جال مشتق گیری را در نظر می گیریم. فرض کنیم  ،   بار در  مشتق پذیر باشد. اگر  ، آنگاه

این را میتوان به کمک انتگرال جزء به جزء آشکار ساخت:

ادامه ی این روش به مشتقات مرتبه ی بالاتر نتیجه می دهد:

ار این خاصیت تبدیل لاپلاس می توان در تبدیل معادلات دیفرانسیل به معادلاتی جبری استفاده کرد که به حساب هوی ساید (Heaviside calculus) معروف است. آنگاه با انجام تبدیل وارون می توان به پاسخ دست یافت. به عنوان مثال، بکار بردن تبدیل لاپلاس برای معادله ی دیفرانسیلی

خواهیم داشت:

که آخری را می توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

اگر تبدیل وارون لاپلاس را بتوان بر این معادله اعمال کرد، آن گاه معادله ی دیفرانسیل اصلی حل می شود.

تبدیل لاپلاس در چند خاصیت مهم صدق می کند. نمایی کردن (exponentiation) را در نظر بگیرید. اگر برای  (یعنی  تبدیل لاپلاس  باشد)، آن گاه برای  صحیح است. زیرا

همچنین تبدیل لاپلاس خواص زیبایی را برای انتگرال های توابع دارد. اگر   تکه ای پیوسته (piecewise continuous) بوده و ، در آن صورت

مطالب مرتبط: تبدیلات لاپلاس (۱)

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Laplace Transforms." Ch. 29 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 1019-1030, 1972.

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 824-863, 1985.

Churchill, R. V. Operational Mathematics. New York: McGraw-Hill, 1958.

Doetsch, G. Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation. Berlin: Springer-Verlag, 1974.

Franklin, P. An Introduction to Fourier Methods and the Laplace Transformation. New York: Dover, 1958.

Graf, U. Applied Laplace Transforms and z-Transforms for Scientists and Engineers: A Computational Approach using a Mathematica Package. Basel, Switzerland: Birkhäuser, 2004.

Jaeger, J. C. and Newstead, G. H. An Introduction to the Laplace Transformation with Engineering Applications. London: Methuen, 1949.

Henrici, P. Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 2: Special Functions, Integral Transforms, Asymptotics, Continued Fractions. New York: Wiley, pp. 322-350, 1991.

Krantz, S. G. "The Laplace Transform." §15.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 212-214, 1999.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 467-469, 1953.

Oberhettinger, F. Tables of Laplace Transforms. New York: Springer-Verlag, 1973.

Oppenheim, A. V.; Willsky, A. S.; and Nawab, S. H. Signals and Systems, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1997.

Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 4: Direct Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.

Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 5: Inverse Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.

Spiegel, M. R. Theory and Problems of Laplace Transforms. New York: McGraw-Hill, 1965.

Weisstein, E. W. "Books about Laplace Transforms." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/LaplaceTransforms.html.

Widder, D. V. The Laplace Transform. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1941.

Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 231 and 543, 1995.

Dated 04/04/2009 

تبدیل لاپلاس (Laplace transform) یک تبدیل انتگرالی (integral transform) است که شاید نسبت به کارکرد تبدیل فوریه (Fourier transform) در حل مسائل فیزیکی در رتبه ی دوم قرار دارد. تبدیل لاپلاس به ویژه در حل معادلات دیفرانسیل معمولی (ordinary differential equations) که در تجزیه و تحلیل مدارهای الکترونیکی مطرح می شوند، دارای کاربرد فراوان است.

تبدیل لاپلاس (یک طرفه)  ، که نبایستی آن را با مشتق لی (Lie derivative) که آن را هم معمولاْ با  نشان می دهند اشتباه گرفته شود، به صورت زیر تعریف می شود:

که   برای  تعریف می شود (Abramowitz and Stegun 1972). این تبدیل عموماً آن چیزی است که با عنوان تبدیل لاپلاس شناخته می شود، اگر چه یک تبدیل لاپلاس دوطرفه (bilateral Laplace transform) هم داریم که معمولاً به صورت زیر تعریف می شود:

تبدیل لاپلاس معکوس به انتگرال برومویچ (Bromwich integral) معروف است و گاهاً با عنوان انتگرال ملین-فوریه (Fourier-Mellin) نیز شناخته می شود.

جدول زیر، تعدادی از تبدیلات مهم لاپلاس یک طرفه را نشان می دهد:

		شرایط
1

 در جدول بالا،   تابع بسل نوع اول (Bessel function of the first kind) مرتبه ی صفرام،  تابع دلتا (delta function) و تابع پله ی هوی ساید (Heaviside step function) هستند.

تبدیل لاپلاس خواص بسیار مهمی دارد. قضیه ی وجود تبدیل لاپلاس بیان می کند که اگر  روی هر بازه ی متناهی در  تکه ای پیوسته * باشد و برای همه ی  در

صدق کند، آن گاه   برای همه ی  موجود است. تبدیل لاپلاس یکتا (unique) است، به این معنی که با داشتن دو تابع  و   با تبدیل یکسان، داریم:

آن گاه قضیه ی لرچ (Lerch's theorem) تایید می کند که انتگرال

برای همه ی  برای یک تابع صفر (پوچ - null function) با معادله ی

صفر می شود. تبدیل لاپلاس خطی است، زیرا

تبدیل لاپلاس کانولوشن (convolution) به صورت زیر تعریف می شود:

مطالب مرتبط: تبدیلات لاپلاس (۲)

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Laplace Transforms." Ch. 29 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 1019-1030, 1972.

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 824-863, 1985.

Churchill, R. V. Operational Mathematics. New York: McGraw-Hill, 1958.

Doetsch, G. Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation. Berlin: Springer-Verlag, 1974.

Franklin, P. An Introduction to Fourier Methods and the Laplace Transformation. New York: Dover, 1958.

Graf, U. Applied Laplace Transforms and z-Transforms for Scientists and Engineers: A Computational Approach using a Mathematica Package. Basel, Switzerland: Birkhäuser, 2004.

Jaeger, J. C. and Newstead, G. H. An Introduction to the Laplace Transformation with Engineering Applications. London: Methuen, 1949.

Henrici, P. Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 2: Special Functions, Integral Transforms, Asymptotics, Continued Fractions. New York: Wiley, pp. 322-350, 1991.

Krantz, S. G. "The Laplace Transform." §15.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 212-214, 1999.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 467-469, 1953.

Oberhettinger, F. Tables of Laplace Transforms. New York: Springer-Verlag, 1973.

Oppenheim, A. V.; Willsky, A. S.; and Nawab, S. H. Signals and Systems, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1997.

Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 4: Direct Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.

Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 5: Inverse Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.

Spiegel, M. R. Theory and Problems of Laplace Transforms. New York: McGraw-Hill, 1965.

Weisstein, E. W. "Books about Laplace Transforms." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/LaplaceTransforms.html.

Widder, D. V. The Laplace Transform. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1941.

Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 231 and 543, 1995

* به تابع یا خمی تکه ای پیوسته می گویند که روی همه ولی تعداد متناهی از نقاط پیوسته است، به طوری که در آن ها گاهاً شرایط تنظیم کننده مورد نیاز است.

مسئله یافتن تابعی که مقادیرش به ازای آرگومان های صحیح و مثبت فاکتوریل های ۱=!۱و ۲=!۲ و ۶=!۳ و ... و 1.2.3...n!= n باشند توسط اویلر (Euler) به کمک انتگرال ناسره حل شد.

تابع گاما (کامل)  به صورت بسط فاکتوریل (factorial) به آرگومان های عددی مختلط و حقیقی است. این تابع با معادله ی زیر به فاکتوریل مرتبط می شود:

که این نماد مرسوم با توجه به گفته ی لژاندر به طور مختصری مشکل تر از نماد ساده تر معرفی شده توسط گائوس  است (Gauss 1812; Edwards 2001, p. 8).

این تابع در همه جا به جز در ..., ,  تحلیلی (analytic) است، و باقیمانده ی آن در  عبارت است از

هیچ نقطه ی  ای را نمی توان یافت که در آن .

در استفاده ی مرسوم برای نمایش سری توانی از یک تابع گاما، یک قرارداد نمادگذ‌اری وجود دارد. در حالیکه مولفانی همچون (Watson (1939 بر استفاده از  (یعنی بکارگیری از یک قرارداد تابع مثلثاتی-گون) تاکید دارند، طبق سنت نمادگذاری  استفاده می شود.

تابع گاما را می توان به صورت یک انتگرال معین (definite integral) برای  تعریف کرد (شکل تعریف شده توسط اویلر)

                (*)                                     

یا

تابع گامای کامل را می توان همچنین به تابع گامای ناتمام (incomplete gamma function) بالایی و تابع گامای ناتمام پایینی  بسط داد.

نمودار قسمت های حقیقی و موهومی   در صفحه ی مختلط در شکل بالا نشان داده شده است.

با انتگرال گیری جز به جز از معادله (*) برای یک آرگومان حقیقی، مشاهده می شود که

چنانچه یک عدد صحیح باشد، آنگاه

بنابراین تابع گاما به ازای آرگومان های صحیح مثبت (positive integer) به فاکتوریل تقلیل می یابد.

یک رابطه ی زیبا مابین  و تابع زتای ریمان (Riemann zeta function)  به صورت زیر است

برای  (Havil 2003, p. 60).

تابع گاما همچنین می تواند به صورت یک حاصلضرب نامتناهی (infinite product) یعنی صورت ویراشتراوس (Weierstrass form) تعریف شود:

که  ثابت اویلر ـ ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) است (Krantz 1999, p. 157; Havil 2003, p. 57). با لگاریتم گرفتن از طرفین معادله ی اخیر داریم:

با مشتق گیری از این رابطه بدست می آوریم:

که   تابع دی گاما (digamma function) و   تابع چند گامایی (polygamma function) هستند.  امین مشتق ها برحسب توابع چند گامایی (polygamma functions) , , ...,  داده می شوند.

ادامه دارد...

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Gamma (Factorial) Function" and "Incomplete Gamma Function." §6.1 and 6.5 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 255-258 and 260-263, 1972.

Arfken, G. "The Gamma Function (Factorial Function)." Ch. 10 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 339-341 and 539-572, 1985.

Artin, E. The Gamma Function. New York: Holt, Rinehart, and Winston, 1964.

Bailey, W. N. Generalised Hypergeometric Series. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1935.

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 334-342, 1994.

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 218, 1987.

Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.

Borwein, J. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, p. 6, 1987.

Borwein, J. M. and Zucker, I. J. "Fast Evaluation of the Gamma Function for Small Rational Fractions Using Complete Elliptic Integrals of the First Kind." IMA J. Numerical Analysis 12, 519-526, 1992.

Bourguet, L. "Sur les intégrales Eulériennes et quelques autres fonctions uniformes." Acta Math. 2, 261-295, 1883.

Campbell, R. Les intégrales eulériennes et leurs applications. Paris: Dunod, 1966.

Davis, H. T. Tables of the Higher Mathematical Functions. Bloomington, IN: Principia Press, 1933.

Davis, P. J. "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function." Amer. Math. Monthly 66, 849-869, 1959.

Edwards, H. M. Riemann's Zeta Function. New York: Dover, 2001.

Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "The Gamma Function." Ch. 1 in Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 1-55, 1981.

Finch, S. R. "Euler-Mascheroni Constant." §1.5 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 28-40, 2003.

Gauss, C. F. "Disquisitiones Generales Circa Seriem Infinitam etc. Pars Prior." Commentationes Societiones Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores, Vol. II. 1812. Reprinted in Gesammelte Werke, Bd. 3, pp. 123-163 and 207-229, 1866.

Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Answer to Problem 9.60 in Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

Hardy, G. H. "A Chapter from Ramanujan's Note-Book." Proc. Cambridge Philos. Soc. 21, 492-503, 1923.

Hardy, G. H. "Some Formulae of Ramanujan." Proc. London Math. Soc. (Records of Proceedings at Meetings) 22, xii-xiii, 1924.

Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.

Havil, J. "The Gamma Function." Ch. 6 in Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 53-60, 2003.

Isaacson, E. and Salzer, H. E. "Mathematical Tables--Errata: 19. J. P. L. Bourget, 'Sur les intégrales Eulériennes et quelques autres fonctions uniformes,' Acta Mathematica, v. 2, 1883, pp. 261-295.' " Math. Tab. Aids Comput. 1, 124, 1943.

Koepf, W. "The Gamma Function." Ch. 1 in Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 4-10, 1998.

Krantz, S. G. "The Gamma and Beta Functions." §13.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 155-158, 1999.

Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 46, 1983.

Magnus, W. and Oberhettinger, F. Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics. New York: Chelsea, 1949.

Nielsen, N. "Handbuch der Theorie der Gammafunktion." Part I in Die Gammafunktion. New York: Chelsea, 1965.

Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Gamma Function, Beta Function, Factorials, Binomial Coefficients" and "Incomplete Gamma Function, Error Function, Chi-Square Probability Function, Cumulative Poisson Function." §6.1 and 6.2 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 206-209 and 209-214, 1992.

Sloane, N. J. A. Sequences A000079/M1129, A000142/M1675, A001147/M3002, A030169, A030170, A030171, A030172, A061549, A068466, and A143503 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Gamma Function " and "The Incomplete Gamma and Related Functions." Chs. 43 and 45 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 411-421 and 435-443, 1987.

Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (XI)." J. London Math. Soc. 6, 59-65, 1931.

Watson, G. N. "Three Triple Integrals." Quart. J. Math., Oxford Ser. 2 10, 266-276, 1939.

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, p. 40, 1986.

Whipple, F. J. W. "A Fundamental Relation between Generalised Hypergeometric Series." J. London Math. Soc. 1, 138-145, 1926.

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

Wrench, J. W. Jr. "Concerning Two Series for the Gamma Function." Math. Comput. 22, 617-626, 1968. 

برای مثال، معادله ی پیوستگی مکانیک سیالات بیان می کند که نرخی که بر اساس آن چگالی در هر عنصر حجمی بینهایت کوچک سیال کاهش می یابد، متناسب با شار جرم (تغییرات پی در پی جرم) بخش های متفاوت سیال که در حال دور شدن از عنصر هستند می باشد و با قاعده ی زیر نشان داده می شود:

که   میدان برداری سرعت سیال است. در موردی معمول که درآن چگالی سیال ثابت است، این رابطه به یک معادله زیبا و موجز تقلیل می یابد

که به آسانی می گوید برای اینکه چگالی در سرتاسر سیال ثابت بماند، نبایستی بخش های حاوی ماده سیال در هیچ نقطه ای تشکیل یک گره یا انباشتگی دهند و لذا میدان برداری سرعت های بخش های بوجود آورنده ی سیال برای هر سیستم مادی لازم است که میدانی فاقد دیورژانس (divergenceless field) یا به اصطلاح میدانی بدون واگرایی باشد. 

دیورژانس در نظریه ی الکترومغناطیس نیز در دو معادله از چهار معادله ماکسول حضور دارد

که از واحدهای MKS در اینجا استفاده کرده ایم:  میدان الکتریکی،  اکنون نماینگر چگالی بار الکتریکی،  ثابت تناسب که موسوم به ثابت گذردهی الکترون از خلا و در نهایت  معرف میدان مغناطیسی است.

بعلاوه ی ۲ معادله ی دیگر از مجموعه معادلات ماکسول، اینها قوانینی هستند که به طور بالقوه ویژگی های نسبیتی و کلاسیکی الکترومغناطیس را توصیف می کنند.

فرمولی که برای پیدا کردن دیورژانس یک میدان برداری کاربرد دارد، را می توان سریعاً با ایجاد کردن یک شش ضلعی بینهایت کوچک فرضی که در امتداد محور مختصات حول یک ناحیه ی بینهایت کوچک از فضا جهت گیری شده است، بدست آورد. بنابراین "حجم" خالص این شش ضلعی را می توان به راحتی با جمع زدن تفاضل های مقادیر میدان برداری در امتداد ۳ مجموعه ی اضلاع موازی با هم (اضلاع متقابل) محاسبه کرد. با نوشتن   بلافاصله بدست می آید:

این فرمول را می توان دلیلی برای توجیه انگیزه ی انتخاب نماد  برای دیورژانس دانست. تعبیر کردن از   به عنوان عملگر گرادیان (gradient) ، "حاصلضرب نقطه ای" (dot product) این عملگر با میدان برداری اصلی دقیقا معادل رابطه ی اخیر است.

درحالیکه این عملگر به نوعی به نظر می رشد که در مختصات دکارتی است، تعریف عمومی به کلی به مختصات خاصی ربط ندارد. در حقیقت با تعریف

دیورژانس در هر محتصات منحنی الخط دلخواه (curvilinear coordinates) به صورت زیر داده می شود:

دیورژانس تبدیل خطی یک بردار یکه (unit vector) که با ماتریس  نمایش داده می شود، به وسیله فرمول زیبای ذیل توصیف می شود:

که   رد ماتریس (matrix trace) یا همان مجموع درایه های قطر اصلی و  ترانهاده ماتریس را نشان می دهد.

مفهوم دیورژانس را می توان به میدان های تانسوری نیز بسط داد، به طوری که در این مورد دیورژانس تنجش مشتق هموردای (covariant derivative) میدان تانسوری است:

لینک مربوطه: دیورژانس ۱

منابع:

Arfken, G. "Divergence, ." §1.7 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 37-42, 1985.

Kaplan, W. "The Divergence of a Vector Field." §3.4 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 185-186, 1991.

Morse, P. M. and Feshbach, H. "The Divergence." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 34-37, 1953.

Schey, H. M. Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, 3rd ed. New York: W. W. Norton, 1997.

دیگر اتحاد های دربرگیرنده ی مشتق تابع دلتا عبارت اند از

که در آن علامت کانولوشن (convolution) است،

و

یک رابطه ی انتگرالی که با استفاده از  نوشته می شود نیز وجود دارد:

تابع دلتا، همچنین از به اصطلاح خاصیت غربالگری (sifting property) نیز تبعیت می کند:

(Bracewell 1999, pp. 74-75).

بسط سری فوریه ی تابع دلتای  بدست می دهد

بنابراین

تابع دلتا را می توان به صورت یک تبدیل فوریه (Fourier transform) به شکل زیر نوشت

و به طور یکسان،

(Bracewell 1999, p. 95). به طور کلی تر تبدیل فوریه ی تابع دلتا عبارت است از

تابع دلتا در قالب حد های زیر که در آنها   هم گاهاْ تعریف می شود

که   تابع هوایی (Airy function)،   تابع بسل نوع اول (Bessel function of the first kind) و    یک چندجمله ای لاگر (Laguerre polynomial) از مرتبه ی صحیح مثبت دلخواه است. 

این تابع را همانطور که در شکل بالا قابل مشاهده است، می توان به صورت تابع حدی ذیل تعریف کرد

تابع دلتا در ۲ بعد نیز تعریف می شود، به صورتی که در مختصات دکارتی (Cartesian coordinates) دو بعدی داریم:

و

در مختصات قطبی (polar coordinates) نیز داریم

(Bracewell 1999, p. 85).

در مختصات ۳ بعدی دکارتی هم اوضاع به همان شرایط بالا است

و

در مختصات استوانه ای (cylindrical coordinates) ،

در مختصات کروی (spherical coordinates) ،

تعریف می شود. (Bracewell 1999, p. 85).   

یک بسط سری وار از این تابع در مختصات استوانه بدست می دهد

پاسخ به برخی معادلات دیفرانسیلی معمولی را می توان برحسب مشتقات  نوشت (Kanwal 1998). برای مثال، تابع دیفرانسیلی

دارای پاسخ کلاسیکی

و پاسخ توزیعی زیر است

(M. Trott, pers. comm., Jan. 19, 2006). توجه داشته باشید که برخلاف پاسخ های کلاسیکی، یک پاسخ توزیعی به یک معادله ی دیفرانسیلی معمولی مرتبه ی ام احتیاجی به داشتن  ثابت انتگرالگیری متمایز از هم ندارد. لینک مربوطه: تابع دلتا ۱ (Delta Function) منابع: Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 481-485, 1985. Bracewell, R. "The Impulse Symbol." Ch. 5 in The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 69-97, 1999. Dirac, P. A. M. Quantum Mechanics, 4th ed. London: Oxford University Press, 1958. Gasiorowicz, S. Quantum Physics. New York: Wiley, pp. 491-494, 1974. Kanwal, R. P. "Applications to Ordinary Differential Equations." Ch. 6 in Generalized Functions, Theory and Technique, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 291-255, 1998. Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 97-98, 1984. Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Dirac Delta Function ." Ch. 10 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 79-82, 1987. van der Pol, B. and Bremmer, H. Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1955.