نقاط اویلری، نقاط میانی (midpoints) ,  و  پاره خط های متصل به رئوس ,  و  مثلث  هستند و  محل تقاطع ارتفاعات مثلث (orthocenter) است. این نقاط سه نقطه از مجموع ۹ نقطه ای از مثلث مفروض هستند که یک دایره ی نه-نقطه ای  (nine-point circle) - یعنی دایره ای که در نه نقطه از این مثلث می گذرد - آن را تشکیل می دهد. نقاط اویلری  مثلث اویلری   (Euler triangle) را می سازند.

با در نظر گرفتن مثلث  مثلث پادک (orthic triangle)  را رسم می کنیم. سپس خطوط اویلری (Euler lines) متعلق به سه  مثلث گوشه ای  و  و   را از میان نقاط اویلری عبور می دهیم تا در نقطه ی  واقع بر روی دایره ی نه-نقطه ای به همدیگر برسند، به طوریکه یکی از روابط

همواره برقرار است (Thébault 1947, 1949; Thébault et al. 1951).

منابع:

onsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 6, 1995.

Thébault, V. "Concerning the Euler Line of a Triangle." Amer. Math. Monthly 54, 447-453, 1947.

Thébault, V. "Problem 4328." Amer. Math. Monthly 56, 39-40, 1949.

Thébault, V.; Ramler, O. J.; and Goormaghtigh, R. "Solution to Problem 4328: Euler Lines." Amer. Math. Monthly 58, 45, 1951.  

چهار پارامتر , ,  و  یک دوران متناهی پیرامون یک محور دلخواه را توصیف می کنند.. پارامترهای اویلری به صورت زیر مشخص می شوند

(که   بردار قائم یکه است)، و در نمایش اسکالر ـ بردار یک چهارگان (quaternion) هستند.

چون قضیه ی دوران اویلر (Euler's rotation theorem) بیان می کند که یک دوران دلخواه تنها با ۳ پارامتر توصیف می شود، لذا رابطه ای مانند زیر بایستی بین این چهار پارامتر وجود داشته باشد

 (Goldstein 1980, p. 153). ارتباط زاویه ی دوران با پارامترهای اویلر توسط رابطه ی زیر داده می شود

و در نهایت

پارامترهای اویلر را می توان بر حسب جملاتی از زوایای اویلری (Euler angles) نیز نمایش داد

 (Goldstein 1980, p. 155).

با استفاده از پارامترهای اویلری فرمول دوران (rotation formula) به دست می آید

و ماتریس دوران (rotation matrix) به شکل زیر حاصل می شود

که عناصر ماتریس عبارت اند از

در اینجا از قاعده ی جمع اینیشتین استفاده شده است و  تابع دلتای کرونکر (i=j آنگاه ۱=  و در غیر این صورت ۰= ) و   تانسور لوی ـ سیویتا (Levi - Civita) یا نماد جایگشت (permutation symbol) می باشد.

عناصر ماتریس هم به شکل زیر رائه می شوند

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 198-200, 1985.

Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1980.

Landau, L. D. and Lifschitz, E. M. Mechanics, 3rd ed. Oxford, England: Pergamon Press, 1976.

آجر اویلر مکعبی (cuboid) است که اضلاع آن اعداد صحیحی بوده، به طوریکه ، و اقطار وجهی (face diagonals) آن عبارت اند از

اگر قطر فضایی (space diagonal) هم یک صحیح باشد، آنگاه آجر اویلر یک مکعب کامل (Perfect Cuboid) نامیده می شود. اگر چه نمونه های مکعب کامل در حال حاضر شناخته شده نیستند.

کوچکترین آجر اویلر دارای ابعاد  است و قطر های چندسطحی آن (polyhedron diagonals) به صورت و   و   است که توسط هالک (P. Halcke) ،(1719; Dickson 2005, pp. 497-500) کشف شده است. کرایچیک (Kraitchik) به تعداد ۲۵۷ مکعب با اضلاع فرد کوچکتر از ۱ میلیون را بدست آورده است (Guy 1994, p. 174). هلنیوس (F. Helenius) لیست کاملی از ۵۰۰۳ آجر اویلر (اندازه گیری شده توسط بزرگترین ضلع ) را تهیه کرده است که نخستین آنها به اضلاع (240, 117, 44), (275, 252, 240), (693, 480, 140), (720, 132, 85), (792, 231, 160), ... هستند.

این مسئله در سده ی ۱۸ ام میلادی ذهن بسیاری را به خود مشغول کرد تا اینکه ساندرسون (1740) به راه حل پارامتری توفیق یافت که  آجرهای اویلر را به دست می داد (البته تمامی آجرهای ممکن را پاسخ گو نبود)، در حالیکه اویلر در سال ۱۷۷۰ و ۱۷۷۲دستکم به دو راه حل پارامتری دست یافته بود. راه حل ساندرسون این بود که او فرض کرد که   یک گروه سه تایی فیثاغورثی (Pythagorean triple) باشند، آنگاه

یک آجر اویلری با اقطار وجهی زیر است

(Saunderson 1740; Dickson 2005, p. 497).   

منابع:

Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis. New York: Dover, 2005.

Guy, R. K. "Is There a Perfect Cuboid? Four Squares Whose Sums in Pairs Are Square. Four Squares Whose Differences are Square." §D18 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 173-181, 1994.

Halcke, P. Deliciae Mathematicae; oder, Mathematisches sinnen-confect. Hamburg, Germany: N. Sauer, p. 265, 1719.

Leech, J. "The Rational Cuboid Revisited." Amer. Math. Monthly 84, 518-533, 1977. Erratum in Amer. Math. Monthly 85, 472, 1978.

Peterson, I. "MathTrek: Euler Bricks and Perfect Polyhedra." Oct. 23, 1999.

Rathbun, R. L. "Integer Cuboid Search Update." NMBRTHRY@listserv.nodak.edu posting. 8 Jan 2001.

Saunderson, N. The Elements of Algebra in 10 Books, Vol. 2. Cambridge, England: University Press, pp. 429-431, 1740.

Spohn, W. G. "On the Integral Cuboid." Amer. Math. Monthly 79, 57-59, 1972.

Spohn, W. G. "On the Derived Cuboid." Canad. Math. Bull. 17, 575-577, 1974.

Wells, D. G. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. London: Penguin, p. 127, 1986.  

اتحاد چند جمله ای شگفت انگیز

کلیک کنید

مربوط به مکاتبه ی اویلر در ۱۵ آوریل سال ۱۷۵۰ با گلدباخ است. (البته به صورت نادرستی این تاریخ قبل از تولد اویلر در ۱۵ آوریل ۱۷۰۵ در Conway and Guy 1996, p. 232 ذکر شده است). این اتحاد همچنین از این حقیقت تبعیت می کند که «نرم حاصلضرب دو چهارگان (quaternion) همواره برابر با حاصلضرب نرم هاست.»

منابع:

Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, p. 232, 1996.

Nagell, T. Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 191-192, 1951.

Petkovsek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A. K. Peters, p. 8, 1996.

چند جمله ای های اویلری، ، از دنباله ی اپل (Appell sequence) بدست می آید که شکل عمومی آن به صورت

که تابع مولد آن

است. جملات آغازین جند جمله ای اویلر به ترتیب زیر می باشد:

(¤)                       

در رابطه با این چندجمله ای ها رمان (Roman, S - 1984, p. 100)، یک تعمیم کلی از  را به ازای هر  به نمایش درآورد. چندجمله ای های اویلر همچنین به اعداد برنولی (Bernoulli numbers) توسط روابط

به هم وابسته اند که در آن

ترکیب n و k می باشد. با جایگذاری ، در رابطه ی بالا و هنجارسازی آن توسط ، اعداد اویلری به صورت

به دست می آیند. نامگذاری معادله ی فوق به شکل  است که جملات آغازین آن عبارتند از ، 0 ، 1/4، 0 ، 17/8 ، 0 ، 31/2 ،0 و ... جملات همان جملات قبلی (¤) هستند، با این تفاوت که اگر  را در آنها جایگذاری کنیم، تنها علامت آنها برعکس می شود. این مقدارها می توانند با استفاده از جمع دوگانه (double sum) محاسبه شوند:

اعداد برنولی  برای را می توان برحسب  به این صورت بیان نمود:

بسط نیوتونی (Newton expansion) چند جمله ای های اویلری به شکل

است که در آن

ترکیب n و k،  یک فاکتوریل فالینگ (falling factorial) و  یک عدد استرلینگ نوع دوم Stirling number of the second است (Roman 1984, p. 101). 

 چند جمله ای های اویلر به ازای هر n صحیح و نامنفی، دارای خواص زیر است:

و

منابع:

 Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Bernoulli and Euler Polynomials and the Euler-Maclaurin Formula." §23.1 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 804-806, 1972.

Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 2000.

Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; and Brychkov, Yu. A. "The Generalized Zeta Function , Bernoulli Polynomials , Euler Polynomials , and Polylogarithms ." §1.2 in Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions. Newark, NJ: Gordon and Breach, pp. 23-24, 1990.

Roman, S. "The Euler Polynomials." §4.2.3 in The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 100-106, 1984.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Euler Polynomials ." Ch. 20 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 175-181, 1987.