles to Solve. New York: Sterling, 2003 

بر طبق اين قرارداد نماد سيگما (علامت جمع در رياضيات) براي شاخص هاي تكراري كه تلويحاً عمل جمع زني روي آنها انجام مي شود، حذف مي شود. اين قرار داد به صورت جالب توجهي از حجم معادلات شامل تانسورها كاسته و آنها را ساده و كوتاه مي كند. براي مثال با استفاده از اين قرار داد داريم

و

اين قرارداد اولين بار توسط اينيشتين معرفي شد (1916, sec. 5). او من باب شوخي به يكي از دوستانش گفت: "من كشف بزرگي را در رياضيات انجام دادم؛ من هميشه از نوشتن نماد جمع خودداري مي كردم، چون نماد جمع  همواره بايستي دوباره براي شاخصي كه تكرار مي شد ابقا شود..."

(Kollros 1956; Pais 1982, p. 216).

منابع:

Einstein, A. ""Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie." Ann. der Physik 49, 769-822, 1916.

Kollros, L. "Albert Einstein en Suisse Souvenirs." Helv. Phys. Acta. Supp. 4, 271-281, 1956.

Pais, A. Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. New York: Oxford University Press, p. 216, 1982 

انتگرالگیری مسیری (Contour integration) فرایندی است که طی آن مقادیر یک انتگرال مسیری حول یک منحنی ساده ی بسته ی فرضی (contour) در صفحه ی مختلط (complex plane) محاسبه می شوند. به عنوان یک نتیجه ی شفت انگیز و جالب توابع هولومورفیک (holomorphic functions)، چنین انتگرال هایی به راحتی می توانند با جمع مقادیر مانده های مختلط (complex residues) داخل منحنی محاسبه شوند.

فرض کنیم  و  دو چندجمله ای به ترتیب از درجه ی n و m با ضرایب , ...,  و , ...,  باشند. منحنی بسته ای در نیم صفحه ی بالایی (upper half-plane) همچون شکل بالا داریم. با تعویض x به z، می نویسیم . آنگاه

یک مسیر  را که در امتداد محور حقیقی از  تا   مستقیم است، تعریف کرده و یک نیم دایره جهت اتصال دو نقطه ی انتهایی این مسیر مستقیم در نیم صفحه ی مختلط بالایی را رسم می کنیم. به کمک قضیه مانده ها (residue theorem) خواهیم داشت

که   مانده های مختلط (complex residues) را نشان می دهد. با حل

تعریف می کنیم

(*)                             

و مجموعه ی

آنگاه معادله ی (*)  خواهد شد

اینک،

برای . این بدان معناست که برای  و یا   ،  داریم

که در آن . در لم گوردن (Jordan's lemma) تابع مختلط مقدار  را بکار می بریم.  بنابراین بایستی داشته باشیم

که برای تصدیق آن باید رابطه ی  را مطالبه کنیم.

از این رو به ازای  و  داریم:

چون این رابطه بایستی به طور جداگانه برای قسمت های حقیقی و مختلط ارضا شود، نتیجه را می توان به دو رابطه ی مهم زیر بسط داد:

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 406-409, 1985.

Krantz, S. G. "Applications to the Calculation of Definite Integrals and Sums." §4.5 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 51-63, 1999.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 353-356, 1953.

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "The Evaluation of Certain Types of Integrals Taken Between the Limits and ," "Certain Infinite Integrals Involving Sines and Cosines," and "Jordan's Lemma." §6.22-6.222 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 113-117, 1990. 

اندازه ی لبگ (Lebesgue Measure)، توسیع مفاهیم طول و مساحت به مجموعه های بسیار پیچیده است. مجموعه ی باز   شامل عناصر مجزا (disjoint) (یعنی اشتراک آنها تهی باشد. می توان از انها با عنوان مجموعه های مستقل نیز یاد کرد.)، معلوم است. اندازه ی لبگ به صورت زیر تعریف می شود

چنانچه مجموعه ی انتخابی بسته  (closed set) باشد یعنی ، آنگاه داریم

یک پاره خط به طول واحد، اندازه ی لبگ ۱ دارد، اندازه ی لبگ مجموعه ی کانتور (Cantor set) صفر است. اندازه ی مینکوفسکی (Minkowski measure) یک مجموعه ی بسته کراندار ، در حقیقت همان مفهوم اندازه ی لبگ را در پی دارد (Ko 1995).

انتگرال لبگ (Lebesgue Integral) برحسب جملات کران بالا و پایین و بکارگیری اندازه ی لبگ یک مجموعه حاصل می شود. در این تعریف، از جمع لبگ (Lebesgue sum)  که در آن  مقدار تابع در زیربازه ی  و  اندازه ی لبگ مجموعه ی ازنقاطی است که برای آنها مقادیر تقریباْ برابر با  هستند. این انتگرال، دسته ی عظیمی از توابع انتگرالپذیر که انتگرال ریمان (Riemann integral) آنها را در بر نمی گیرد، را تحت پوشش قرار می دهد.

انتگرال لبگ یک تابع   در فضای اندازه (measure space) ، به صورت زیر نوشته می شود

یا اغلب

که تاکیدی بر این موضوع باشد که انتگرال نسبت به اندازه (measure)  گرفته می شود.          

منابع:

Croft, H. T.; Falconer, K. J.; and Guy, R. K. Unsolved Problems in Geometry. New York: Springer-Verlag, p. 4, 1991.

Kestelman, H. "Lebesgue Measure." Ch. 3 in Modern Theories of Integration, 2nd rev. ed. New York: Dover, pp. 67-91, 1960.

Ko, K.-I. "A Polynomial-Time Computable Curve whose Interior has a Nonrecursive Measure." Theoret. Comput. Sci. 145, 241-270, 1995.

Kestelman, H. "Lebesgue Integral of a Non-Negative Function" and "Lebesgue Integrals of Functions Which Are Sometimes Negative." Chs. 5-6 in Modern Theories of Integration, 2nd rev. ed. New York: Dover, pp. 113-160, 1960.

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, p. 141, 1984.

فرض کنیم

که                               

بنابراین

همه ی مشتقات نسبت به  به صورت نمونه های محاسبه شده ی زیر هستند.

بنابراین

و 

برحسب   و  خواهیم داشت، 

در امتداد محور xها یا محور حقیقی، ، پس

(x)                            

و در امتداد محور yها یا موهومی، ،لذا                 

(xx)                        

چنانچه  به ازای مقادیر مختلط مشتق پذیر (complex differentiable) باشد، آنگاه مقدار این مشتق می بایست برای هر  معلوم ، صرف نظر از جهت گیری آن، یکسان باشد. بنابراین (x) و (xx) معادل یکدیگرند که این به ما می گوید که

و

این ها به معادلات کوشی ـ ریمان شهرت دارند.

این روابط به دو شرط مهم زیر مختوم می شوند

معادلات کوشی ـ ریمان به اختصار به صورت زیر بیان می شوند

که   مزدوج مختلط (complex conjugate) نام دارد.

اگر  در اینصورت معادلات کوشی ـ ریمان به شکل زیر تحویل می یابند

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 17).

چنانچه  و  در معادلات کوشی ـ ریمان صدق کنند، آنگاه در معادله ی لاپلاس (Laplace's equation) در فضای دو بعدی نیز برقرارند، زیرا

با اختیار هر  دلخواه، راه حل های حاصله طوری هستند که به طور خودکار در معادله ی لاپلاس صدق می کنند. در حقیقت از آنها می توان در قضیه ی نگاشت های همدیس (conformal mappings) و پیدا کردن چارچوب و پاسخ های منطقی برای مسائل فیزیکی نظیر شارش شاره ها و الکترواستاتیک استفاده کرد.

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 17, 1972.

Arfken, G. "Cauchy-Riemann Conditions." §6.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 360-365, 1985.

Knopp, K. "The Cauchy-Riemann Differential Equations." §7 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 28-31, 1996.

Krantz, S. G. "The Cauchy-Riemann Equations." §1.3.2 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 13, 1999.

Levinson, N. and Redheffer, R. M. Complex Variables. San Francisco, CA: Holden-Day, 1970.

Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 137, 1997

مختصات قطبی  (مختصات شعاعی)، و  (مختصه ی زاویه ای، که اغلب زاویه ی قطبی polar angle نامیده می شود و در شکل فوق مشخص است) به وسیله ی روابط زیر به مختصات دکارتی مربوط می شوند

که  فاصله ی شعاعی از مبداء مختصات و  زاویه ی پادساعتگرد از محور -ها است. (شکل)  و  نیز برحسب  و ، در جملات زیر خلاصه می شوند

معادله ی خم، در مختصات قطبی، به صورت یک معادله ی قطبی (polar equation) و رسم خم در همین مختصات بصورت یک رسم قطبی (polar plot) بیان می شوند.

طول یک خم در مختصات قطبی با علم بر اینکه ، به صورت زیر است

که در مختصات دکارتی به شکل زیر داده می شود (رجوع کنید به اینجا)

عنصر خط (line element) در اینجا به صورت زیر تعریف می شود

نیز عنصر مساحت به صورت زیر تعریف می شود

  (*)                

که مساحت محصور به خم   عبارت است از

شیب (slope) یک تابع قطبی  در نقطه ی  به صورت

می باشد.

زاویه ی بین مماس و شعاع در نقطه ی  نیز برابر است با

 یک خم قطبی تقریبا نسبت به محور x-ها متقارن است، تنها اگر با تعویض  به  معادله ی حاصل ناوردا باقی بماند. همچنین متقارن است نسبت به محور y-ها اگر و فقط اگر با تغییر  به  معادله ی حاصل دست نخورده باقی بماند و در نهایت متقارن است نسبت به مبدا مختصات چنانچه تنها با تغییر  به  معادله ی حاصل هم ارز معادله ی اولیه باشد.

 همان طور که می دانیم در مختصات دکارتی، بردار مکان  هست

که مشتق آن خواهد بود

بردار یکه اش (واحد) معادل است با

مشتق اش را در زیر می بینیم

در مختصات قطبی نیز بردار مکان (position vector) برابر است با

که مشتقات اول و دوم آن به ترتیب برابرند با

بردارهای یکه (unit vectors) نیز به صورت زیر است

و مشتقاتش

می باشد.

که در اینجا ،  امین عدد اول است. حاصلضرب اویلری (Euler's product)، نامی می باشد که هاویل (J.Havil) به این رابطه داده است.

این ضرب جمله ای را می توان با بسط جملات آن، به آسانی حل کرد. با نوشتن هر جمله به صورت یک سری هندسی (geometric series)، بسط دادن و سپس آرایش جملات مبسوط، روابط زیر را به دست آورد:

چونکه هر حاصلضرب توان های اول (prime powers) تنها و تنها در یک مخرج ظاهر می شود، و هر عدد صحیح مثبت دقیقاْ با یک حاصلضرب توان های اول برابر است، لذا در اینجا این فرایند محاسباتی از قضیه ی اساسی حساب (fundamental theorem of arithmetic) پیروی می کند.

حاصلضرب اویلری را می توان از طریق رابطه ی زیر به تابع موبیوس (Möbius function)، ، مربوط ساخت:

که تابع موبیوس به صورت زیر ارائه می گردد

همچنین می توان با بسط حاصلضرب مذکور، مشاهده کرد که

، اما حاصلضرب متناهی وجود دارد به طوریکه

برای حدود بالاتر ...,n=0,1,2 ضرب ها به ترتیب جواب های 1, 2, 3, 15/4, 35/8, 77/16, 1001/192, 17017/3072, ... را اختیار می کنند. با استفاده از این حاصلضرب می توان نتیجه ی جالبی را به دست آورد که به تئوری مرتنز (Mertens theorem) معروف است.

ضرب های اویلری به طور خلاصه بر روی تخته سیاه جان نش (John Nash)، ریاضیدان آمریکایی که در سال ۱۹۹۴ هم موفق به اخذ جایزه نوبل شده بود، با خطی ناخوانا در فیلمی با عنوان ذهن زیبا که مضمون آن به سرگذشت همین ریاضیدان با بازی Russell Crowe می پردازدُ، به نمایش درآمده بود. لازم به ذکر است این فیلم حدود یک سال پیش از تلوزیون ایران و از شبکه ۱ نیز پخش شده بود.

منابع:

Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.

Edwards, H. M. "The Euler Product Formula." §1.2 in Riemann's Zeta Function. New York: Dover, pp. 6-7, 2001.

Euler, L. "Variae observationes cira series infinitas." St. Petersburg Acad., 1737.

Hardy, G. H. and Wright, E. M. "The Zeta Function." §17.2 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 245-247, 1979.

Havil, J. "The All-Important Formula." §7.1 in Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 61-62, 2003.

Ribenboim, P. The New Book of Prime Number Records, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, p. 216, 1996.

Shimura, G. Euler Products and Eisenstein Series. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997.  

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "Euler's Product for ." §13.3 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 271-272, 1990.

وردش  را به صورت جملاتی از پارامتر  به شکل زیر بسط می دهیم:

که در آن

و جملات را به همین صورت ادامه می دهیم.

وردش ها عبارت اند از:

دومین تغییر (وردش)، می تواند به صورت زیر تحویل گردد:

بنابراین

اما چون

اکنون با انتخاب  نظیر

و همچنین با انتخاب  مانند

بنابراین از دو معادله ی اخیر،  به صورت زیر ابقاء می شود:

که این معادله از

پیروی می کند.

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.

Forsyth, A. R. Calculus of Variations. New York: Dover, pp. 17-20 and 29, 1960.

Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 44, 1980.

Lanczos, C. The Variational Principles of Mechanics, 4th ed. New York: Dover, pp. 53 and 61, 1986.

Morse, P. M. and Feshbach, H. "The Variational Integral and the Euler Equations." §3.1 in Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 276-280, 1953.