رياضيات زيبا

برای تابع متناوب

در یک بازه مثل

به جای

، یک تغییر ساده ی متغیرها می تواند برای تبدیل بازه ی انتگرالگیری از

به

مورد استفاده قرار بگیرد. فرض کنیم:

با حل معادله اول نسبت به داریم ، لذا با وارد کردن این به

خواهیم داشت:

بنابراین:

به طور یکسان، برای تابعی که در بازه ی تعریف می شود، معادلات بالا به سادگی به اشکال زیر تبدیل می شوند:

در حقیقت برای تابع متناوب با دوره ی ، هر بازه ی با توجه به یکی از دو اصل راحتی یا اولویت شخصی می تواند بکار گرفته شود (Arfken 1985, p. 769).

ضرایب (coefficients) برای بسط های سری های فوریه ی تعدادی از توابع مرسوم در Beyer, 1987, pp. 411-412 و Byerly, 1959, p. 51 آمده است. یکی از مرسوم ترین توابعی که با استفاده از تکنیک اخیر مورد تجزیه تحلیل قرار می گیرد، موج چهار گوش یا مربعی (square wave) است. سری های فوریه برای تعدادی از توابع مرسوم در جدول زیر گرداوری شده اند.

تابع

سری فوریه

سری های فوریه---موج دندانه اره ای

سری های فوریه---موج مربعی

سری های فوریه---موج مثلثی

اگر یک تابع زوج باشد، یعنی ، آنگاه زوج است. (این بدان خاطر است که چون فرد است و یک تابع زوج (even function) ضرب در یک تابع زوج برابر با یک تابع فرد (odd function) است.) بنابراین برای تمامی nها . به طور یکسان، اگر یک تابع فرد است، پس ، آنگاه فرد است. (این بدان خاطر است که چون زوج است و یک تابع زوج (even function) ضرب در یک تابع فرد برابر با یک تابع فرد (odd function) است.) بنابراین برای تمامی nها

نظریه ی سری های فوریه همچنین می تواند به ضرایب مختلط (complex coefficients) بسط داده شود. یک تابع حقیقی-مقدار را در نظر می گیریم. می نویسیم:

حال بررسی می کنیم که

$sum_(n=-infty)^(infty)A_nint_(-pi)^pi{cos[(n-m)x]+isin[(n-m)x]}dx$

لذا

ضرایب (coefficients) را می توان برحسب آنهایی که در سری های فوریه گفته شده اند، توضیح داد:

${1/(2pi)int_(-pi)^pif(x)[cos(nx)+isin(nx)]dx n<0; 1/(2pi)int_(-pi)^pif(x)dx n=0; 1/(2pi)int_(-pi)^pif(x)[cos(nx)-isin(nx)]dx n>0$

${1/2(a_n+ib_n) for n<0; 1/2a_0 for n=0; 1/2(a_n-ib_n) for n>0.$

برای یک تابع متناوب در ، اینها به شکل های زیر تبدیل خواهند شد:

این معادلات مبنای مهمی برای شکل گیری تبدیل فوریه (Fourier transform) محسوب می شوند که با تبدیل از یک متغیر مجزا به یک متغیر پیوسته در طول بدست می آید.

لینک مربوطه: سری فوریه

منابع:

Arfken, G. "Fourier Series." Ch. 14 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 760-793, 1985.

Askey, R. and Haimo, D. T. "Similarities between Fourier and Power Series." Amer. Math. Monthly 103, 297-304, 1996.

Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 1987.

Brown, J. W. and Churchill, R. V. Fourier Series and Boundary Value Problems, 5th ed. New York: McGraw-Hill, 1993.

Byerly, W. E. An Elementary Treatise on Fourier's Series, and Spherical, Cylindrical, and Ellipsoidal Harmonics, with Applications to Problems in Mathematical Physics. New York: Dover, 1959.

Carslaw, H. S. Introduction to the Theory of Fourier's Series and Integrals, 3rd ed., rev. and enl. New York: Dover, 1950.

Davis, H. F. Fourier Series and Orthogonal Functions. New York: Dover, 1963.

Dym, H. and McKean, H. P. Fourier Series and Integrals. New York: Academic Press, 1972.

Folland, G. B. Fourier Analysis and Its Applications. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, 1992.

Groemer, H. Geometric Applications of Fourier Series and Spherical Harmonics. New York: Cambridge University Press, 1996.

Körner, T. W. Fourier Analysis. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1988.

Körner, T. W. Exercises for Fourier Analysis. New York: Cambridge University Press, 1993.

Krantz, S. G. "Fourier Series." §15.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 195-202, 1999.

Lighthill, M. J. Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1958.

Morrison, N. Introduction to Fourier Analysis. New York: Wiley, 1994.

Sansone, G. "Expansions in Fourier Series." Ch. 2 in Orthogonal Functions, rev. English ed. New York: Dover, pp. 39-168, 1991.

Weisstein, E. W. "Books about Fourier Transforms." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/FourierTransforms.html.

Whittaker, E. T. and Robinson, G. "Practical Fourier Analysis." Ch. 10 in The Calculus of Observations: A Treatise on Numerical Mathematics, 4th ed. New York: Dover, pp. 260-284, 1967

سری فوریه عبارت است از بسط تابع تناوبی در قالب جملاتی از جمع نامتناهی کسینوس ها و سینوس ها. در واقع سری فوریه بر کاربرد روابط تعامد (orthogonality relationships) توابع سینوسی و کسینوسی تاکید دارد. محاسبه و مطالعه ی سری های فوریه موسوم به آنالیز هارمونیک (harmonic analysis) می باشد که به عنوان یک روش بسیار سودمند برای تفکیک یک تابع تناوبی دلخواه به مجموعه ای از جملات ساده بوده که به راحتی می توان آنها را فهمید، منحصرا حل کرد و دوباره با ترکیب آنها راه حل مساله ی اولیه را بدست آورد، یا اینکه یک تقریب مطلوب و مناسبی را برای آن تخمین زد. نمونه هایی از تقریب های متوالی برای توابع معمول در ریاضیات با استفاده از سری های فوریه در شکل بالا گرداوری شده است.

به ویژه از آن جایی که با توجه به اصل انطباق (برهم نهی) مجموع پاسخ های یک معادله ی دیفرانسیلی معمولی همگن خطی خود راه حل معادله ی اولیه محسوب می شوند، چنانچه بک چنین معادله ای را بتوان برای یک خم سینوسی یکتا حل کرد، آنگاه راه حل یک تابع دلخواه را می توان فورا با استفاده از توصیف تابع اولیه در قالب یک سری فوریه بدست آورد که متعاقبا این رویه منجر به فهم راه حل هر یک از مولفه های منتسب به خم سینوسی می گردد. این تکنیک حتی در برخی موارد خاص که سری فوریه محصور به یک شکل محدود و بسته است، به راه حل های تحلیلی نیز می انجامد.

هر مجموعه ای از توابعی که یک دستگاه متعامد (راست گوشه) کامل (complete orthogonal system) را تشکیل می دهند، یک سری فوریه ی تعمیم یافته (generalized Fourier series) متناظر دارند که شبیه به سری فوریه است. مثلاْ استفاده از تعامد ریشه های تابع بسل نوع اول (Bessel function of the first kind) به اصطلاح یک سری بسل ـ فوریه (Bessel function of the first kind) را بدست می دهد.

محاسبه ی سری فوریه (معمول) بر پایه ی اتحاد های انتگرالی زیر است:

که و نماد دلتای کرونکر است:

$delta_(ij)={0 for i!=j; 1 for i=j.$

با استفاده از متد سری فوریه تعمیم یافته (generalized Fourier series) سری فوریه ی معمول شامل جملات سینوسی و کسینوسی با قرار دادن و حاصل می شود. چون این توابع یک دستگاه متعامد کامل در بازه ی را ایجاد می کنند، سری فوریه تابع به صورت زیر داده می شود:

که

و ... n=۱،۲،۳ توجه کنید که عامل a₀در فرم خاصی نوشته شده است که در قیاس با شکل عمومی سری فوریه تعمیم یافته می تواند تقارن نسبت به تعاریف a_n و b_n را حفظ کند.

اگر یک تابع شرایط دیریشله (Dirichlet conditions) را تصدیق کند، سری فوریه تابع مزبور همگرا به تابع می باشد که برابر با تابع اولیه در نقاط پیوستگی و یا میانگین دو حد در نقاط ناپیوستگی است، یعنی

$f^_={1/2[lim_(x->x_0^-)f(x)+lim_(x->x_0^+)f(x)] for -pi<x_0<pi; 1/2[lim_(x->-pi^+)f(x)+lim_(x->pi_-)f(x)] for x_0=-pi,pi$

FourierSeriesSquareWave

به عنوان یک نتیجه، در نزدیکی ناپیوستگی ها، یک رشته ی حلقوی موسوم به پدیده ی گیبس (Gibbs phenomenon) می تواند اتفاق بیفتد که در شکل بالا به وضوح این مطلب قابل تایید است.

لینک مربوطه: سری فوریه (تکمیلی)

۱) قضیه ی وینر - خین

اگر تعریف تابع خودهمبستگی (autocorrelation) تابعی نظیر را به خاطر بیاوریم،

همچنین می دانیم که تبدیل فوریه ی به صورت زیر است

که همیوغ مختلط آن نیز به صورت زیر نوشته می شود:

با وارد کردن و به تابع خودهمبستگی آنگاه داریم

که تابع دلتای دیراک (Delta Function) است. تعجب آور است که خودهمبستگی به سادگی توسط تبدیل فوریه ی مربع قدرمطلق به دست آمد.

قضیه ی وینر - خین چن حالت خاصی از قضیه ی کلی تر همبستگی متقابل (cross-correlation theorem) زمانی که .

ادامه مطلب

تبدیلات فوریه به طور کلی، تعمیم سری فوریه مختلط در حالتی است که حد برقرار باشد. این کار را می توان با تعویض سری مجزای با حاصل ضرب یک انتگرالده در دیفرانسیل متغیر آن و نیز فرض انجام داد. سپس سری را به شکل یک انتگرال می نویسیم و معادلات برابر خواهند بود با

در اینجا

که تبدیل فوریه ی پیشرو () نامیده می شود و

تبدیل فوریه وارونه () یا وارون تبدیل فوریه نامیده می شود. نماد در ترات (M.Trott) معرفی شده است (2004, p. xxxiv)، و و بعضی اوقات به ترتیب تبدیل فوریه و تبدیل فوریه ی وارونه نامیده می شوند که غالباْ با همین نام ها شناخته و مرسوم هستند (Krantz 1999, p. 202).

ادامه مطلب

تابع		سری فوریه
سری های فوریه---موج دندانه اره ای
سری های فوریه---موج مربعی
سری های فوریه---موج مثلثی