Abstract. Here we prove a theorem for the Legendre transformatiom of some specific derivative-like sequence as is chosen to be the argument of the Legendre transform \(f^{\star}\) of a function \(f\) using  theory of convex functions and the mean value theorem in one-dimensional space and with the help of some program that is established to provide some conditions of the local convexity that may be incompatible with the existence of the Legendre transformation. Also the useful results of this theorem together with some examples will be given. The results aim at providing a new set of the Legendre transformations that is generated by a given convex function and the change in the variable of function which is regarded as an interval length. This generation is actually based on an appropriate modification of variables.

 Key words: Legendre transformation, Local convexity, quasiconvexity, pseudoconvexity,  pseudo-mean value. 

Author: Alireza Behtash

در مقاله ی زیر که شما خلاصه ی آن را در بالا می بینید، من ابتدا پس از توضیحاتی راجع به تبدیلات لژاندر یک قضیه ی ساده در این زمینه را اثبات کرده ام که می توان آنرا تعمیم نامعادله ی یانگ روی بازه های بسته پنداشت که این اجازه را می دهد تا بتوان نوع جدیدی از تبدیلات لژاندر را تولید کرد که در آنها نیازی به ماکزیمم کزدن تبدیل لژاندر نیست. این اثبات به کمک قضیه مقدار میانی و شرط محدب بودن تابع صورت می پذیرد. همچنین در بخش دوم، به مرور یک برنامه ی جامع پیرامون شرایط محدب و شبه محدب بودن یک تابع بر روی یک بازه بسته می پردازیم که در آن از مفهوم مقدار میانی بهره برده ایم. این برنامه شامل آن دسته از توابع مطلقاْ پیوسته می شود که دستکم سه بار مشتق پذیرند و یا بر روی بازه ی بسته ای از دامنه مشتق پذیر نیستند (یا به اصطلاح تکه ای مشتق پذیرند - piecewise differentiable). در بخش آخر نیز به بررسی نتایج قضیه و ذکر یک مثال از سیطره ی فیزیک در رابطه با این نتایج بسنده کرده ایم.

Download the article here: An Inequality for the Legendre Transformation