رياضيات زيبا

تبدیلات فوریه (1)

تبدیلات فوریه به طور کلی، تعمیم سری فوریه مختلط در حالتی است که حد برقرار باشد. این کار را می توان با تعویض سری مجزای با حاصل ضرب یک انتگرالده در دیفرانسیل متغیر آن و نیز فرض انجام داد. سپس سری را به شکل یک انتگرال می نویسیم و معادلات برابر خواهند بود با

در اینجا

که تبدیل فوریه ی پیشرو () نامیده می شود و

تبدیل فوریه وارونه () یا وارون تبدیل فوریه نامیده می شود. نماد در ترات (M.Trott) معرفی شده است (2004, p. xxxiv)، و و بعضی اوقات به ترتیب تبدیل فوریه و تبدیل فوریه ی وارونه نامیده می شوند که غالباْ با همین نام ها شناخته و مرسوم هستند (Krantz 1999, p. 202).

ادامه مطلب

+ نوشته شده در ساعت 3:17 توسط علیرضا بهتاش

مختصات قطبی (polar coordinates)

مختصات قطبی (مختصات شعاعی)، و (مختصه ی زاویه ای، که اغلب زاویه ی قطبی polar angle نامیده می شود و در شکل فوق مشخص است) به وسیله ی روابط زیر به مختصات دکارتی مربوط می شوند

که فاصله ی شعاعی از مبداء مختصات و زاویه ی پادساعتگرد از محور -ها است. (شکل) و نیز برحسب و ، در جملات زیر خلاصه می شوند

معادله ی خم، در مختصات قطبی، به صورت یک معادله ی قطبی (polar equation) و رسم خم در همین مختصات بصورت یک رسم قطبی (polar plot) بیان می شوند.

طول یک خم در مختصات قطبی با علم بر اینکه ، به صورت زیر است

که در مختصات دکارتی به شکل زیر داده می شود (رجوع کنید به اینجا)

عنصر خط (line element) در اینجا به صورت زیر تعریف می شود

نیز عنصر مساحت به صورت زیر تعریف می شود

(*)

که مساحت محصور به خم عبارت است از

شیب (slope) یک تابع قطبی در نقطه ی به صورت

می باشد.

زاویه ی بین مماس و شعاع در نقطه ی نیز برابر است با

یک خم قطبی تقریبا نسبت به محور x-ها متقارن است، تنها اگر با تعویض به معادله ی حاصل ناوردا باقی بماند. همچنین متقارن است نسبت به محور y-ها اگر و فقط اگر با تغییر به معادله ی حاصل دست نخورده باقی بماند و در نهایت متقارن است نسبت به مبدا مختصات چنانچه تنها با تغییر به معادله ی حاصل هم ارز معادله ی اولیه باشد.

همان طور که می دانیم در مختصات دکارتی، بردار مکان هست

که مشتق آن خواهد بود

بردار یکه اش (واحد) معادل است با

مشتق اش را در زیر می بینیم

در مختصات قطبی نیز بردار مکان (position vector) برابر است با

که مشتقات اول و دوم آن به ترتیب برابرند با

[-rsinthetatheta^.+costhetar^.; rcosthetatheta^.+sinthetar^.]=rtheta^.theta^^+r^.r^^

بردارهای یکه (unit vectors) نیز به صورت زیر است

((dr)/(dr))/(|(dr)/(dr)|)=[costheta; sintheta]

((dr)/(dtheta))/(|(dr)/(dtheta)|)=[-sintheta; costheta],

و مشتقاتش

[-sinthetatheta^.; costhetatheta^.]=theta^.theta^^

[-costhetatheta^.; -sinthetatheta^.]=-theta^.r^^.

می باشد.

+ نوشته شده در ساعت 14:25 توسط علیرضا بهتاش

اتحاد مربعات چهار جمله ای اویلر (Euler Four-Square Identity)

اتحاد چند جمله ای شگفت انگیز

کلیک کنید

مربوط به مکاتبه ی اویلر در ۱۵ آوریل سال ۱۷۵۰ با گلدباخ است. (البته به صورت نادرستی این تاریخ قبل از تولد اویلر در ۱۵ آوریل ۱۷۰۵ در Conway and Guy 1996, p. 232 ذکر شده است). این اتحاد همچنین از این حقیقت تبعیت می کند که «نرم حاصلضرب دو چهارگان (quaternion) همواره برابر با حاصلضرب نرم هاست.»

منابع:

Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, p. 232, 1996.

Nagell, T. Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 191-192, 1951.

Petkovsek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A. K. Peters, p. 8, 1996.

+ نوشته شده در ساعت 2:45 توسط علیرضا بهتاش