روشی برای محاسبه ی ویژه توابع (eigenfunctions) ویژه مقدارها (eigenvalues) است. برای توصیف با استناد بر

که برای داشتن ارزش ثابت (*) الزامی است، مشروط به شرط بهنجارش

و شرایط مرزی

که این در نهایت به معادله ی استروم-لیوویل (Sturm-Liouville equation) منجر خواهد شد

که مقادیر ثابت را بدست می دهد

به طوریکه در آن

و  ویژه مقادیر (eigenvalues) متناظر با ویژه تابع  هستند.

پیوست*:

ارزش ثابت یا مقدار ثابت به مقداری اطلاق می شود که تابع در یک نقطه مانا دارد.

این مقدار می تواند یک نقطه ی عطف (inflection point)، یک نقطه ی مینیمم (minimum) و یک ماکزیمم (maximum) باشد. نقاطی که در آنها همواره مشتق تابع صفر می گردد.

منابع:

Arfken, G. "Rayleigh-Ritz Variational Technique." §17.8 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 957-961, 1985.

Rayleigh, J. W. "In Finding the Correction for the Open End of an Organ-Pipe." Phil. Trans. 161, 77, 1870.

Ritz, W. "Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik." J. reine angew. Math. 135, 1-61, 1908.

Whittaker, E. T. and Robinson, G. "The Rayleigh-Ritz Method for Minimum Problems." §184 in The Calculus of Observations: A Treatise on Numerical Mathematics, 4th ed. New York: Dover, pp. 381-382, 1967 

در آنالیز مختلط گاهی با رابطه ای موسوم به رابطه ی اویلر سروکار داریم. (Trott 2004, p. 174) شکل کلی این رابطه به فرم معادله ی زیر است:

که در این معادله i واحد موهومی (imaginary unit) می باشد. عبارت هم ارز

سابقاْ توسط کتس (Cotes) در سال ۱۷۱۴ میلادی به اثبات رسیده بود. حالت خاص فرمول فوق زمانی است که  باشد. در این صورت شکل جالبی از فرمول فوق به صورت

به دست می آید. زیبایی این رابطه با برقراری ارتباط میان اعداد بنیادی پی، e و i و عدد ۱ و ۰ و نیز عملگرهای بنیادی + و   است که در عین سادگی بدلیل کارایی حیاتی آن در آنالیز فوریه (رجوع شود به این لینک)، یکی از زیباترین روابط شناخته شده در ریاضیات است. سادگی و اهمیت این رابطه از زبان گائوس نقل شده است: «اگر این رابطه بلافاصله در ذهن خواننده روشن نباشد، وی هرگز یک ریاضیدان طراز اول نخواهد شد.» (Derbyshire 2004, p. 202).

فرمول اویلر با استفاده از بسط یک سری به شکل زیر اثبات می شود:

همچنین این رابطه از طریق انتگرال گیری مختلط هم قابل اثبات است. با در نظر گرفتن

بنابراین:

منابع:

Castellanos, D. "The Ubiquitous Pi. Part I." Math. Mag. 61, 67-98, 1988.

Conway, J. H. and Guy, R. K. "Euler's Wonderful Relation." The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 254-256, 1996.

Cotes, R. Philosophical Transactions 29, 32, 1714.

Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.

Euler, L. Miscellanea Berolinensia 7, 179, 1743.

Euler, L. Introductio in Analysin Infinitorum, Vol. 1. Lausanne, p. 104, 1748.

Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdos and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, p. 212, 1998.

Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, 2004.