سری فوریه عبارت است از بسط تابع تناوبی  در قالب جملاتی از جمع نامتناهی کسینوس ها و سینوس ها. در واقع سری فوریه بر کاربرد روابط تعامد (orthogonality relationships) توابع سینوسی و کسینوسی تاکید دارد. محاسبه و مطالعه ی سری های فوریه موسوم به آنالیز هارمونیک (harmonic analysis) می باشد که به عنوان یک روش بسیار سودمند برای تفکیک یک تابع تناوبی دلخواه به مجموعه ای از جملات ساده بوده که به راحتی می توان آنها را فهمید، منحصرا حل کرد و دوباره با ترکیب آنها راه حل مساله ی اولیه را بدست آورد، یا اینکه یک تقریب مطلوب و مناسبی را برای آن تخمین زد. نمونه هایی از تقریب های متوالی برای توابع معمول در ریاضیات با استفاده از سری های فوریه در شکل بالا گرداوری شده است.

به ویژه از آن جایی که با توجه به اصل انطباق (برهم نهی) مجموع پاسخ های یک معادله ی دیفرانسیلی معمولی همگن خطی خود راه حل معادله ی اولیه محسوب می شوند، چنانچه بک چنین معادله ای را بتوان برای یک خم سینوسی یکتا حل کرد، آنگاه راه حل یک تابع دلخواه را می توان فورا با استفاده از توصیف تابع اولیه در قالب یک سری فوریه بدست آورد که متعاقبا این رویه منجر به فهم راه حل هر یک از مولفه های منتسب به خم سینوسی می گردد. این تکنیک حتی در برخی موارد خاص که سری فوریه محصور به یک شکل محدود و بسته است، به راه حل های تحلیلی نیز می انجامد.

هر مجموعه ای از توابعی که یک دستگاه متعامد (راست گوشه) کامل (complete orthogonal system) را تشکیل می دهند، یک سری فوریه ی تعمیم یافته (generalized Fourier series) متناظر دارند که شبیه به سری فوریه است. مثلاْ استفاده از تعامد ریشه های تابع بسل نوع اول (Bessel function of the first kind) به اصطلاح یک سری بسل ـ فوریه (Bessel function of the first kind) را بدست می دهد.

محاسبه ی سری فوریه (معمول) بر پایه ی اتحاد های انتگرالی زیر است:

که  و  نماد دلتای کرونکر است:

با استفاده از متد سری فوریه تعمیم یافته (generalized Fourier series) سری فوریه ی معمول شامل جملات سینوسی و کسینوسی با قرار دادن  و  حاصل می شود. چون این توابع یک دستگاه متعامد کامل در بازه ی را ایجاد می کنند، سری فوریه تابع  به صورت زیر داده می شود:

که

 و ... n=۱،۲،۳ توجه کنید که عامل a₀ در فرم خاصی نوشته شده است که در قیاس با شکل عمومی سری فوریه تعمیم یافته می تواند تقارن نسبت به تعاریف  a_n و b_n را حفظ کند.

اگر یک تابع شرایط دیریشله (Dirichlet conditions) را تصدیق کند، سری فوریه تابع مزبور همگرا به تابع  می باشد که برابر با تابع اولیه در نقاط پیوستگی و یا میانگین دو حد در نقاط ناپیوستگی است، یعنی

۱) قضیه ی وینر - خین چن

اگر تعریف تابع رابط خودکار (autocorrelation)  تابعی نظیر  را به خاطر بیاوریم درمی یابیم که این رابطه به شکل زیر نوشته می شود

همچنین می دانیم که تبدیل فوریه ی  به صورت زیر است

و با در نظر داشتن همیوغ مختلط  این رابطه به صورت انتگرال لبگ قابل بسط است

با وارد کردن همیوغ مختلط  یعنی و  به معادله ی اول آنگاه داریم

که  تابع دلتای دیراک (Delta Function) است. تعجب آور است که رابط خودکار به سادگی توسط تبدیل فوریه ی مربع قدرمطلق  به دست آمد.

قضیه ی وینر - خین چن حالت خاصی از قضیه ی کلی تر همبستگی متقابل (cross-correlation theorem ) زمانی که .

تبدیلات فوریه به طور کلی، تعمیم سری های فوریه در حالتی است که حد  برقرار باشد. این کار را می توان با جداسازی ضریب  از معادله ی سری گون  و تبدیل آن به جملات پیوسته ی  است که شرط تغییر  در آن الزامی است. سپس تغییر این سری به شکل انتگرال (به دلیل پیوستگی دامنه ی تابع) خواهیم داشت

 در اینجا

   که تبدیل فوریه به جلو () نامیده می شود و

تبدیل فوریه وارون () یا وارون تبدیل فوریه نامیده می شود. نماد  توسط ترات (M.Trott) برای نمایش این تبدیلات معرفی شده است. (2004, p. xxxiv)، و  و  بعضی اوقات به ترتیب تبدیل فوریه و تبدیل فوریه ی وارون نامیده می شوند که غالباْ با همین نام ها شناخته و مرسوم هستند. (Krantz 1999, p. 202)