تبليغاتX
رياضيات زيبا

"سری فاکس ترات" یک جمع ریاضی است که دوم ژوئن ۱۹۹۶ در کارتون فاکس ترات ساخته ی بیل ایمند (Bill Amend) نمایش داده شد (Amend 1998, p. 19; Mitchell 2006/2007). این سری از یک مساله ی آزمون همگرایی در کتاب حساب دیفرانسیل آنتون ناشی شد، اما به طور غیر عمدی تبدیل به یک مساله ی جمع زنی در به اصطلاح کارتون فاکس ترات گشت:

 F=sum_(n=1)^infty((-1)^(n+1)n^2)/(n^3+1)=....              

محاسبه ی این جمع به طور خارق العاده ای یک عبارت خیلی پیچیده ای که شامل جمع ۴ تابع دی گاما (digamma functions) را بدست می دهد، اما می توان این کار را به طور بسیار زیباتری با چند ساده سازی در نمادها انجام داد. علی الخصوص، تجزیه ی پاره کسری این سری بدست می دهد

-1/3sum_(n=1)^(infty)((-1)^n)/(1+n)+1/3sum_(n=1)^(infty)((-1)^n(1-2n))/(1-n+n^2)    =   F

1/3(1-ln2)+(zeta^2)/3sum_(n=1)^(infty)(-1)^n(1-2n)×[1/((1+zeta)(zeta-n))+1/((1+zeta)(zeta^2+n))]   =     

1/3[1-ln2+pisech(1/2sqrt(3)pi)]    =     

0.239560747...   =     

(Sloane's A127198)، که در آن zeta=(-1)^(1/3)=(1+isqrt(3))/2 و جمع های آخر برحسب تابع دی گاما (digamma function) و برخی ساده سازی های نمادی انجام شده اند.

 

منابع:

Amend, B. Camp FoxTrot. Kansas City, MO: Andrews McMeel, p. 19, 1998.

Mitchell, C. W. Jr. In "Media Clips" (Ed. M Cibes and J. Greenwood). Math. Teacher 100, 339, Dec. 2006/Jan. 2007. Sloane, N. J. A. Sequence A127198 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."  

+ نوشته شده در ساعت 14:28 توسط علیرضا بهتاش