رياضيات زيبا

تانسور ریمان

تانسور ریمان (Riemann tensor) كه همچنين با نام تانسور انحناي ريمان - كريستوفل يا تانسور انحناي ريمان نيز مشهور است، يك تانسور 4 شاخصي بسيار مهم و كاربردي در نسبيت عام است. ديگر تانسورهاي نسبيتي مفيد مانند تانسور انحناي ريچي (Ricci curvature tensor) و تانسور انحناي اسكالر نيز از تانسور نشئت مي گيرند:

كه در آن ضرايب ارتباط (connection coefficients) و علامت كاما "," مشتق معمولی را نسبت به شاخص بعد از خودش نشان می دهد. در یک بعد داریم . در چهار بعد این تانسور ۲۵۶ مولفه دارد. با استفاده از روابط تقارنی،

تعداد مولفه های مستقل به ۳۶ تا کاهش می یابد. با تحمیل شرط

تعداد مختصه ها به ۲۱ عدد تقلیل می یابد. درنهایت با استفاده از

تعداد مولفه های مستقل ۲۰ تا خواهند شد.

به طور کلی تعداد مولفه های مستقل در n بعد توسط رابطه ی زیر داده می شود:

اعداد هرمی چهار - بعدی (four-dimensional pyramidal numbers) از کوچک به ترتیب عبارتند از ۰ و ۱و ۶و ۲۰و ۵۰و ۱۰۵و ۱۹۶و ۳۳۶و ۵۴۰و ... . تعداد اسکالرهای (scalars) ممکن که می توان آنها را از و ساخت، برابرند با

$S_n={1 for n=2; 1/(12)n(n-1)(n-2)(n+3) for n=1,n>2$

در جملات تانسور ژاکوبی (Jacobi tensor)

فرض می کنیم که

$D^~_s=partial/(partialx^s)-sum_(l){s u; l},$

که کمیت نماد کریستوفل نوع دوم (Christoffel symbol of the second kind) است. بنابراین

$R_(pqrs)=D^~_q{p r; s}-D^~_r{r q; s}.$

به ساده ترین شکل اش در N بعد تجزیه می شود:

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.

Misner, C. W.; Thorne, K. S.; and Wheeler, J. A. "Geodesic Deviation and the Riemann Curvature Tensor." §8.7 in Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman, pp. 218-224, 1973.

Parker, L. and Christensen, S. M. "The Riemann Curvature Tensor." §2.7 in MathTensor: A System for Doing Tensor Analysis by Computer. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 28-32, 1994.

Schutz, B. F. "Riemann Tensor" and "Geometric Interpretation of the Riemann Tensor." §6.8 in A First Course in General Relativity. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 210-214, 1985.

Schmutzer, E. Relativistische Physik (Klassische Theorie). Leipzig, Germany: Akademische Verlagsgesellschaft, 1968.

Sloane, N. J. A. Sequences A002415/M4135 and A050297 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Weinberg, S. "Definition of the Curvature Tensor" and "Uniqueness of the Curvature Tensor." §6.1 and 6.2 in Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. New York: Wiley, pp. 131-135, 1972.

+ نوشته شده در ساعت 1:35 توسط علیرضا بهتاش