فرض کنیم

که                                                                                        

بنابراین

همه ی مشتقات f نسبت به z به صورت نمونه های محاسبه شده ی زیر هستند.

بنابراین

و

در جملات  و  خواهیم داشت،

در امتداد محور xها یا اعداد حقیقی،، پس

(x)                                           

و در امتداد محور yها یا موهومی،،لذا                 

(xx)                                         

چنانچه f به ازای مقادیر مختلط مشتق پذیر باشد، آنگاه مقدار این مشتق می بایست بدون توجه به جهت محورها همان تعریف اخیر برای  باشد. بنابراین (x) و (xx) معادل یکدیگرند که این هم ارز است با

و

این ها به معادلات کوشی ـ ریمان شهرت دارند.

این روابط را می توان با مشتق گیری دوباره به شکل زیر نشان داد

معادلات کوشی ـ ریمان صریحاْ به صورت زیر بیان می شوند

که  مزدوج مختلط (complex conjugate) نام دارد.

اگر  در اینصورت معادلات کوشی ـ ریمان به شکل زیر تحویل می یابند

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 17).

چنانچه  و   در شرایط معادلات کوشی ـ ریمان صدق کنند، آنگاه در معادله ی لاپلاس Laplace's equation نیز برقرارند، زیرا

با اختیار هر  دلخواه، راه حل های حاصله به طور خودکار از معادلات کوشی ـ ریمان و معادله ی لاپلاس کسب می شوند. در حقیقت از آنها می توان در قضیه ی نگاشت های همدیس (conformal mappings) و پیدا کردن چارچوب و پاسخ های منطقی برای مسائل فیزیکی نظیر شارش شاره ها و الکترواستاتیک استفاده کرد.

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 17, 1972.

Arfken, G. "Cauchy-Riemann Conditions." §6.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 360-365, 1985.

Knopp, K. "The Cauchy-Riemann Differential Equations." §7 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 28-31, 1996.

Krantz, S. G. "The Cauchy-Riemann Equations." §1.3.2 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 13, 1999.

Levinson, N. and Redheffer, R. M. Complex Variables. San Francisco, CA: Holden-Day, 1970.

Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 137, 1997